СОДЕРЖАНИЕ 
 

   Задача  № 1……………………….…………………………………………..3

   Задача  № 2…………………...………………………………………………6

   Задача  № 3 …………………………………………………………………10

   Задача  № 4 …………………………………………………………………14

   ЛАБОРАТОРНАЯ  РАБОТА………………………………………...……20

   СПИСОК  ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ………………………32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

    Задача  № 1. Решить графическим методом типовую задачу оптимизации. 
 

      Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено на сумму по крайней мере в два раза большую, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

      Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В — 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?        Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему? 

Решение

      Введем обозначения:

      х₁ — инвестиции в акции концерна А.

      х₂ — инвестиции в акции строительного предприятия В.

      Экономико-математическая модель задачи будет иметь вид:

     

     

     

     

     

      Построим ОДР задачи:

      Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

      Функциональные ограничения определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:

      I. (0;300) (300;0)

      т.(0;0) –  входит в ОДР;

      II. (200; 100), (0;0).

      т.(1;0) – входит в ОДР;

      III. (0;100) прямая параллельная оси ОХ.

     т.(0;0) – входит в ОДР.

Рисунок № 1.

 

      Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой треугольник АВСО (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

      Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ (0,08;0,1) с началом координат О (0;0).

      Построим некоторую линию уровня 0,08х₁+0,1х₂=а.

      Пусть, например, а = 0

      (0;0) (100;-80)

      Такой линии уровня отвечает прямая ОХ, перпендикулярная вектору-градиенту.

      При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня ОХ в направлении вектора-градиента, а при минимизации – в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня ОХ являются соответственно точка В (максимум) и точка О (минимум). Далее она выходит из ОДР.

      Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения всех прямых:

     

     

      х₁ = 200;

      Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х₁ = 100; х₂ = 200 максимальное значение, равное

      f(х₁,х₂) = 0,08 х 100 + 0,1 х 200 = 28

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Задача  № 2. Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования.

 

      Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице:

      Таблица 1 «Сырьё»

      Требуется:

      1. Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум

выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.

      2. Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.

      3. Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.

      4. На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

      - проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;

      - определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;

      - оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Решение

     

      1. Обозначим через х_j = 1-4 – количество продукции каждого вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум выручки от реализации готовой продукции»:

     

     

     

     

     

      Оптимальный план задачи получен с помощью надстройки Excel Поиск решения:

      Рисунок  2 «Поиск решения»

      Оптимальный план: Х₁=18, Х₂=0, Х₃=0, Х₄=11

      Проверим как удовлетворяет система функциональных ограничений оптимальным планом Х* = (х₁ = 18, х₂ = 0, х₃ = 0, х₄ = 11)

      1 х 18 + 2 х 0 + 1 х 0 + 0 х 11 = 18

      1 х 18 + 1 х 0 + 2 х 0 + 1 х 11 = 29 < 30

      1 х 18 + 3 х 0 + 3 х 0 + 2 х 11 = 40

      Значение целевой функции на этом плане равно:

      f (X) = 12 х 18 + 7 х 0 + 18 х 0 + 10 х 11 = 326

 

    

      2. Двойственная задача имеет вид:

      min (18у₁+30у₂+40у₃)

     

     

     

     

     

      Для нахождения оценок (у₁,у₂,у₃) используем вторую теорему двойственности.

      Т.к. как 2-е ограничение выполняется как строгое неравенство, то у₂=0.

      Так как х₁>0 и х₄>0, то для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:

      у₂ = 0

     

     

      у₁ = 7, у₂ = 0, у₃ = 5.

      Значение целевой функции составит:

      min φ(Y) = 18 х 7 + 30 х 0 + 40 х 5 = 326

      f(Х) = φ (Y) = 326

      3. Нулевые значения х₂, х₃ обозначает то, что продукцию данного вида выпускать нецелесообразно.

      4. Прирост объемов сырья первого типа на единицу дает приращение стоимости на 7 у.е., третьего типа – на 5 у.е., второго типа – не приведет к изменению стоимости. Недефицитным является сырье второго типа. Острее ощущается дефицит сырья первого типа, чем третьего.

      Так как изменение сырья II вида не приведет к изменению стоимости получим:

     

     

      Х = (х₁ = 22, х₂ = 0,х₃ = 0, х₄ = 15)

      Соответственно выручка увеличится на 78 у.е. и составит 404 у.е.

      Изделие «» в план включать невыгодно, т.к. 7 х 2 + 0 х 2 + 5 х 2 – 10 = 14 >0.

Задача  № 3. Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

 

      Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие — продукции второго вида; третье предприятие — продукции третьего вида.

     Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом).

     Специалистами управляющей компании получены экономические  оценки a_ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов y_i вектора конечной продукции Y.

      Таблица  2 «Элементы матрицы»