Оцінювання ризиків фінансового ринку за методом Монте-Карло

Спочатку метод Монте-Карло  використовувався головним чином для  рішення завдань нейтронної фізики, де традиційні чисельні методи виявилися  мало придатними. Далі його вплив поширився  на широкий клас завдань статистичної фізики, дуже різних по своєму змісті.

Цей метод базується на використанні імітаційних моделей, які дозволяють створити певну кількість  сценаріїв, що узгоджуються із заданими обмеженнями по конкретному проекту. На практиці даний метод можливо  застосовувати лише з використанням  комп'ютерних програм, які дозволяють описати прогнозні моделі і розрахувати  велику кількість можливих сценаріїв. Як прогнозні моделі виступають математичні  залежності, отримані при розрахунку показників економічної ефективності. Повинні бути якомога точно виявлені всі змінні, що впливають на кінцевий результат, з описом ступеня цих  залежностей.

Оскільки метод Монте-Карло  вимагає проведення великої кількості  випробувань, його часто називають  методом статистичних випробувань. Теорія цього методу вказує, як найбільше  доцільно вибрати випадкову величину, як знайти її можливі значення. Зокрема , зі способи зменшення дисперсії  використовуваних випадкових величин, у результаті чого зменшується помилка, що допускається при заміні шуканого математичного очікування а його оцінкою.

Методи Монте-Карло - це загальна назва групи методів для рішення  різних задач за допомогою випадкових послідовностей. Ці методи (як і вся  теорія імовірностей) виросли з спроб людей поліпшити свої шанси в азартній грі. Цим пояснюється і той факт, що назву цій групі методів дало місто Монте-Карло - столиця європейського грального бізнесу.

Імітаційне моделювання  по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation) дозволяє побудувати математичну модель для проекту з невизначеними значеннями параметрів, і, знаючи ймовірнісні розподіли параметрів проекту, а також зв'язок між змінами параметрів (кореляцію) отримати розподіл прибутковості проекту.

Алгоритм методу імітації Монте-Карло

Крок 1.Спираючись на використання статистичного пакету, випадковим чином  вибираємо, засновуючись на ймовірнісній функції розподілу значення змінної  яка є одним з параметрів визначення потоку готівки.

Крок 2. Вибране значення випадкової величини поряд зі значеннями змінних, які є екзогенними змінними використовується при підрахунку чистої приведеної вартості проекту.

Кроки 1 і 2 повторюються багато разів, наприклад 1000, і отримані 1000 значень  чистої приведеної вартості проекту  використовуються для побудови щільності  розподілу величини чистої приведеної вартості зі своїм власним математичним очікуванням і стандартним відхиленням.

Використовуючи значення математичного очікування і стандартного відхилення, можна обчислити коефіцієнт варіації чистої приведеної вартості проекту і потім оцінити індивідуальний ризик проекту, як і в аналізі  методом сценаріїв.

Тепер необхідно визначити  мінімальне і максимальне значення критичної змінної, а для змінної  з покроковим розподілом крім цих  двох ще і інші значення, що приймаються  нею. Кордони варіювання змінною  визначаються, просто виходячи з всього спектра можливих значень.

По минулих спостереженнях за змінною можна встановити частоту, з якою та приймає відповідні значення. У цьому випадку ймовірнісний розподіл є той же саме частотний  розподіл, що показує частоту зустрічі значення, правда, у відносному масштабі (від 0 до 1). Ймовірнісний розподіл регулює  імовірність вибору значень з  певного інтервалу. Відповідно до заданого розподілу модель оцінки ризиків  буде вибирати довільні значення змінної. До розгляду ризиків ми мали на увазі, що змінна приймає одне певне нами значення з імовірністю 1. І через  єдину ітерацію розрахунків ми отримували однозначно певний результат. У рамках моделі ймовірнісного аналізу ризиків  проводиться велике число ітерацій, що дозволяють встановити, як поводиться результативний показник (в яких межах  коливається, як розподілений) при підстановці  в модель різних значень змінної  відповідно до заданого розподілу.

Незважаючи на свої переваги, метод Монте-Карло не поширений  і не використовується дуже широко в бізнесі. Одна з головних причин цього - невизначеність функцій щільності  змінних, які використовуються при  підрахунку потоків готівки.

