Эконометрический анализ временного ряда

R²₃=0,512958

R²=0,713848

Для нахождения параметров использовался обычный МНК:

q₀ =14,4185

q₁=0,43338

Проверим параметры  на значимость по t-критерию Стьюдента.

t(q₀)=272,2>t_кр Þпараметр значимый

t(q₁)=13,22>t_кр Þпараметр значимый

Так как все параметры значимы, то их нельзя исключить из модели.

Изобразим на графике найденную модель тренда и исходные данные.

Вычтем из исходных данных трендовую компоненту: X(t) – T(t) и получим

S(t) + E(t) (сезонность + остатки).

Далее попытаемся подобрать  периодическую функцию, наиболее точно  описывающую полученные значения –  это и будет функция сезонной компоненты:

Изобразим графики S(t) (сезонная компонента) и S(t)+E(t) (сезонная компонента + остатки).

 
В итоге получаем модель:

Задание 5

 

Для оценивания параметров модели используется МНК, но согласно предположениям метода остатки должны быть независимыми. Если же значения случайных членов уравнения в текущем периоде зависят от случайных величин предыдущих периодов времени, то это свидетельствует о наличии автокорреляции в остатках и использование МНК не рекомендуется. Возникает необходимость проверки остатков на автокорреляцию.

Чтобы проверить остатки на автокорреляцию, используем критерий Дарбина-Уотсона. Выдвигаем гипотезу:

Н₀: автокорреляция в остатках отсутствует

 Н₁: иначе

Для этого найдем коэффициент автокорреляции по формуле:

 

r^e₁₌              =1/(n-1)           =1/(n-1)

     d = 2(1- r^e₁)

r^e₁= 0,6899

d = 0,6202

d_u= 1,67

d_L= 1,55                      d_L            d_u            4-d_u         4-d_L 

 

 Данное значение d попадает в первый интервал Þ гипотеза                                 Н₀ отвергается Þ  Можно сделать вывод о наличии положительной автокорреляции в остатках  модели. Так как автокорреляция в остатках присутствует, нужно делать коррекцию.

 Запишем исходную модель для момента времени t-1,

Y=q₀ +q₁ln(t-1)+ q₂Cos(0.24*t+2.4)+e(t-1)

Умножим это соотношение на r^e₁, равное 0,6899, получим

Y*r^e₁ = r^e₁*q₀ + r^e₁*q₁ln(t)+ r^e₁*q₂Cos(0.24*t+2.4)+ u(t-1)

Вычтем из  исходного  уравнения полученное

Y - Y*r^e₁= (q₀ - r^e₁*q₀)+ (q₁ln(t) - r^e₁*q₁ln(t-1))+(q₂Cos(0.24*t+2.4)-r^e₁*q₂Cos(0.24*t+2.4))+u(t)

 или     

Применив обычный МНК к скорректированной  модели, нашли 

  = 4.3336           

 q₁ = 0,5547           q₂ = -0.1322              =13,974

Проверим параметры  на значимость по t-критерию Стьюдента.

t(q₀)=46,02882>t_кр Þ параметр значимый

t(q₁)=6,444403>t_кр Þ параметр значимый

t(q₂)=2.072078>t_кр Þ параметр значимый

Так как все параметры значимы, то их нельзя исключить из модели.

Тогда скорректированное уравнение примет вид:

Y=13,974+0,5547lnt -0.1322cos(0.24t+2.4)+ u(t)

Проверим полученную модель на адекватность

Необходимо посчитать F-статистику: F=(N-2)*R² /(1- R² )

Правило проверки гипотезы выглядит так:

F >F_кр® H₀ отвергается

F <F_кр® H₀ не отвергается

F = 40.35 Þ H₀ отвергаетсяÞмодель адекватна

Изобразим модель на графике:

График зависимости  остатков от времени выглядит так:

 
Задание 6

 

Динамика курса испанского песета обладает высоким уровнем зависимости от структурных изменений в экономике. Даже незначительные изменения экономической ситуации приводят к существенным изменениям параметров тренда, описывающих динамику временного ряда. Если влияние структурных внешних изменений существенно, то для моделирования тенденции временного ряда следует использовать кусочно-линейную модель. Если это влияние незначимо, то следует применять единую модель.

Чтобы проверить ряд на наличие  структурных изменений, разбиваем  его на 2 части: 1<=t<=41 и 42<=t<=72. Выдвигаем гипотезу о наличии структурных изменений.

Н₀: структурные изменения отсутствуют

Н₁: иначе                    

или

Н₀: DESS = 0

Н₁: DESS ≠ 0

1<=t<=41

Y₁=q₀ +q₁ln(t)+ q₂cos(0.2t)          

= 14,3589 

= 0,4468

= 0,0836

42<=t<=72

Y₂=q₀ +q₁t+q₂t²+q₃cos(0.4t-1)

= 11.2710 

= 0,1719

= -0.0015

= 0,0836

Чтобы проверить гипотезу нужно посчитать статистику F

F =                    ESS = ESS₁+ ESS₂ 

k₁= k₂= k₃=2 − число параметров в уравнениях.

