Контрольная работа по дисциплине «Экономико-математические методы и прикладные модели»

Если данную задачу решать на максимум, то задача не имеет решения, так как целевая функция не ограничена сверху, т.е max f(X) = +∞.

Графическое решение (рис.1)

 

Задача 3. Экономико-математическая модель межотраслевого баланса (модель Леонтьева)

Задача 3.2. В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос Y(t) (млн руб.) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд Y(t) этого показателя приведен ниже.

1	2	3	4	5	6	7	8	9
43	47	50	48	54	57	61	59	65

Требуется:

1) проверить наличие аномальных  наблюдений;

2) построить линейную  модель Y(t)=a₀+a₁t, параметры которой оценить МНК (Y(t)— расчетные, смоделированные значения временного ряда);

3) оценить адекватность  построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7–3,7);

4) оценить точность  моделей на основе использования  средней относительной ошибки аппроксимации;

5) по построенной модели  осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности р = 70%);

6) фактические значения  показателя, результаты моделирования и прогнозирования представить графически.

Вычисления провести с точностью до одного знака после запятой. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить соответствующие листинги с комментариями).

 

Решение:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений

Для выявления аномальностей  ряда наблюдения воспользуемся методом Ирвина.

Рассчитаем значение

Где ,

Для удобства вычисления промежуточные расчеты представим в таблице 1:

Таблица 1

t
1	43	-10,78	116,21	--	--
2	47	-6,78	45,97	4	0,55
3	50	-3,78	14,29	3	0,41
4	48	-5,78	33,41	2	0,27
5	54	0,22	0,05	6	0,82
6	57	3,22	10,37	3	0,41
7	61	7,22	52,13	4	0,55
8	59	5,22	27,25	-2	-0,27
9	65	11,22	125,89	6	0,82
	484		425,57

 

Все расчетные значения меньше табличного значения критерия Ирвина (при n=9, =1,5), следовательно, можно говорить о том, что аномальных наблюдений не обнаружено.

2. Построить линейную модель , параметры которой оценить МНК ( - расчетные, смоделированные значения временного ряда).

Построю линейную модель регрессии Y от t.

• Введу исходные данные, рис 2.1:

Рис 2.1

• Для проведения регрессионного анализа выберу команду Сервис → Анализ Данных.
• В диалоговом окне Анализ Данных выберу инструмент Регрессия, нажимаю ОК.
• В окне Регрессия в поле Входной интервал Y ввожу адрес диапазона ячеек, который представляет зависимую переменную. В поле Входной интервал Х ввожу адрес диапазона независимой переменной t.
• В поле График подбора ставлю флажок.
• В поле Остатки ставлю необходимые флажки и нажимаю кнопку ОК.

Результат получаю в  виде, приведенном на рисунках 2.2 и 2.3:

Рис 2.2 Результат регрессионного анализа

Рис. 2.3 Вывод остатка

Оценка параметров модели «вручную». Привожу таблицу промежуточных расчетов параметров линейной модели  по формулам:

Таблица 2

t	yt	t - t	(t – t)	yt-y	(t-t)(yt-y)	yt=a0+a1t	Et=yt-yt
1	43	- 4	16	-10,78	43,12	43,44	-0,44
2	47	- 3	9	-6,78	20,34	46,03	0,97
3	50	- 2	4	-3,78	7,56	48,61	1,39
4	48	-1	1	-5,78	5,78	51,19	-3,19
5	54	0	0	0,22	0	53,78	0,22
6	57	1	1	3,22	3,22	56,36	0,63
7	61	2	4	7,22	14,44	58,94	2,06
8	59	3	9	5,22	15,66	61,53	-2,53
9	65	4	16	11,22	44,88	64,11	0,89
			60		155

 

Линейная модель будет  выглядеть следующим образом: 

3. Оценить адекватность модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения.

Оценка адекватности. Исследую свойства остаточной компоненты, т.е. расхождения уровней, рассчитанных по модели и фактических наблюдений. Результаты привожу в таблице 3:

Таблица 3

t		Точки поворота		2
1	-0,44		0,19	--
2	0,97		0,94	1,99
3	1,39	*	1,93	0,18
4	-3,19	*	10,18	20,98
5	0,22		0,05	11,63
6	0,63		0,4	0,17
7	2,06	*	4,24	2,04
8	-2,53	*	6,4	21,07
9	0,89		0,79	11,7
	0	4	25,12	69,76

                                                                                              

 

 

 

 

 

Проверка независимости (отсутствие автокорреляции). Определяю с помощью dw – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

=

=4-2,78=1,22

Так как dw` попало в интервал от d2 до 2, то поданному критерию можно сделать вывод о выполнении свойства независимости. Это означает, что в ряде динамики не имеется автокорреляции, следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Проверка случайности. Проведу ее на основе критерия поворотных точек. Количество поворотных точек р равно 4 (р=4), при n=9.

Неравенство 4 > 2 выполняется, Следовательно, выполняется свойство случайности. Модель по этому критерию адекватна.

Нормальный закон  распределения. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим с помощью RS – критерия:

где  - максимальный уровень ряда остатков, = 2,06; - минимальный уровень ряда остатков, = - 3,19

=

Расчетное значение попадает в интервал (2,7 – 3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

4. Оценить точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

 Для оценки точности  модели вычислю среднюю относительную  ошибку аппроксимации Еотн.

 

Таблица 4

t
1	43	-0,44	0,01
2	47	0,97	0,02
3	50	1,39	0,03
4	48	-3,19	0,07
5	54	0,22	0,004
6	57	0,63	0,011
7	61	2,06	0,034
8	59	-2,53	0,04
9	65	0,89	0,014

 

%

Полученные значения средней относительной ошибки говорит  о высоком уровне точности построенных  моделей, т.к. ошибка менее 5% свидетельствует  об удовлетворительном уровне точности.