Методы принятия управленческих решений

Критерий оптимальности  решения для нахождения минимального значения целевой функции: если в  выражении линейной функции через  неосновные переменные отсутствуют  отрицательные коэффициенты при  неосновных переменных, то решение  оптимально.

 

§3. «Метод искусственного базиса».

 

Если ограничения  исходной задачи содержат единичную  матрицу порядка М, то при неотрицательности  правых частей уравнений определен  первоначальный план, из которого с  помощью симплекс – таблиц находится  оптимальный план.

Если ограничения  можно привести к виду:

Ах≤А0 при А0≥0, то система ограничений содержит единичную  матрицу всегда.

Если задача не содержит единичной матрицы и не приводится к указанному виду, то для решения  задачи используется метод искусственного базиса.

Для получения единичной  матрицы к каждому ограничению  прибавляют по одной неотрицательной  переменной, которые называются искусственными. Единичные вектора, соответствующие  искусственным переменным, образуют искусственный базис.

В целевую функцию  искусственные переменные добавляются  с коэффициентом М, если задана задача на нахождение минимума. В этом случае величина М предполагается достаточно большим положительным числом. Если необходимо найти минимальное значение целевой функции, то искусственные  переменные записывают с коэффициентом (-М), который предполагается достаточно малым отрицательным числом. Для  нахождения оптимального плана в  случае, если заранее не задана величина М, применяется симплекс-метод, который  в таблице имеет на одну строку больше, чем обычная симплекс-таблица.

Строка оценок разбивается  на две:

(m+1) – оценка, не  зависящая от М;

(m+2) – коэффициент  при М.

По (m+2) строке определяют вектор, подлежащий включению в базис. Итерационный процесс проводят до исключения из базиса всех искусственных векторов. Затем процесс продолжают по (m+1) строке обычным симплекс-методом.

 

§4. «Транспортная  задача»

 

Классическая транспортная задача формулируется следующим  образом:

Имеется m пунктов отправления (производства) A1, A2, ... ,Am, в которых расположены запасы некоторого однородного продукта (груза). Объём этого продукта в пункте Ai составляет ai единиц. Кроме того, имеется n пунктов потребления B1, B2, ... ,Bn. Объём потребления в пункте Bj составляет bj единиц. Предполагается, что из каждого пункта отправления возможна транспортировка продукта в любой пункт потребления. Известна также стоимость cij перевозки единицы продукта из пункта Ai в пункт Bj .

Требуется составить  такой план перевозок, при котором  все заявки пунктов потребления  полностью выполнялись бы пунктами отправления, а общая стоимость  перевозок была минимальной.

При такой постановке данную задачу называют транспортной задачей по критерию стоимости.

В общем виде исходные данные представлены в таблице 9.

 

Таблица 9

 

Транспортная задача называется закрытой, если суммарный объем отправляемых грузов равен суммарному объему потребности в этих грузах по пунктам назначения

Если такого равенства  нет (потребности выше запасов или  наоборот), задачу называют открытой.

 

П.1 Алгоритм метода минимального элемента.

 

Из распределительной  таблицы 9 выбирают наименьшую стоимость  и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai или bj (если таких клеток несколько, то выбирают любую);

Из рассмотрения исключают либо строку, соответствующую  поставщику, запасы которого полностью  израсходованы, либо столбец, соответствующий  потребителю, потребности которого полностью удовлетворены, либо и  то и другое;

Из оставшейся части  таблицы снова выбирают наименьшую стоимость и процесс продолжается до тех пор, пока все запасы не будут  вывезены, а потребности удовлетворены;

Рассчитывают транспортные расходы: сумма произведений количества перевезенной продукции на стоимость  для занятых клеток.

 

П. 2 Алгоритм метода Фогеля.

