Оптимизация производственной программы промышленного предприятия

Контрольная задача 1. Оптимизация производственной программы промышленного предприятия.

 

Предприятие выпускает продукцию  А, Б и В. Каждый вид продукции  может производится различными технологическими способами (на разном оборудовании, с  использованием различного сырья, при разной квалификации рабочих).

Ресурсы оборудования, сырья, труда  ограничены.

Номер варианта	Оборудование, станко-час.		Сырье, т		Труд, чел.-час.
	новое	старое	высококачественное	стандартное	высококвал.	ср.квал.
8	160800	400800	70800	40800	220000	160000

Выпуск продукции А, Б и В  не может быть меньше заключенных  на эту продукцию договоров.

Номер варианта	Продукция
	А	Б	В
8	5200	2150	4000

В следующей таблице приведены  нормативы затрат ресурсов на производство продукции и прибыль при использовании различных технологических способов в расчете на единицу продукции.

Наименование ресурсов	Единица измерения	Продукция А		Продукция Б		Продукция В
		Технолог. способы		Технолог. способы		Технолог. способы
		1	2	1	2	1	2	3
Оборудование:	станко-час.
Новое		10	-	20	-	30	32	-
Старое		-	12	-	25	-	-	40
Сырье:	т
Высококачественное		2	-	5	-	10	10	-
Обычное		-	2	-	5	-	-	9
Труд:	чел.-час.
Высоквалифицированный		18	-	30	-	40	-	-
Средней квалификации		-	20	-	32	-	48	50
Прибыль	тыс.руб.	300	500	350	700	720	1200	1300

Требуется определить оптимальный  план производства продукции, который  приносил бы максимальную прибыль.

В работе привести исходные данные, экономико-математическую модель. Расчеты осуществить на ЭВМ, привести распечатку полученных результатов, сделать анализ оптимального плана по двойственным оценкам.

 

Решение.

 

Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим  - количество единиц продукции вида А, произведенной соответственно 1 и 2 технологическими способами; - количество единиц продукции вида Б, произведенной соответственно 1 и 2 технологическими способами; - количество единиц продукции вида В, произведенной соответственно 1, 2 и 3 технологическими способами. Т.е. - количество единиц продукции каждого вида (А, Б, В), произведенной различными технологическими способами или план производства. Естественно потребовать, чтобы . Тогда прибыль, полученная при таком плане производства, составит .

Учтем затраты  ресурсов при таком плане производства.

Новое оборудование: , но данный вид ресурсов ограничен, т.е. возникает ограничение .

Аналогичным образом накладываются ограничения и на другие виды ресурсов и получаем систему ограничений: .

Т.к. есть еще  условия на объемы поставок по договорам, то получаем дополнительные ограничения. По виду продукции А: , и аналогично по другим видам продукции: .

Таким образом, приходим к экономико-математической модели задачи.

Требуется среди  неотрицательных решений системы  неравенств ,

при которых целевая функция  достигает своего максимального значения.

Получаем решение  .

Оптимальный ассортимент. Следует  производить продукции А первым технологическим способом 1200 и вторым технологическим способом 4000; продукции  Б вторым технологическим способом 2150; продукции В первым технологическим способом 4960 и третьим технологическим способом 224.

При этом прибыль будет максимальной и составит 7727400 тыс.руб.

Анализ невыгодной продукции.

		Результ.	Нормир.
Ячейка	Имя	значение	стоимость
$A$3	х1	1200	0
$B$3	х2	4000	0
$C$3	х3	0	-55
$D$3	х4	2150	0
$E$3	х5	4960	0
$F$3	х6	0	-84,57142861
$G$3	х7	224	0

 

Предприятию невыгодно производить  продукцию Б первым технологическим  способом, при выпуске 1 единицы прибыль  уменьшится на 55 тыс.руб. и продукцию В вторым технологическим способом, при выпуске 1 единицы прибыль уменьшится на 84,57 тыс.руб.

Анализ ограничений  по ресурсам.

		Результ.	Теневая	Ограничение	Допустимое	Допустимое
Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая часть	Увеличение	Уменьшение
$A$9	Правая часть	160800	1,142857143	160800	1960	14000
$A$10	Правая часть	110710	0	400800	1E+30	290090
$A$11	Правая часть	52000	0	70800	1E+30	18800
$A$12	Правая часть	20766	0	40800	1E+30	20034
$A$13	Правая часть	220000	17,14285714	220000	18666,66667	2613,333333
$A$14	Правая часть	160000	26	160000	111300	11200
$A$15	Правая часть	5200	-20	5200	560	4000
$A$16	Правая часть	2150	-132	2150	350	2150
$A$17	Правая часть	5184	0	4000	1184	1E+30

 

Время работы на новом оборудовании используется полностью, его выгодно увеличивать, при увеличении на 1 станко-час. Прибыль увеличивается на 1,14 тыс.руб.

