Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления

Экономические задачи, решаемые методами дифференциального  исчисления

Дифференциальное  исчисление — широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение экономических величин, записываемых в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления.

В экономике  очень часто требуется найти  наилучшее, или оптимальное значение того или иного показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т.д. Каждый показатель представляет собой функцию одного или нескольких аргументов. Например, выпуск можно рассматривать как функцию затрат труда и капитала (как это делается в производственных функциях). Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума (максимума или. минимума) функции одной или нескольких переменных. Подобные задачи порождают класс экстремальных задач в экономике, решение которых требует использования методов дифференциального исчисления. Если экономический показатель у нужно максимизировать или минимизировать как функцию другого показателя х (например, задачя на максимум прибыли как функции объема. выпуска), то в оптимальной точке (т.е. в точке максимума) отношение приращения функции у к приращению аргумента х должно стремиться к нулю, когда приращение аргумента стремится к нулю. Иначе, если такое отношение стремится к некоторой положительной или отрицательной величине, рассматриваемая точка не является оптимальной, поскольку увеличив или уменьшив аргумент х, можно изменить величину у в нужном направлении. В терминах дифференциального исчисления это означает, что необходимым условием экстремума функции у = f(x) является равенство нулю ее производной.

В экономике  часто приходится решать задачи на экстремум функций нескольких переменных, поскольку экономические показатели обычно зависят от многих факторов. Такие задачи хорошо изучены теорией функций нескольких переменных, использующей методы дифференциального исчисления. Многие задачи включают не только максимизируемую (минимизируемую) функцию, но и ограничения (скажем, бюджетное ограничение в задаче потребительского выбора). Это — задачи математического программирования, для решения которых разработаны специальные методы, также опирающиеся на дифференциальное исчисление.

Важный раздел методов дифференциального исчисления, используемых в экономике, называется методами предельного анализа. Предельный анализ в экономике — совокупность приемов исследования изменяющихся величин затрат или результатов при изменениях объемов производства, потребления и т.п. на основе анализа, их предельных значений. Предельный показатель (показатели) функции у == f (х) — это ее производная (в случае функции одной переменной) или частные производные (в случае функции нескольких переменных).

В экономике  широко используются средние величины: средняя производительность труда, средние издержки, средний доход, средняя прибыль и т.д. Но часто требуется узнать, на какую величину вырастет результат, если будут увеличены затраты или, наоборот, насколько уменьшится результат, если затраты сократятся. С помощью средних величин ответ на этот вопрос получить невозможно. В подобных задачах требуется определить предел отношения приростов результата и затрат, т.е. найти предельный эффект. Следовательно, для их решения необходимо применение методов дифференциального исчисления — нахождение производной в случае функции одной переменной и частных производных, если функция зависит от нескольких аргументов.

Так, например, если задана производственная функция: у = f (Х..., х,,... .Хд), где х — объем затрачиваемого i -то ресурса (f=l,...,n), у — максимальный объем выпуска, который можно получить, затрачивая ресурсы соответственно в объемах х^,...,х^...х^, то предельный эффект от использования i -то ресурса ( р,) определяется следующим образом: 

Здесь величина p₁,       дополнительному объему выпуска, который получается в результате затраты дополнительной величины х_i. i -го ресурса при неизменных объемах остальных ресурсов.

Показатель предельного  эффекта в оптимизационных моделях  применяется для нахождения оптимального объема производства при заданных ресурсах, а тарже для определения оптимального распределения ограниченных ресурсов по различным направлениям их использования. Если максимизируемый показатель (например, прибыль) есть разность результата и издержек (в данном случае результат представлен выручкой), то в оптимальной точке предельная выручка должна равняться предельным издержкам. Такое равенство должно выполняться по каждому из факторов, определяющих выручку и издержки, что вытекает из необходимости равенства нулю частных производных прибыли по всем этим факторам. Необходимые и достаточные условия оптимума во многих экономических задачах записываются с помощью частных производных и дифференциалов.

Так, если решается задача на максимум выпуска, описываемого с помощью приведенной выше производственной функции, при наличии ограничения  по общему расходу денежных средств на используемые в производстве ресурсы, то в оптимальной точке должны быть равны между собой отношения предельных производительностей ресурсов д. и их цен. Иными словами, для всех ресурсов должен быть одинаков предельный эффект в расчете на единицу дополнительно расходуемых на эти ресурсы денежных средств.

В задаче потребительского выбора отношение предельных полезностей  благ должно быть равно отношению  их цен. Иначе говоря, предельная полезность в расчете на одну денежную единицу  должна быть в оптимальной точке одинакова по всем благам; в противном случае бюджет потребителя мог бы быть перераспределен с увеличением его благосостояния. Таким образом, методы дифференциального исчисления позволяют не только решить различные экономические задачи, но и записать необходимые или достаточные условия оптимума в этих задачах, которые позволяют дать ответ на те или иные конкретные вопросы.

Широко используется в экономическом анализе понятие  дифференциала, или главной линейной части приращения функции. Так, если некоторая величина у есть функция двух аргументов х₁ и х₂, то с использованием дифференциала легко рассчитать предельную норму замены между этими аргументами, т.е. величину, показывающую, сколько нужно фактора 2 для замены одной единицы фактора 1 с сохранением значения функции у .