Інша проблема, яка виникає  як при використанні методу сценаріїв, так і при використанні методу Монте-Карло, полягає в тому, що застосування обох методів не дає однозначної  відповіді на питання про те, чи потрібно реалізовувати даний проект або потрібно відкинути його.

При завершенні аналізу, проведеного  методом Монте-Карло, у експерта є значення очікуваної чистої приведеної вартості проекту і щільність  розподілу цієї випадкової величини. Однак наявність цих даних  не забезпечує аналітика інформацією  про те, чи дійсно прибутковість  проекту досить велика, щоб компенсувати ризик по проекту, оцінений стандартним  відхиленням і коефіцієнтом варіації ризикових (кризових) ситуаціях [5,7].

При дослідженні поведінки  ринків в короткостроковому періоді  актуальним є дослідження коливань (волатильності) фінансових ринків, так як в таких масштабах ринки демонструють істотну нестабільність. Дослідниками розроблений ряд моделей, які дозволяють моделювати поведінку ринків як випадковий процес. Перерахуємо найбільш відомі типи таких моделей:

1) Параметричні методи.

2) Моделі умовної скедастичності ARCH / GARCH.

3) Моделі стохастичної  волатильності .

Кожен з цих типів має  певні переваги і недоліками. Недоліками моделей першого і другого типу є погана здатність адекватно відображання різких коливань цін з огляду на те, що на реальних ринках розподіл цін не є нормальним і має так звані «важкі хвости». Недоліком моделей третього типу є зайва важкість ідентифікації параметрів моделі, яка  випливає з того, що для таких моделей не можна в явному вигляді виписати функцію правдоподібності. Адекватність кожної моделі визначається багато в чому тим,які методи можуть бути використані для ідентифікації параметрів моделі і який результат вони дають. Як правило, для ідентифікації складних моделей застосовуються методи Монте-Карло. Однак більшість цих методів, є малоефективним в обчислювальному плані і вимагають великих обчислених затрат.

 З іншого боку, в  останні роки дослідниками інтенсивно  розробляється клас методів Монте-Карло,  заснованих на принципах байєсівського аналізу, які у визначеному колі завдань більш ефективні з обчислювальних витрат і дають кращі результати, ніж стандартні підходи. Ці методи називаються послідовними методами Монте-Карло або методами часткового фільтра (particle filter). Відповідально, має сенс їх застосування для моделювання та ідентифікації моделей стохастичною волатильності, що було зроблено деякими дослідниками. Тим не менш, ними не розглядалося питання побудови таких моделей, які дозволили б максимально використовувати потенціал послідовників методів Монте-Карло за рахунок відповідним образом спроектованої структури  [1].

 

 

2. Економіко-математичні методи оцінювання ризику фінансового ринку

В якості базової моделі розглядається модель, яка являється  модифікацією стохастичного процесу  Орнштейна-Уленбека. Стандартний вигляд рівняння цього процесу з ненульовим середнім виглядає наступним чином[2, 4, 7],:

                                                                  (1)

де  - броунівський приріст, - параметри моделі (середнє, коефіцієнт дрейфа і волатильність відповідності). Досліджувана в даній роботі модель відрізняється від стандартної тим, що параметри моделі розглядаються, як випадкові величини, незалежні від та розподілені по заздалегідь невідомому нестаціонарному закону. Приймаючи, що логарифми значень цін є реалізацією випадкового процесу , виміряного в послідовні моменти часу з деяким постійним інтервалом , отримуємо загальний вигляд моделі руху цін, що розглядається в даній роботі:

                                            (2)

Вибір процесу Орнштейна-Уленбека в якості основи для пропонованої моделі обумовлений тим, що даний процес є найбільш простим з класу процесів і тому часто застосовується в дослідженнях фінансових ринків, які демонструють аналогічну поведінка в короткостроковій перспективі. При цьому,  він має аналітичний розв’язок задачі визначення точкових оцінок параметрів по реалізації процесу. Це рішення спирається на знаходження мінімуму функції максимуму правдоподібності для аналітичного вирішення стохастичного рівняння (1) [4]. Якщо дані значення реалізацій процесу в моменти часу , то значення цих оцінок можуть бути обчислені за наступними формулами:

