Компонентный и факторный анализ

I₁= =0,458

I₂= =0,667

I₃=

 На заданном уровне информативности выделено три главных компоненты.

                                       

        Запишем матрицу  =

Для получения нормализованного вектора перехода от исходных признаков к главным компонентам необходимо решить систему уравнений: , где - соответствующее собственное число. После получения решения системы необходимо затем нормировать полученный вектор.

        Для решения данной задачи  воспользуемся функцией eigenvec системы MathCAD, которая возвращает нормированный вектор для соответствующего собственного числа.

В нашем случае первых четырех главных компонент достаточно для достижения заданного уровня информативности, поэтому матрица U (матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов)

Строим матрицу U, столбцами которой являются собственные вектора:

U= .

Матрица весовых коэффициентов:

А= .

Коэффициенты матрицы  А являются коэффициентами корреляции между центрировано – нормированными исходными признаками  и ненормированными главными компонентами, и показывают наличие, силу и направление линейной связи между соответствующими исходными признаками и соответствующими главными компонентами.

 

2.2 Экономическая интерпретация  полученных главных компонент

 

Коэффициент матрицы А представляют собой коэффициенты корреляции между i-ой главной компонентой и j-ым исходным признаком.

Так как первая главная  компонента зависит главным образом  от первого (X₅ – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X₇ – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно ее можно обозначить как «Эффективность основного производства». Вторая главная компонента тесно взаимосвязана со вторым (X₆ – удельный вес покупных изделий) и четвертым (X₉ – удельный вес потерь от брака) исходными признаками, ее можно обозначить как «Удельный вес затрат не приносящих прибыль». Третья главная компонента взаимосвязана с четвертым исходным признаком, поэтому ее обозначим «Удельный вес потерь от брака».

 

2.3 Матрица наблюденных  значений главных компонент.

 

      Мы получили  ненормированные главные компоненты. Проведя нормирование полученных центрированных , получим . При нормировании дисперсия должна равняться 1, . Для этого нужно разделить на среднеквадратическое отклонение .

      Обозначим   - это матрица весовых коэффициентов, с помощью которой устанавливается связь между нормированными исходными признаками и нормированными главными компонентами.

 Модель метода главных  компонент:

 где

- значение I-той стандартизированной переменной по j-ому объекту наблюдения;

- m-тая главная компонента по j-ому объекту наблюдения;

- весовой коэффициент m-той главной компоненты и I-той переменной.

Эту матрицу будем  строить, исходя из соотношения  ,

где - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят дисперсии соответствующих главных компонент в минус первой степени;

 - транспонированная матрица  факторных нагрузок;

     Х- матрица  наблюденных значений исходных  признаков.

 

Данная формула хороша тем, что она верна и в том случае, если матрица

А не квадратная (т.е. выделено m<n главных компонент).

«Наблюденные» значения главных компонент приведены  в Приложениях. 

 

2.4 Классификация объектов.

 

Проведем классификацию  объектов по первым двум главным компонентам.

Рис.1: Объекты в пространстве главных  компонент.

На рис.1 видно, что  первая группа характеризуется положительными значениями первой главной компоненты, а вторая группа характеризуется  отрицательными значениями первой главной компоненты. При этом значения второй главной компоненты схожи у обеих групп.

 

2.5 Уравнение регрессии на главные  компоненты.

              Построим уравнение регрессии  на выделенные главные компоненты  методом пошаговой регрессии, который предполагает, что на каждом шаге мы будем включать в уравнение регрессии тот признак, который будет вызывать наибольшее приращение коэффициента детерминации.

 Процесс будет остановлен, когда величина  достигнет своего максимума.

В итоге уравнение  регрессии примет вид:

Подробный анализ, выполненный  с помощью программы “Stadia”, приведен в Приложениях.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Метод  главных факторов

      Мы ставим  перед собой задачу снижения размерности признакового пространства. С самого начала будем исходить из того, что мы n признаков попытаемся объяснить с помощью меньшего количества m-латентных признаков  - общих факторов, где m<<n, а различия между исходными признаками и введёнными общими факторами, точнее их линейными комбинациями учтём с помощью так называемых характерных факторов. 

      Конечная  цель статистического исследования, проводимого с привлечением аппарата факторного анализа, как правило, состоит в выявлении и интерпретации латентных общих факторов с одновременным стремлением минимизировать как их число, так и степень зависимости от своих специфических остаточных случайных компонент .

      Итак, в  нашем распоряжении последовательность многомерных наблюдений Х.

 

Предполагаем, что каждый признак  является результатом воздействия m гипотетических общих и одного характерного факторов:

₍₁₎

 - весовые коэффициенты;

 - общие факторы, которые подлежат  определению;

 - характерный фактор для i-ого исходного признака;

 - весовой коэффициент при  i-ом характерном факторе.

Представим выражение (1) в матричной  форме.

Введём обозначения:

  

Сумма матриц даёт:

Представим матрицы  индивидуальных значений общих и  характерных факторов. Иногда для удобства их представляют в одной матрице:

Модель (1) можно записать в матричной форме:

 

3.1 Преобразование матрицы парных коэффициентов корреляции  в   редуцированную матрицу.