Предельная норма  замены важна в задачах потребительского выбора (взаимозаменяемость благ), в  задачах оптимизации производства (взаимозаменяемость труда и капитала) и в ряде других задач. Пусть  y=f{x₁ x₂). Если мы хотим сохранить значение функции у неизменным, то это означает, что приращение у , а значит и его главная линейная часть должны быть равны нулю. Иными словами, о = dy = у'_X1 • d_X1 + у'_X2 • dx_X2. Отсюда предельная норма замены — - dx₁/dx₂ = Y’_X2/Y’_X1 , то      есть равняется отношению частных производных функции у по первому и второму факторам.

Методы дифференциального  исчисления широко применяются не только для анализа взаимодействия отдельных  экономических факторов, определения  их взаимозаменяемости или оптимального сочетания, но и в сложных моделях экономики, в частности — в моделях экономической динамики. Дифференциальное исчисление — это не только аппарат, позволяющий находить решения задач с использованием таких моделей, но и необходимый составной элемент для их построения. Динамические модели применяются для решения таких задач, как определение оптимальной или равновесной траектории развития экономической системы, ее состояний в заданные моменты времени, анализ системы на устойчивость, анализ структурных сдвигов и т.п.

Из рассмотренных направлений применения дифференциального исчисления в экономике важнейшим является вопрос нахождения и анализа взаимосвязей экономических переменных, определяющих функционирование экономического объекта или протекание экономического явления.

Первообразная и неопределенный интеграл

Напомним, что  основная задача дифференциального  исчисления заключается в следующем: дана функция F(x), требуется найти  ее производную (например, найти предельные издержки, зная суммарные издержки). При этом, если производная существует в каждой точке х некоторого промежутка Х , то это также некоторая функция f(x) на Х , такая, что f{x) == F'(x). Однако часто приходится решать и обратную задачу: дана функция f(x), требуется найти функцию F(x) такую, что F'(x)= f (x) (например, найти суммарные издержки, зная предельные издержки). Для решения обратной задачи служит операция интегрирования, обратная операции дифференцирования.

Определение L Дифференцируемая функция F(;c), определенная на некотором промежутке Х, называется первообразной для функции f(x), определенной на том же промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)= f (x), или, что то же самое dF(x)=f(x)dx.

Пример. Найти какую-либо первообразную для функции f (.х)=3х². Функция F(x) = х³ является первообразной для f(x)=3x², так как F'(x) =(x³)’=Зx² = f(x).

Нетрудно заметить, что первообразная х³ не является единственной для функции Зх². В самом деле, в качестве первообразной можно было взять и функции: х³ + 5, х³ - 2 и вообще х³ +С, где С —произвольная постоянная, потому что (х³ +С)'=Зх². Приведем формулировку теоремы, выражающей основное свойство первообразных.

Определение 2. Совокупность всех первообразных для функции f(x), определенных на некотором промежутке Х, называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f{x)dx (читается: «интеграл от эф от икс де икс»). Если F(x) является первообразной для функции f\x) на промежутке Х, то согласно этому определению имеем f(x)dx = F(x) + С.

Определение 3. Функция f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx — подынтегральным выражением, х —- переменной интегрирования, символ — знаком

неопределенного интеграла, С — постоянной интегрирования.

Основные  свойства неопределенного  интеграла. Пусть функция F(x) является первообразной для функции f{x) на некотором промежутке Х , т.е. F\x) == f{x). Тогда по определению f{x)dx = F(x) + С. Имеем следующие свойства:

1) Производная  неопределенного интеграла равна  подынтегральной функции. Имеем:

2) Дифференциал  неопределенного интеграла равен  подынтегральному выражению.

Имеем:

3) Неопределенный  интеграл от дифференциала некоторой  функции равен этой

функции плюс произвольная постоянная. Имеем:

Свойства 1) и 2) используют обычно для проверки результатов  интегрирования.

4) Постоянный  множитель можно выносить за  знак интеграла, т.е. если  а == const  0,

5) Неопределенный  интеграл от алгебраической суммы  двух непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций в отдельности, т.е.

Для исследования совокупности экономических явлений, следующих одно за другим в известном порядке, используется такой математический инструментарий как ряды. Представляя собой совокупность величин, расположенных в определенной последовательности, ряды позволяют зафиксировать тенденцию какого-либо экономического процесса, описываемого совокупностью последовательных явлений.

Ряды

Решение ряда задач  сводится к сложению бесконечного числа  слагаемых, т.е. ставится проблема обобщения  понятия суммы на этот случай. При  этом особое внимание надо обратить на то, что это понятие вводится только для членов последовательности. Ни для какого другого бесконечного множества слагаемых сумма не определяется. Для этого обобщения некоторые свойства обычных сумм сохраняются, а другие пропадают.

Сложить бесконечное  число слагаемых так, как это делалось для конечных сумм, — сначала сложить первые два слагаемых, затем к ним добавить еще одно, затем — еще одно и т.д., нельзя — этот процесс никогда не закончится. Поэтому для суммы бесконечного числа слагаемых вводится определение.

Определение 1. Пусть задана последовательность а_n. Выражение вида