                                ₍₃₎

де величини представляють собою набір статистик:

                                     (4)

Обчислення за цими формулами  є найбільш простим способом отримання точкових оцінок параметрів процесу. Тим не менш, якщо параметри є нестаціонарними, то пряме використання вищенаведених формул для розрахунків неможливо, так як вони дають одиничні значення. Найбільш простим рішенням цієї проблеми є послідовне використання для ідентифікації параметрів в моменти часу по реалізації процесу за попередні моментів часу: , де - константа. Однак цей метод загрожує суттєвими проблемами з вибором числа - при надмірно великих значення ідентифіковані параметри будуть згладженими і неможливо буде коректно ідентифікувати різкі коливання параметрів, при надмірно малому точність обчислень за формулами (3) - (4) різко падає і результат стає неприйнятним. Нарешті,обчислення за формулами (3) - (4) дають точкові оцінки параметрів, що недостатньо для ідентифікації розподілі параметрів у запропонованій моделі. Тим не менше, ці співвідношення можуть бути використані для послідовної ідентифікації розподілів параметрів в рамках методів Монте-Карло.

Класичною методикою, яка використовується часто для вирішення задач моделювання і ідентифікації стохастичних процесів, є метод марківських ланцюгів Монте-Карло. Його суть полягає в побудові марківського процесу, розподіл якого сходиться до розподілу стохастичного процесу. Недоліком цієї методики є низька обчислювальна ефективність і неможливість визначити заздалегідь число кроків моделювання, необхідне для збіжності метода. Для подолання цих недоліків в останні десятиріччя був розроблений ряд методів, що спираються на застосування методик байєсівського аналізу для підвищення ефективності та отримання більш точних результатів у відповідних задачах. Якщо подібні методи правильно спроектовані, то вони можуть давати набагато кращий результат, ніж стандартні методи Монте-Карло. Крім того, вони також дозволяють застосовувати байєсівські методики для ідентифікації параметрів моделей або їх розподілів, що також є плюсом у порівнянні з класичними методами, які, як правило, обмежені використанням пошукових або ітеративних методів для отримання точкових оцінок параметрів. Одним з найбільш відомих методів даного класу є метод «часткового фільтра »(particle filter) [9], відомий також як послідовник методу Монте-Карло. Цей метод можна описати таким чином:

Нехай є послідовність  спостережуваних значень в моменти часу , які є реалізаціями невідомого розподілу . Завданням є побудова послідовності розподілів у відповідні моменти часу. Наближення , яке може бути побудоване з використанням байєсівських методик, буде мати вигляд апостеріорного розподілу . Методи часткового фільтра спираються на припущення, що і можуть бути змодельовані в такій формі:

1. Значення є марківським процесом першого рядка:

 

              (5)

 

з початковим розподілом ;

2. Спостережувані значення умовно незалежні за умови, що     відомі. Іншими словами, кожне залежить тільки від :

                                                                   (6)

Методи часткового фільтра, так само як і всі методи Монте-Карло, спираються на створення безлічі реалізацій випадкового процесу. В даному випадку безліч реалізацій апроксимує розподіл , яке видається

в дискретному вигляді  як безліч точок (частинок) з вагами:

                                                                         (7)

Вага  значущості є наближеннями відносних апостеріорних ймовірносних частин, відповідно,їх сума дорівнює одиниці.

За основу в цій роботі було взято алгоритм APF (auxiliary particle filter, послідовного часткового фільтра) [11]. Цей алгоритм може бути описаний таким чином.

Нехай задано деякий початковий розподіл в нульовий момент часу .

Для послідовно виконуються наступні кроки:

1. Для обчислюється - значення, асоційоване з розподілом наприклад, математичні очікування, з якого береться частка з індексом ;
2. Для обчислюється вага першої стадії і нормалізуються:

3. Проводиться повторна вибірка з метою отримання нового масиву раз моделюється дискретна випадкова величина зі значеннями і ймовірностями значень , . Частки, які мають індекси отриманих реалізацій , формують новий

масив часток ;

4. Для проводиться поширення часток через вибірку з щільності ймовірностей переходів: і обчислюють істинну вагу значущості: .