Экономические задачи, решаемые методами дифференциального исчисления

называется рядом, a_n — п -м или общим членом ряда. Короче (7.4.2) записывается так:

какой буквой обозначается номер члена ряда — безразлично.

Определение 2. Сумма п первых членов ряда называется п -и частичной суммой ряда, ее принято обозначать s_n.

Так, для ряда (7.4.2) п -я частичная сумма

Определение 3. Если последовательность S_n частичных сумм ряда имеет предел s, то ряд называется сходящимся, а число s называют суммой этого ряда и пишут  а^k = s.

Если последовательность S_n не имеет предела, то ряд называется расходящимся.

Коротко говорят: сумма ряда есть предел его частичных сумм. Если же последовательность частичных сумм не имеет предела (ряд расходится), то ряд не имеет суммы.

Ряд aq^n-1 будем называть геометрической прогрессией (как и последовательность членов этого ряда).

Пример 1. Геометрическая прогрессия ^n-1расходится при /q/ 1, a 0 и сходится при /q/ <1, при этом

Прежде всего  найдем п -ю частичную сумму этого ряда. Как известно из школьного курса (при q 1),

Приведем пример, который показывает, что действие с рядами по привьгчньм для конечных сумм правилам может привести к неожиданному результату.

Оказалось, что  после такой перестановки слагаемых  сумма ряда уменьшилась вдвое (в  скобках стоит тот же ряд, с  которого мы начали).

Этот пример показывает, что правила действий с рядами не всегда повторяют аналогичные правила действий с конечными суммами. Поэтому при вычислениях с рядами надо опираться только на соответствующие теоремы. Ниже будут сформулированы и доказаны основные (и простейшие) теоремы о рядах. Для начала отметим, что конечную сумму

(у выписанного  ряда а_n = 0 при всех п > k ). Действительно, частичная сумма ряда (7.4.4) при любом п > k будет s_n = а₁ + а₂ + а3 +... + а_k + 0 = а, т.е. постоянна, и потому S_n == a, т.е. ряд (7.4.4) сходится и его сумма равна а.

Теорема 1 (об общем  множителе).

Если ряд  a_m сходится, то для любого числа  ряд a_m тоже сходится и

Если ряд  a_m расходится и  0, то и ряд a_m, расходится.

Коротко говорят: общий множитель можно выносить за знак суммы, умножение на ненулевой  множитель не нарушает сходимости (расходимости).

Так как a_m сходится, то последовательность S_n == a₁ + a₂ + a₃ +... + а_n имеет предел и, по определению суммы ряда, a_m =  . Выпишем далее частичную сумму ряда , a_m:

поэтому limS_n = lim S_n = lim S_n == a_m. Поэтому ряд a_m сходится и

Для доказательства второй части теоремы предположим, что ряд a_m сходится. Тогда (по первая части теоремы) сходится ряд 1/ ( a_m), что противоречит условию теоремы (второй части). Полученное противоречие показывает, что сделанное предположение неверно и потому ряд a_m расходится.

Теорема 2 (сумма  рядов).

Если ряды a_m и b_m сходятся, то сходится ряд (a_m + b_m):

Ряд (a_m + b_m) и ряд (a_m - b_m):будем называть рядом-суммой.

Так как  a_m сходится, то существует lim s_n = a_m , S_n = a₁ + a₂ + a₃ +... + а_n . Так как b_m сходится, то существует lim b_m. Выпишем частичную сумму ряда-суммы:

S_{n =} (a₁ + b₁ )+( a₂ + b₂) +... + (а_n+ b_n) = (a₁ + a₂ +….+ a_n ) +(b₁ + b₂ +….+ b_n)=S_n + _m

Поэтому последовательность S_n имеет предел (так как S_n и _n имеют пределы), т.е. ряд-сумма сходится:

Пример 3.

Следствие. Если ряд  a_m сходится, а ряд b_m расходится, то ряд-сумма (a_m+b_m) расходится.

Действительно, предположим, что ряд-сумма сходится, тогда, по теореме 2, сходится ряд-сумма ((a_m+ b_m )- a_m) гфотиворечит условию. Следствие доказано.

Заметим еще, что  если оба ряда расходятся, то ряд-сумма  может оказаться как сходящимся рядом (если, например, b_m )=-a_m, так и расходящимся (если, например, a_m =b_m)

Теорема 3.

Изменение конечного  числа членов ряда не нарушает его  сходимости (расходимости).

Другими словами, расходящийся ряд остается расходящимся, а сходящийся ряд остается сходящимся, хотя сумма ряда при этом, как правило, изменяется.

Пусть у ряда a_m как-то изменены первые k членов. При этом получился ряд b_m , у которого a_m =b_m при всех от m > k. Положим с_m = b_m –а_m. Тогда ряд с_m сходится, так как с_m = 0 при всех m > k. Поэтому ряд-сумма (a_m + с_m) == b_m сходится, если сходится ряд a_m и расходится, если расходится ряд a_m.