 

Запишем корреляционную матрицу:

        

           Следующим шагом будет – построение  редуцированной матрицы корреляции с общностями на главной диагонали. Общность показывает какую часть, какую долю составляет относительно дисперсии каждого из m общих факторов в дисперсии I - го исходного признака. Существуют следующие методы нахождения общности:

1. наибольшего элемента метод по строке

Суть метода заключается  в том, что в строке матрицы  , соответствующей данному признаку, выбирается элемент с наибольшим абсолютным значением. Это наибольшее значение коэффициента корреляции записывается на главной диагонали.

    h = 0,940  h =0,219  h =0,415    h =0,172  h =0,940

2. метод среднего коэффициента корреляции

        

    h = 0,3977  h =0,1175  h =0,2627    h =0,10025   h =0,4117 

      с)  метод триад

В j – ом столбце или строке отыскивают два наибольших значения коэффициентов корреляции и , тогда

        h = 0,2314 h =0.0821  h =0,1717   h =0,0306   h =0,1956

d) метод первого центроидного фактора

       h = 0,6562   h =0,8181   h =0,9407   h =0,2054  h =0,4315

 

       Запишем матрицу , используя метод среднего коэффициента корреляции:

              h = 0,3977  h =0,1175  h =0,2627    h =0,10025   h =0,4117  

       Построим матрицу Rh – редуцированную корреляционная матрица.

 

         Для получения первого вектора коэффициентов первого главного фактора необходимо найти наибольшее собственное число матрицы и по нему построить соответствующий собственный вектор, затем нормировать его и умножить все компоненты этого вектора на ( для того, чтобы длина этого вектора была ), тогда получим искомый вектор .Затем необходимо найти матрицу рассеивания , обусловленную влиянием первого общего фактора, и матрицу остатков , которая содержит в себе связи, обусловленные влиянием всех общих факторов, начиная со второго. Далее переходим по той же схеме к поиску собственных чисел матрицы . Но, оказывается, что собственные числа и собственные вектора матриц и совпадают, начиная со второго, а это означает, что достаточно найти собственные числа матрицы , ранжировать их и найти собственные вектора.

       Получим  следующие собственные числа: 

₁=1.658  ₂=0.21  ₃=0.069  ₄=-0.105  =-0.542

       Процесс выделения главных факторов прекращают как только сумма собственных чисел соответствующих выделенным главным факторам превысят след матрицы R_h.  В нашем случае при выделении первых трех главных факторов , а То есть в нашем случае выделения трех главных факторов достаточно для объяснения корреляционных связей между признаками.

 

          Положительное, максимальное собственное  число  ₁=1,568, построим собственный вектор соответствующий данному

     собственному  числу:  ₌ , - ненормированный вектор полученный из =0

Найдем:  , ₁= .

      Рассмотрим  второе положительное максимальное  собственное число и третье, а  также соответственные собственные  собственные вектора                                    ₂= , для ₂=0,21

₃= , для =0,069

Матрица факторного отображения:

 

Произведем экономическую  интерпретацию полученных общих  факторов на основании матрицы факторных нагрузок А.

Первый главный фактор имеет  тесную взаимосвязь с первым (X₅ – удельный вес рабочих в составе ППП) и третьего (X₇ – коэффициент сменности оборудования) исходного признака, следовательно его можно обозначить как «Эффективность основного производства». Второй общий фактор наиболее тесную взаимосвязь имеет со вторым исходным признаком, обозначим его как «Удельный вес покупных изделий». Третий главный фактор имеет очень низкую взаимосвязь со всеми исходными признаками 

       

3.2 Графическая классификация предприятий  по двум общим факторам

 

      Чтобы графически  произвести классификацию объектов, необходимо найти наблюденные  значения первых двух общих  факторов. Это можно сделать по формуле: , где

          - транспонированная матрица факторных нагрузок;

   - диагональная матрица, на главной диагонали которой стоят харак      терности соответствующих общих факторов;

 - матрица центрированно-нормированных   значений исходных признаков.

Матрица наблюденных значений общих  факторов приведена в Приложениях.

Отобразим объекты наблюдения в  пространстве первых двух общих факторов.

3.3 Переход к обобщенным факторам  с помощью варимаксного вращения

 

         В факторном  анализе при решении практических  задач широко применяется ортогональное вращение. Конечной целью факторного анализа является получение содержательно интерпретируемых факторов, которые воспроизводили бы выборочную корреляционную матрицу между переменными. Например, в методе главных факторов это достигается путем вращения.

Поскольку из множества  положений системы координат  надо выбрать одну, нужен критерий, который давал бы возможность судить о том, что мы близко подошли к своей цели. Таких критериев предложено много. Остановимся на наиболее часто используемом методе варимаксного вращения. Метод Варимакс рассчитывает V_j критерий качества структуры каждого фактора:

       При помощи  метода «варимакс» достигают  максимального упрощения в описании  столбцов матрицы факторного  отображения. Возможно раздельноеулучшение структуры факторов. Наилучшим  будет максимальное значение критерия. Если после очередного вращения V_j растет – переходим к вращению. Рассчитаем  V_j для имеющейся матрицы А:V₁=0.307, V₂=0.168

Рис.3: Классификация признаков.

  

   Наша цель не  только снизить размерность признакового  пространства, но и предать выделенным факторам  какой-то экономический смысл. Мы можем перейти с помощью вращения  от факторов f1 и f2 к факторам f1 и f2 с помощью соотношения  В=Т*А. Исходя из геометрических соображений, повернем систему координат по часовой стрелки на угол равный 15 . Матрица вращения будет иметь вид: