Экономико-математические методы и прикладные модели

«Экономико-математические методы и прикладные модели»

Выполнила студентка 3-го курса

(ускоренный)

Ющак Е.В.

Преподаватель Манцев А.П.

г. Москва, 2002

I. Введение.

Предметом изучения дисциплины являются количественные характеристики экономических  процессов, протекающих в промышленном производстве, изучение их взаимосвязей на основе экономико-математических методов  и моделей. Эти модели линейного  и нелинейного программирования, модели исследования операций, модели массового обслуживания.

Важное место отводится экономико-математическим моделям в ценообразовании. Особое внимание уделяется методам и  моделям прогнозирования конъюнктуры  рынка и определения цен, моделям  и методам анализа инвестиционных проектов, моделям в управлении финансами.

Немалое место отводится моделям  оптимального отраслевого и регионального  регулирования - экономико-математическим моделям проекта развития отдельных  отраслей промышленности. Это такие  важные модели, как вариантная, транспортно-производственная, модель расчета топливного баланса  региона.

Основным понятием является понятие  математической модели. В общем случае слово модель - это отражение реального  объекта. Такое отражение объекта  может быть представлено схемой, эскизом, фотографией, моделью описательного  характера в виде графиков и таблиц и т.д. Математическая модель - это  система математических уравнений, неравенств, формул и различных математических выражений, описывающих реальный объект, составляющие его характеристики и  взаимосвязи между ними. Процесс  построения математической модели называют математическим моделированием. Моделирование  и построение математической модели экономического объекта позволяют  свести экономический анализ производственных процессов к математическому  анализу и принятию эффективных  решений.

Поскольку нами изучаются экономические  задачи, то и строятся экономико-математические модели, включающие:

1) выбор некоторого числа переменных  величин для формализации модели  объекта;

2) информационную базу данных  объекта;

3) выражение взаимосвязей, характеризующих  объект, в виде уравнений и  неравенств;

4) выбор критерия эффективности  и выражение его в виде математического  соотношения - целевой функции.

Итак, для принятия эффективных  решений в планировании и управлении производством необходимо экономическую  сущность исследуемого экономического объекта формализовать экономико-математической моделью, т.е. экономическую задачу представить математически в  виде уравнений, неравенств и целевой  функции на экстремум (максимум или  минимум) при выполнении всех условий  на ограничения и переменные.

 

II. Основные понятия моделирования.

2.1. Общие понятия и определение  модели.

Содержанием любой экономико-математической модели является выраженная в формально-математических соотношениях экономическая сущность условий задачи и поставленной цели. В модели экономическая величина представляется математическим соотношением, но не всегда математическое соотношение  является экономическим. Описание экономических  условий математическими соотношениями - результат того, что модель устанавливает  связи и зависимости между  экономическими параметрами или  величинами.

По содержанию различают экономико-математические и экономико-статистические модели. Различие между ними состоит в  характере функциональных зависимостей, связывающих их величины. Так, экономико-статистические модели связаны с показателями, сгруппированными различными способами. Статистические модели устанавливают зависимость  между показателями и определяющими  их факторами в виде линейной и  нелинейной функции. Экономико-математические модели включают в себя систему ограничений, целевую функцию.

Система ограничений состоит из отдельных математических уравнений  или неравенств, называемых балансовыми  уравнениями или неравенствами.

Целевая функция связывает между  собой различные величины модели. Как правило, в качестве цели выбирается экономический показатель (прибыль, рентабельность, себестоимость, валовая  продукция и т.д.). Поэтому целевую  функцию иногда называют экономической, критериальной. Целевая функция - функция  многих переменных величин и может  иметь свободный член.

Критерии оптимальности - экономический  показатель, выражающийся при помощи целевой функции через другие экономические показатели. Одному и  тому же критерию оптимальности могут  соответствовать несколько разных, но эквивалентных целевых функций. Модели с одной и той же системой ограничений могут иметь различные  критерии оптимальности и различные  целевые функции.