В каждой строке находят  разность между двумя наименьшими  стоимостями и записывают ее около  соответствующей строки справа;

В каждом столбце  находят разность между двумя  наименьшими стоимостями и записывают ее под соответствующим столбцом;

Среди всех полученных разностей находят максимальную и распределяют объем перевозки  в клетку строки или столбца с  наименьшей стоимостью;

Исключают из рассмотрения строку или столбец с распределенными  поставками и возвращаются к пункту 1. Процесс продолжается до тех пор, пока все запасы не будут вывезены, а потребности удовлетворены;

Когда план построен, рассчитываются транспортные расходы.

П.3 Алгоритм метода двойного предпочтения.

В таблице 9 в каждом столбце отмечают галочкой клетку с  наименьшей стоимостью и в каждой строке отмечают галочкой клетку с  наименьшей стоимостью;

В клетки с двумя  галочками записывают максимально  возможные объемы перевозок, каждый раз, исключая соответствующий столбец  или строку;

Распределяют перевозки  по клеткам с одной галочкой;

В оставшейся части  таблицы перевозки распределяют в клетки с наименьшей стоимостью.

Когда план построен, рассчитываются транспортные расходы.

 

П.4. Алгоритм метода северо-западного угла.

 

Пользуясь таблицей 9 распределяют груз, начиная с левой  верхней, условно называемой северо-западной, клетки (1,1). Необходимо удовлетворить  потребности В1 за счет поставщика А1;

а). Если b1>a1, в клетку (1,1) записывают a1 и строку 1 вычеркивают  из рассмотрения;

b). Если a1>b1, в клетку (1,1) записывают b1 и столбец 1 вычеркивают из рассмотрения;

а). Если b1>a1, ∆= b1 - a1 – неудовлетворенные потребности. Спускаются на клетку вниз и сравнивают ∆ с a2;

b). Если a1>b1, ∆=a1 - b1 – не вывезенные запасы. Двигаются по строке вправо и сравнивают ∆ с b2;

Необходимо вернуться  к пункту 2;

Рассчитываются  транспортные расходы.

 

П.5. Алгоритм метода потенциалов.

 

проверяется тип  модели транспортной задачи и в случае открытой модели сводим ее к закрытой;

находится опорный  план перевозок путем составления 1-й таблицы одним из способов - северо-западного угла или наименьшей стоимости;

проверяем план (таблицу) на удовлетворение системе уравнений  и на невыражденность; в случае вырождения плана добавляем условно заполненные клетки с помощью « 0 »;

для опорного плана  определяются потенциалы ui и vj, соответствующие базисным клеткам, по условию:

ui + vj = cij

Таких уравнений  будет m + n - 1 , а переменных будет m + n. Для их определения одну из переменных полагают равной любому постоянному значению. Обычно принимают u1 = 0.

После этого для  небазисных клеток опорного плана определяются оценки  ,

где 

При этом если   Ј0, то опорный план оптимален, если же среди   окажется хотя бы один положительный элемент, то опорный план можно улучшить.

Улучшение опорного плана осуществляется путем целенаправленного  переноса из клетки в клетку транспортной таблицы отдельных перевозок  без нарушения баланса по некоторому замкнутому циклу.

Циклом транспортной таблицы называется последовательное соединение замкнутой ломаной линией некоторых клеток, расположенных в одном ряду (строке, столбце), причем число клеток в одном ряду должно быть равно двум.

Каждый цикл имеет  четное число вершин, одна из которых  в клетке с небазисной переменной, другие вершины в клетках с  базисными переменными. Клетки отмечаются знаком «+», если перевозки в данной клетке увеличиваются и знаком «–»  в противном случае. Цикл начинается и заканчивается на выбранной  небазисной переменной и отмечается знаком «+». Далее знаки чередуются.

Количество единиц продукта, перемещаемого из клетки в клетку по циклу, постоянно, поэтому  сумма перевозок в каждой строке и в каждом столбце остаются неизменными. Стоимость всего плана изменяется на цену цикла.

Цена  цикла – это стоимость перевозки единицы продукта по циклу с учетом знаков вершин.

Улучшение опорного плана осуществляется путем нахождения цикла с отрицательной ценой.