Из этой теоремы  следует, что при изучении сходимости ряда можно изменять, как нам удобно (или вообще отбрасывать), конечное число членов ряда — на его сходимость (расходимость) это не влияет.

Первый вопрос, который обычно выясняется относительно ряда — сходится он или расходится, а для сходящегося ряда уже можно ставить вопрос о вычислении его суммы (точном или приближенном).

Для ответа на первый вопрос существуют теоремы, которые  называются признаками сходимости.

Теорема 4 (необходимый  признак сходимости ряда).

Если ряд  a_n сходится, то lim a_n = 0.

Пусть сумма  ряда равна s. Так как s_n = s_n-1 + a_n, то

Очень важное замечание. Ниже будет доказано, что ряд 1/n —         (его называют гармоническим рядом) расходится, хотя lim 1/n = 0.

Теорема 5 (достаточный  признак расходимости ряда). Если lim a_n или не существует, то ряд a_n расходится.

Предположим, что  ряд  a_n сходится. Тогда lim a_n = 0 (теорема 4), что противоречит условию теоремы 5. Следовательно, a_n расходится.

Пример 4. Ряд aq^n-1 расходится при  и /q/ 1, так как lim aq^n-1 . Ряд  расходится, так как lim =-2/7 0.

Пример 5. Ряд cos — расходится, так как не существует lim cos

Описание  экономических, отношений  и процессов посредством  совокупности переменных, часть которых  изменялась с течением времени и обеспечивала функциональное изменение  другой части, искомой в рамках данного экономического исследования, происходит с использованием дифференциальных уравнений, рассмотрением которых мы и займемся.

Дифференциальные  уравнения

Решение многих задач экономики сводится к следующему: требуется найти неизвестную  функцию у = у(х), если известно уравнение, содержащее : x, y(x), y’(x), …, y⁽ⁿ⁾(x).

Такие уравнения  называются дифференциальными уравнениями.

Определение 1. Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Определение 2. Функция  называется решением дифференциального уравнения (7.4.9) на интервале I, если для всех х I

F(x, (x), ’(x)))=0.                                           (7.4.10)

Коротко говорят: функция (р удовлетворяет дифференциальному уравнению. Пример 6. Для дифференциального уравнения

функция у = sin х будет решением, так как у'== cos x и

для всех х, т.е. интервалом I здесь является все множество действительных чисел. А функция у = х² не является решением дифференциального уравнения (7.4.11) ни на каком интервале, так как у’== 2х и равенство

выполнено только для отдельных значений х — нет такого интервала, на котором равенство выполнялось бы для всех х.

Определение 3. Решить дифференциальное уравнение — это значит найти все решения этого уравнения. Совокупность всех решений заданного дифференциального уравнения называется общим решением этого уравнения.

Пример 7. Для дифференциального уравнения

общее решение  дается формулой

Пример 8. Все  решения дифференциального уравнения

на интервале (- , ) даются формулой

Это есть общее  решение заданного уравнения.

Далее мы выпишем  некоторые типы дифференциальных уравнений  и решим их, т.е. найдем их общее  решение.

Определение 4. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными уравнение вида

Теорема 1.

Общее решение  дифференциального уравнения (7.4.12) дается формулой

Эта формула  задает у как функцию от х неявно. Если уравнение (7.4.13) решить относительно у , то получим решение явно.

Для доказательства теоремы надо проверить два факта: 1) каждая функция, удовлетворяющая  равенству (7.4.13) на некотором интервале  I есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J ; 2) каждое решение уравнения (7.4.12) на интервале I есть функция, удовлетворяющая уравнению (7.4.13) на этом интервале I .

1) Пусть функция   удовлетворяет уравнению (7.4.13) на некотором интервале I .

Это значит, что  для любого х  I выполнено равенство

Дифференцируя это тождество на I, получаем g(( (x)) ’= (х), т.е. функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на I .

2) Пусть функция (р есть решение уравнения (7.4.12) на интервале J . Это значит, что для любого х  I выполнено равенство g{( (x)) ’= (x), и потому

т.е. функция   удовлетворяет уравнению (7.4.13) на I .

Пример 9. Решим дифференциальное уравнение

Переписав это  уравнение в виде

получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Про сделанное преобразование говорят: «разделим переменные». Далее по теореме 1 выписываем общее решение:

Общее решение  получено в неявном виде. Отсюда можно получить общее решение  заданного уравнения в явном  виде:

Стохастичность, ши вероятностный характер, большинства  экономических явлений, рассматриваемых  в перспективе, требует, от экономиста использования особого инструментария, позволяющего оценить все возможные  варианты развития событий. Для этой цели используется теория вероятностей — раздел математики, изучающий законы случайных явлений и их приложения к явлениям массовым, в том числе и экономическим.