Решением экономико-математической модели, или допустимым планом называется набор значений неизвестных, который  удовлетворяет ее системе ограничений. Модель имеет множество решений, или множество допустимых планов, и среди них нужно найти  единственное, удовлетворяющее системе  ограничений и целевой функции. Допустимый план, удовлетворяющий целевой  функции, называется оптимальным. Среди  допустимых планов, удовлетворяющих  целевой функции, как правило, имеется  единственный план, для которого целевая  функция и критерий оптимальности  имеют максимальное или минимальное  значение. Если модель задачи имеет  множество оптимальных планов, то для каждого из них значение целевой  функции одинаково.

Если экономико-математическая модель задачи линейна, то оптимальный план достигается в крайней точке  области изменения переменных величин  системы ограничений. В случае нелинейной модели оптимальных планов и оптимальных  значений целевой функции может  быть несколько. Поэтому необходимо определять экстремальные планы  и экстремальные значения целевой  функции. План, для которого целевая  функция модели имеет экстремальное  значение, называют экстремальным планом, или экстремальным решением.

Для нелинейных моделей иногда существуют экстремальные значения целевой  функции, а для линейных моделей  экстремальных планов и экстремальных  значений целевой функции быть не может.

Таким образом, для принятия оптимального решения любой экономической  задачи необходимо построить ее экономико-математическую модель, по структуре включающую в  себе систему ограничений, целевую  функцию, критерий оптимальности и  решение.

Методика построения экономико-математической модели состоит в том, чтобы экономическую  сущность задачи представить математически, используя различные символы, переменные и постоянные величины, индексы и  другие обозначения.

Все условия задачи необходимо записать в виде уравнений или неравенств. Поэтому, в первую очередь необходимо определить систему переменных величин, которые могут для конкретной задачи обозначить искомый объем  производства продукции на предприятии, количество перевозимого груза поставщиками конкретным потребителям.

2.2. Постановка задач оптимизации

В общем виде задача оптимизации, или  задача определения экстремума, ставится следующим образом.

Пусть заданы:

функция f(X), определенная на множестве R^N ;

множество D R^N.

Найти точку Y = (y₁, y₂,..., y_N) D, в которой функция f (X) достигает экстремального (минимального или максимального) значения, т.е.

f(X) = extr f(X) и Y D.

Функция f(X) называется целевой функцией, переменные X - управляемыми переменными, D - допустимым множеством и любой  набор значений Y управляемых переменных, принадлежащий D (Y D), - допустимым решением задачи оптимизации.

Понятно, что искомая точка Y, в  которой f(X) достигает своего экстремума, должна принадлежать пересечению области  определения O функции f(X) и допустимого  множества D (Y O D). Если множества O и D совпадают  со всем пространством R^N (O = D = R^N), то такая задача называется задачей на безусловный экстремум. Если хотя бы одно из множеств O или D является собственным подмножеством пространства R^N (O R^N , D R^N) или множества O и D пересекаются (O D ), то такая задача называется задачей на условный экстремум, в противном случае (O D = ) точка экстремума Y не существует. Подчеркнем один частный случай: если множества O и D пересекаются в одной точке Y, то эта точка Y является единственным допустимым решением.

Обычно в задаче условного экстремума задается не само допустимое множество  решений D, а система соотношений, его определяющая,

_j (x_1, х _2, х _N) (=, ) 0, j = 1, 2, … М,

т.е.

D = X: j (X) (=, ) 0, j = 1, 2, ... , M R^N,

или множество D может одновременно задаваться как в явном виде, т.е. допустимое решение Х должно принадлежать некоторой области P R^N, так и системой ограничений.

III. Методы линейного  программирования.

3.1. Общая и типовая задача  в линейном программировании.

Оптимизационная задача - это экономико-математическая задача, которая состоит в нахождении оптимального (максимального или  минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

В самом общем виде задача математически  записывается так:

U = f(X) max; X W,

Где X = (Х1, Х2,…, Хn);

W - область допустимых значений  переменных Х1, Х2,…, Хn;

f(X) - целевая функция.

