Количественные и качественные методы оценивания сложных систем

      При выполнении всех пяти аксиом существует функция полезности, однозначно определенная на множестве всех альтернатив.

      Все известные способы определения  вида функции полезности носят приближенный характер и строятся на основе анализа влияния альтернатив исследуемой области на операцию более высокого уровня иерархии, на основе экспертных оценок или на основании аппроксимации известных зависимостей. 

2. Методы векторной оптимизации

2.1 Методы векторной оптимизации в условиях определенности

      Пусть K=(k1,k2, … ,k_n) – критерий , K(a) – векторная оценка альтернативы A є A. Тогда общая задача векторной оптимизации будет выглядеть как:

K (a)→ opt K( a)

       ^{A є a}

где opt – оператор оптимизации. 

      Решение этой задачи любым методом подразумевает 3 последовательных этапа:

      Этап 1. Определение частных показателей и критериев.

      Этап 2. Определение множества Парето, задаваемое свойством его элементов: - множество Парето включает альтернативы, которые всегда более предпочтительны по сравнению с любой из множества А\А*, при этом любые две альтернативы из множества Парето по предпочтению не сравнимы .

      Этап 3. Скаляризация (свертка) критериев – устранение многокритериальности. Одновременная оптимизация всех критериев в области Парето невозможна. Поиск решения должен осуществляться на основе какой - схемы компромиссного выбора решения. Эта схема и определяет метод векторной оптимизации.

2.1.1 Метод выделения главного критерия.

     ЛПР выделяет один главный критерий, остальные вводятся в состав ограничений. Недостаток метода – субъективность, иттерационность, невозможность оценки взаимного влияния критериев.

2.1.2 Метод лексикографической оптимизации.

      Предполагается, что критерии k_i, составляющие векторный критерий К, могут быть упорядочены на основе отношения предпочтительности. 
 

Алгоритм  метода.

      Шаг 1. Выбирается подмножество альтернатив A₁ A, имеющих наилучшие оценки по первому критерию k₁. Если окажется, что |A₁|=1 (множества равна 1, т.е. множество содержит всего один элемент), то единственная альтернатива a₁ є A₁ признается наилучшей. Если |A₁|>1, то выполняется шаг 2.

      Шаг 2. Выбирается   A₂ A₁ по критерию k₂ . Если |A₂|=1, то наилучшая альтернатива a₂ є A₂. Если |A₂|>1, то повторять шаг 2 и так до тех пор, пока не будет найдена единственная альтернатива a_i . 

Графически алгоритм может выглядеть, как показано на рис.16.

2.1.3 Метод последовательных уступок .

     Для каждого из проранжированных по важности критериев назначается допустимое отклонение значения критерия от наилучшего. Далее строятся множества A₁,A₂,A₃ и т.д. как в предыдущем методе, только альтернативы включаются в подмножества не только в случае совпадения с наилучшим значением критерия, но и в случае, когда значение «» в отклонения.

      При этом «уступки» (допуски) назначаются таким образом, чтобы было истинным высказывание,                               поскольку превращение множества A_j в пустое или однокомпонентное множество приводит к невозможности оптимизации по остальным критериям.

     Если  допустимые отклонения для всех компонентов векторного критерия положить равными нулю, то метод последовательных уступок превратиться в метод лексикографической оптимизации. 

2.2 Методы векторной оптимизации в условиях неопределенности.

      Особенностью  организационно–технических (человеко-машинных) систем часто не позволяют свести операции, производимые этими системами к детерминированным или вероятностным. Эти особенности вызваны:

     - наличием в управляемой системе субъективного фактора (человека);

     - возможностью выбора системой алгоритма управления, не совпадающего по целям с внешней системой;

     - тем, что при выборе решения ЛПР может использовать не логику, а интуицию;

     - отсутствием объективных критериев оценки состояний системы.

      В условиях неопределенности могут быть известны множества состояний обстановки и эффективность системы для каждой из них, но нет данных, с какой вероятностью может появиться то или иное состояние.

Методы  определяются типом используемого  критерия.

2.2.1 Метод среднего выигрыша .

Эффективность системы оценивается как среднее ожидаемое значение (ожидание) оценок эффективности по всем состояниям обстановки: K=k₁p₁ + k₂p₂ + … + k_np_n , где ki – эффективности I-го состояния , pi – вероятность появления i-го состояния.

      По  существу, операция из неопределенной переводится в вероятностную, причем произвольным образом. Разновидностью метода является метол, использующий критерий Лапласа, когда предполагается, что все состояния обстановки равновероятностные.

2.2.2 Метод осторожного наблюдателя (метод Вальда, метод максимини).

      Он  гарантирует выигрыш при наихудших  условиях. Наилучшим выбирается максимальное из минимальных значений эффективности. Выбранное по этому критерию решение обладает наименьшим риском.

2.2.3 Метод максимакса.

      Наилучшим считается решение, обладающее наибольшей эффективностью из максимальных. Такое решение имеет наибольший риск. 

2.2.4 Метод пессимизма - (Гурвица, обобщенного максимина).

      Критерий  учитывает самое высокое и  самое низкое значения эффективности  и ориентируется на выбор промежуточного значения. Для этого вводится коэффициент оптимизма ά (0 ≤ a ≤ 1), характеризующий отношение к риску лица, принимающего решение. Эффективность системы находится как взвешенная с помощью коэффициента ά сумма максимальных и минимальных оценок:

      При ά = 0 критерий Гурвица сводится к критерию максимина , а при ά = 1 - к критерию максимина .