Контрольная работа по "Эконометрике"

 

 

 

 

 

 

t	y	x	yx	x2
1	21	12	252	144	-2,7	7,29	-4,1	16,81	11,07	19,73	1,27	6,048
2	10	4	40	16	-13,7	187,69	-12,1	146,41	165,77	11,99	-1,99	19,9
3	26	18	468	324	2,3	5,29	1,9	3,61	4,37	25,54	0,46	1,769
4	33	27	891	729	9,3	86,49	10,9	118,81	101,37	34,25	-1,25	3,788
5	34	26	884	676	10,3	106,09	9,9	98,01	101,97	33,28	0,72	2,118
6	37	29	1073	841	13,3	176,89	12,9	166,41	171,57	36,19	0,81	2,189
7	9	1	9	1	-14,7	216,09	-15,1	228,01	221,97	9,08	-0,08	0,889
8	21	13	273	169	-2,7	7,29	-3,1	9,61	8,37	20,70	0,3	1,429
9	32	26	832	676	8,3	68,89	9,9	98,01	82,17	33,28	-1,28	4
10	14	5	70	25	-9,7	94,09	-11,1	123,21	107,67	12,96	1,04	7,429
Итого	237	161	4792	3601	0	956,1		1008,9	976,3			49,559
Ср. знач.	23,7	16,1	479,2	360,1								4,956

Таблица 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение  степенной модели парной регрессии

Уравнение степенной модели имеет  вид: .

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

t	Факт y(t)	lg(Y)	Переменная x(t)	lg(X)
1	21	1,3222	12	1,0792
2	10	1	4	0,6021
3	26	1,4150	18	1,2553
4	33	1,5185	27	1,4314
5	34	1,5315	26	1,4150
6	37	1,5682	29	1,4624
7	9	0,9542	1	0
8	21	1,3222	13	1,1139
9	32	1,5051	26	1,4150
10	14	1,1461	5	0,6990
Итого	237	13,283	161	10,473
Ср. знач.	23,7	1,3283	16,1	1,0473

Обозначим . Тогда уравнение примет вид Y = A + bX – линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя  данные табл. 2.

;

Y = 0,8536+0,4533X

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

.

Связь между показателем y и х можно считать достаточно сильной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 95,1% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 10,083%.

 

 

 

 

 

 

Таблица 2

 

t	y	Y	x	X	YX	X2
1	21	1,3222	12	1,0792	1,4269	1,1647	22,018	-2,7	7,29	-1,018	1,036	4,85
2	10	1	4	0,6021	0,6021	0,3625	13,381	-13,7	187,69	-3,381	11,431	33,81
3	26	1,415	18	1,2553	1,7762	1,5758	26,460	2,3	5,29	-0,46	0,212	1,77
4	33	1,5185	27	1,4314	2,1736	2,0489	31,799	9,3	86,49	1,201	1,442	3,64
5	34	1,5315	26	1,4150	2,1671	2,0022	31,260	10,3	106,09	2,74	7,508	8,06
6	37	1,5682	29	1,4624	2,2933	2,1386	32,846	13,3	176,89	4,154	17,256	11,23
7	9	0,9542	1	0	0	0	7,138	-14,7	216,09	1,862	3,467	20,69
8	21	1,3222	13	1,1139	1,4728	1,2408	22,831	-2,7	7,29	-1,831	3,353	8,72
9	32	1,5051	26	1,4150	2,1297	2,0022	31,260	8,3	68,89	0,74	0,548	2,31
10	14	1,1461	5	0,6990	0,8011	0,4886	14,805	-9,7	94,09	-0,805	0,648	5,75
Итого	237	13,283	161	10,473	14,8429	13,0243		0	956,1	3,202	46,900	100,83
Ср. знач.	23,7	1,3283	16,1	1,0473	1,4843							10,083

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение  показательной функции

Уравнение показательной кривой:

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных, для этого осуществим логарифмирование обеих частей уравнения:

Обозначим

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B·x

Рассчитаем его параметры, используя  данные табл. 3.

Уравнение будет иметь вид:

Y = 0,997+0,0206х

Перейдем к исходным переменным х и y, выполнив потенцирование данного уравнения:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 94,3% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 10,942%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t	y	Y	x	Yx	x2
1	21	1,3222	12	15,87	144	-2,7	7,29	17,63	11,357	3,37	16,048
2	10	1	4	4,00	16	-13,7	187,69	12,02	4,080	-2,02	20,200
3	26	1,415	18	25,47	324	2,3	5,29	23,49	6,300	2,51	9,654
4	33	1,5185	27	41,00	729	9,3	86,49	36,13	9,797	-3,13	9,485
5	34	1,5315	26	39,82	676	10,3	106,09	34,44	0,194	-0,44	1,294
6	37	1,5682	29	45,48	841	13,3	176,89	39,76	7,618	-2,76	7,459
7	9	0,9542	1	0,95	1	-14,7	216,09	10,42	2,016	-1,42	15,778
8	21	1,3222	13	17,19	169	-2,7	7,29	18,49	6,300	2,51	11,952
9	32	1,5051	26	39,13	676	8,3	68,89	34,44	5,954	-2,44	7,625
10	14	1,1461	5	5,73	25	-9,7	94,09	12,61	1,932	1,39	9,929
Итого	237	13,283	161	234,64	3601	0	956,1		55,548		109,424
Ср. знач.	23,7	1,3283	16,1	23,46	360,1						10,942

Таблица 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Построение  гиперболической функции

Уравнение гиперболической функции:

Произведем линеаризацию модели путем  замены X = 1/x. В результате получим линейное уравнение

.

Рассчитаем его параметры по данным табл. 4.

Получим следующее уравнение гиперболической  модели:

Определим индекс корреляции:

Связь между показателем y и х можно считать относительно сильной.

Коэффициент детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 46,8% объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F-критерия Фишера:

.

F>F_табл. = 5,32, для α = 0,05; k₁ = m = 1, k₂ = n-m-1 = 8. Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статически значимое, так как F>F_табл.

Определим среднюю относительную  ошибку:

В среднем расчетные значения для линейной модели отличаются от фактических значений на 37,039%.

 

 

9. Сравним  модели уравнений нелинейной  регрессии по этим характеристикам 

 

Параметры	Коэффициент детерминации R2	Средняя относительная ошибка
1. степенная	0,951	10,083
2. показательная	0,943	10,942
3. гиперболическая	0,468	37,039

 

 

Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находящегося под воздействием изучаемых  факторов. Чем ближе R² к 1, тем выше качество модели.

Чем выше рассеяние эмпирических точек  вокруг теоретической линии регрессии, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует  о высоком качестве модели, а при больше 15% - о неудовлетворительном качестве модели.

При сравнении гиперболической, степенной  и показательной моделей по данным характеристикам мы видим, что наибольшее значение коэффициента детерминации R² и наименьшую ошибку аппроксимации имеет степенная модель, следовательно, ее можно считать наилучшей.