Если критерий оптимальности  не выполняется, то переходим к следующему шагу. Для этого:

а) в качестве начальной  небазисной переменной принимается  та, у которой оценка   имеет максимальное значение;

б) составляется цикл пересчета;

в) находится число  перерасчета по циклу: число X=min{Xij}, где Xij - числа в заполненных клетках со знаком « - »;

г) составляется новая  таблица, добавляя X в плюсовые клетки и отнимая X из минусовых клеток цикла;

Возвращаются к  пункту 3 и т.д.

Через конечное число  шагов (циклов) обязательно приходят к ответу, так как транспортная задача всегда имеет решение.

 

§5. «Задачи  целочисленного программирования. Метод  Гомори»

 

Задача линейного  целочисленного программирования формулируется  следующим образом:

Найти такое решение (план) Х=(х1, х2,…, хn), при котором линейная функция

(5.1)

принимает максимальное значение при  ограничениях:

 

Методы целочисленной  оптимизации можно разделить  на три основные группы:

методы отсечения;

комбинаторные методы;

приближенные методы.

Подробнее остановимся  на методах отсечения. Сущность методов  отсечения состоит в том, что  сначала задача решается без условий  целочисленности. Если полученный план целочисленный, задача решена. В противном случае к ограничениям задачи добавляется новое ограничение, обладающее следующими свойствами:

оно должно быть линейным;

должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный  план;

не должно отсекать ни одного целочисленного плана.

Дополнительное  ограничение, обладающее указанными свойствами, называется правильным отсечением.

Далее задача решается с учетом нового ограничения. После  этого в случае необходимости  добавляется еще одно ограничение  и т.д.

Один из алгоритмов решения задачи линейного целочисленного программирования, предложенный Гомори, основан на симплексном методе и  использует достаточно простой способ построения правильного отсечения.

Алгоритм  метода Гомори:

Симплексным методом  решается задача (5.1)-(5.3) без учета  условия целочисленности. Если все компоненты оптимального плана целые, то он является оптимальным и для задачи целочисленного программирования (5.1)-(5.4). Если первая задача (8.1)-(8.3) неразрешима (т.е. не имеет конечного оптимума или условия ее противоречивы), то и вторая задача (5.1)-(5.4) также неразрешима.

Если среди компонент  оптимального решения есть нецелые, то выбирают компоненту с наибольшей целой частью и по соответствующему уравнению системы ограничений  формируется правильное отсечение:

(5.5)

Неравенство (5.5) введением  дополнительной неотрицательной целочисленной  переменной преобразовывают в равносильное уравнение

(5.6)

и включить его в  систему ограничений (5.2).

Полученную расширенную  задачу решить симплексным методом. Если найденный оптимальный план будет целочисленным, то задача целочисленного программирования (5.1)-(5.4) решена. В противном  случае возвратиться к пункту 2.

Если задача разрешима  в целых числах, то после конечного  числа шагов (итераций) оптимальный  целочисленный план будет найден.

Заключение.

 

Задачи  экономической науки, требующие  применения математики

Имеется ряд определений  предмета экономической теории. Из них вытекает необходимость экономико-математических методов, причем требуется самая  изощренная современная математика, как теоретическая, так и прикладная. Фактически существует такая дисциплина, как математическая экономика, которая  у ряда авторов представляет собой  чисто математическую теорию с типичным для нее построением: формальные определения с соответствующими примерами реальных объектов, затем  теоремы, их точные доказательства, интерпретация  этих теорем. Такой способ построения экономической теории напоминает о  некоторых реализациях такой  дисциплины, как математическая физика, в виде чисто математической абстрактной  теории. Все это крайности, которые  необходимы для интенсивного развития математического аппарата, но они  должны быть лишь частью теории, служащей некоторым содержательным, жизненно необходимым и в конечном счеты  неформализуемым задачам.

Определения экономической  теории, синтезированные из работ  ряда авторов (таких, как Э.Маленво, П.Самуэльсон, Г.Саймон, И.Экланд):

Экономическая теория — это наука, которая:

Во-первых, изучает  проблемы наилучшего использования  ограниченных возможностей человеческой деятельности.