DESS= ESS₃ –ESS³0

n ESS1=åei12 i=1

n ESS2=åei22 i=1

n ESS3=åei32 i=1

ESS₁=0.6131         ESS₂=0,2400       ESS₃=2,162          DESS= 1.3087

F=33.2378           F_кр=2.7459

F < F_кр Þ гипотеза Но не отвергается

F > F_кр Þ гипотеза Но отвергается

Вывод: структурные изменения в  модели присутствуют. Это означает, что внешние экономические изменения оказывают значительное влияние на изменение динамики курса валюты. И для моделирования тенденции данной валюты следует использовать кусочно-линейную модель.

 

 

Задание 7

Проведем эконометрический анализ заданного временного ряда во

взаимосвязи с «курсом доллара  США», который выступает как независимая  переменная.

Очень часто в эконометрических задачах возникает необходимость  использования лагированных переменных, т.е. переменных, взятых в предыдущий момент времени. Такие модели встречаются всегда, когда зависимая переменная с запаздыванием реагирует на изменения независимой. В качестве входного параметра мы будем брать остатки по линейной модели курса доллара,                         а выходными параметрами остатки линейно-кусочной модели. 

Модель распределенных лагов рассматриваем  с помощью метода параметризации Алмон.

Yt=C₀+ θ_k*x_t-k+ε_t              

Полагаем, что θ_k=α₀ +α₁k +α₂ k²+….+α_m k^m, где m £ 3

Возьмем m=3, при величине лага, равного 8.

Θ₀ = α₀

Θ₁ = α₀ + α₁ + α₂ + α₃

Θ₂ = α₀ + 2α₁ + 4α₂ + 8α₃

Θ₃ = α₀ + 3α₁ + 9α₂ + 27α₃ и т.д…

_{…………………………………………}

Θ₈= α₀ + 8α₁ + 64α₂ + 512α₃     Þ

Z₀ = х(t)+x(t-1)+x(t-2)+…+x(t-6)

Z₁ = x(t-1)+2x(t-2)+3x(t-3)…+6x(t-6)                       _}Þ

Z₂ = x(t-1)+4x(t-2)+9x(t-3)…+36x(t-6)

Z₃ = x(t-1)+8x(t-2)+27x(t-3)…+216x(t-6)

Y(t)=C₀ + α₀x(t)⁽⁰⁾ + α₁ x(t)⁽¹⁾  + α₂ x(t)⁽²⁾ + α₃ x(t)⁽³⁾

С помощью регрессионного анализа  находим оценки неизвестных параметров.

= -0.0066

= 0,6737

= -1.2126

= 0,3527

= -0.0264

Можем посчитать  параметры модели (лаговую структуру)

 

Θ₀ = 0,6737

Θ₁ = -0,2125

Θ₂ = -0,5520

Θ₃ = -0,5032

Θ₄ = -0.2247

Θ₅ = 0.1247

Θ₆ = 0.3866

Θ₇ = 0.4022

Θ₈ = 0.0130

 

Модель с распределенными лагами имеет следующий вид:

Y(t) = -0,0066+0,6737х(t)-0,2125x(t-1)-0,5520x(t-2)-0,5032x(t-3)-0,2247x(t-4)+ +0,1247x(t-5)+ 0,3866x(t-6)+ 0,4022x(t-7)+0,0130x(t-8) + u(t)

F=1.54<F_крит=2.77

Модель в целом не значима, значит взаимосвязи между временными рядами «курс доллара» и «курс испанского песета» нет.

 

Задание 8

 

Cделаем выводы по полученным результатам эконометрического анализа. Исследуя динамику курса песета, в работе были построены модели, характеризующие изменения исходных данных, но оптимальной была выбрана логарифмическая.

Проверка с помощью  критерия Дарбина-Уотсона показала наличие положительной автокорреляции в остатках, в результате этого появилась необходимость в коррекции.

С помощью теста Чоу  определили, что для анализа лучше использовать разделенную модель.

Последняя модель - модель с распределенными лагами, построенная с помощью метода Алмон. Анализ этой модели позволяет установить воздействие фактора на результат не только в текущем моменте, но и влияние фактора прошлых периодов, проявляющееся на текущем результате.

Проверив эти модели по критерию Фишера, получили, что все  выбранные модели, кроме модели с распределенными лагами, значимы и могут быть использованы для прогнозирования временного ряда.

Для прогноза выберем  наиболее модель:

Y=13,974+0,5547lnt -0.1322cos(0.24t+2.4)+ u(t)

 

 

Исходя из полученных данных, изображенных на графике, можно сделать вывод, что с течением времени курс испанского песета будет расти.