Для того, чтобы решить задачу оптимизации, достаточно найти ее оптимальное  решение, т.е. указать X() W такое, что f(X()) f(X), при любом X W, или для случая минимизации - что f(X()) ? f(X), при любом X W.

Оптимизационная задача является неразрешимой, если она не имеет оптимального решения. В частности, задача максимизации будет  неразрешима, если целевая функция f(X) не ограничена сверху на допустимом множестве W.

Методы решения оптимизационных  задач зависят как от вида целевой  функции f(X), так и от строения допустимого  множества W. Если целевая функция  в задаче является функцией n переменных, то методы решения называют методами математического программирования.

В математическом программировании принято  выделять следующие основные задачи в зависимости от вида целевой  функции f(X) и от области W:

· задачи линейного программирования, если f(X) и W линейны;

· задачи целочисленного программирования, если ставится условие целочисленности  переменных Х1, Х2,…, Хn;

· задачи нелинейного программирования, если форма f(X) носит нелинейный характер.

Задачи линейного  программирования.

Задачей линейного программирования называется задача исследования операций, математическая модель которой имеет  вид:

f(X) = СjXj max(min);

aij xj = bi, iI, IM = 1, 2,…m;

aij xj bi, iM;

Xj0, jJ, JN = 1, 2,…n.

При этом система линейных уравнений  и неравенств, определяющая допустимое множество решений задачи W, называется системой ограничений задачи линейного  программирования, а линейная функция f(X) называется целевой функцией или  критерием оптимальности.

Любую задачу линейного программирования можно свести к задаче линейного  программирования в канонической форме. Для этого в общем случае нужно  уметь сводить задачу максимизации к задаче минимизации; переходить от ограничений неравенств к ограничениям равенств и заменять переменные, которые  не подчиняются условию неотрицательности. Максимизация некоторой функции  эквивалентна минимизации той же функции, взятой с противоположным  знаком, и наоборот.

Правило приведения задачи линейного  программирования к каноническому  виду состоит в следующем:

1) если в исходной задаче требуется  определить максимум линейной  функции, то следует изменить  знак и искать минимум этой  функции;

2) если в ограничениях правая  часть отрицательна, то следует  умножить это ограничение на -1;

3) если среди ограничений имеются  неравенства, то путем введения  дополнительных неотрицательных  переменных они преобразуются  в равенства;

4) если некоторая переменная  Хk не имеет ограничений по  знаку, то она заменяется (в  целевой функции и во всех  ограничениях) разностью между двумя  новыми неотрицательными переменными::

Xk = X`k - Xl, где l - свободный индекс, X`k 0, Xk 0.

3.2. Постановка задачи линейного  программирования

Под термином «транспортные задачи»  понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим  для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся  у m производителей (поставщиков), но n потребителям этих ресурсов.

На автомобильном транспорте часто  встречаются следующие задачи, относящиеся  к транспортным:

· прикрепление потребителей ресурса  к производителям;

· привязка пунктов отправления  к пунктам назначения;

· взаимная привязка грузопотоков прямого  и обратного направлений;

· отдельные задачи оптимальной  загрузки промышленного оборудования;

· оптимальное распределение объемов  выпуска промышленной продукции  между заводами-изготовителями.

Транспортным задачам присущи  следующие особенности:

· распределению подлежат однородные ресурсы;

· условия задачи описываются только уравнениями;

· все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения;

· во всех уравнениях коэффициенты при  неизвестных равны единице;

· каждая неизвестная встречается  только в двух уравнениях системы  ограничений.

Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом.

3.3. Решение транспортной задачи

Мощности постав- щиков 140	Мощности потребителей	U i
	18	15	32	45	30
30	10	7/15	14	8/5	7/10	0
40	12	8	10	8/40	15	0
25	6/18	10	10	12	14/7	-7
45	16	10	8/32	12	16/13	-9
Vj	-1	7	-1	8	7