Время работы на старом оборудовании недоиспользуется на 290090 станко-час.

Высококачественное сырье недоиспользуется на 18800 т.

Стандартное сырье недоиспользуется на 20034 т.

Труд высоквалифицированных рабочих  и рабочих средней квалификации используются полностью, его выгодно  увеличивать,  при увеличении на 1 чел.-час. Прибыль увеличивается  на 17,14 и 26 тыс.руб. соответственно.

 

Анализ ограничений  по договорам.

Продукцию А и Б производить  невыгодно, она вошла в ассортимент  только потому, что на нее заданы минимальные ограничения по выполнению договоров. Каждая единица продукции  вида А и Б снижает прибыль  на 20 и 132 тыс.руб. соответственно.

Продукция В производится больше, чем нужно по договорам на 1184.

 

 

 

 

Контрольная задача 2. Транспортная задача.

 

Четыре оптовых склада обслуживают  четыре магазина одним товаром.

Необходимо составить оптимальный  план перевозок, который имел бы минимальную  стоимость.

Ниже приведены исходные данные для решения задачи. В первых четырех колонках представлена матрица стоимостей перевозки единицы товара от складов к магазинам, тыс.руб.; в предпоследней колонке – наличие товара на складе, т.; в последней колонке – потребность магазинов в товаре, т.

 

8	10	9	3	35	105
5	6	6	2	100	20
4	6	8	7	30	60
7	8	5	3	85	65

 

 

Решение.

 

С помощью надстройки поиск решения  получаем следующее решение:

 

Матрица перевозок (изменяемые ячейки)
35	0	0	0	35
100	75	20	0	5
30	30	0	0	0
85	0	0	60	25
	105	20	60	65

 

Х₁₄ = 35, т.е. 35 единиц груза перевезти от первого поставщика четвертому покупателю;

Х₂₁ = 75, т.е. 75 единиц груза перевезти от второго поставщика первому покупателю;

Х₂₂ = 20, т.е. 20 единиц груза перевезти от второго поставщика второму покупателю;

Х₂₄ = 5, т.е. 5 единиц груза перевезти от второго поставщика четвертому покупателю;

Х₃₁ = 30, т.е. 30 единиц груза перевезти от третьего поставщика первому покупателю;

Х₄₃ = 60, т.е. 60 единиц груза перевезти от четвертого поставщика третьему покупателю;

Х₄₄ = 25, т.е. 25 единиц груза перевезти от четвертого поставщика четвертому покупателю.

Общая стоимость перевозок составит 1105 тыс.руб.

 

Теоретический вопрос. Постановка и структурная модель транспортной задачи.

 

Транспортная  задача линейного программирования  получила  в  настоящее время широкое распространение  в  теоретических  обработках  и  практическом применении на транспорте и в промышленности. Особенно  важное  значение  она имеет в  деле  рационализации  постановок  важнейших  видов  промышленной  и сельскохозяйственной   продукции,   а   также   оптимального    планирования грузопотоков и работы различных видов транспорта [2, С.47].

Кроме того, к задачам  транспортного  типа  сводятся  многие  другие  задачи линейного  программирования - задачи  о  назначениях,  сетевые,  календарного планирования.

Транспортная задача является частным  типом задачи линейного программирования и формулируется следующим образом. Имеется m пунктов отправления (или  пунктов производства) А_i …, А_m, в которых сосредоточены запасы однородных продуктов в количестве a₁, ..., а_m единиц. Имеется n пунктов назначения (или пунктов потребления) В₁, ..., В_m, потребность которых в указанных продуктах составляет b₁, ..., b_n единиц. Известны также транспортные расходы С_ij, связанные с перевозкой единицы продукта из пункта A_i в пункт В_j, i 1, …, m; j 1, ..., n. Предположим, что

  

т. е. общий объем производства равен  общему объему потребления. Требуется  составить такой план перевозок (откуда, куда и сколько единиц продукта везти), чтобы удовлетворить спрос всех пунктов потребления за счет реализации всего продукта, произведенного всеми пунктами производства, при минимальной общей стоимости всех перевозок. Приведенная формулировка транспортной задачи называется замкнутой транспортной моделью. Формализуем эту задачу.

Пусть х_ij - количество единиц продукта, поставляемого из пункта А_i в пункт В_j. Подлежащие минимизации суммарные затраты на перевозку продуктов из всех пунктов производства во все пункты потребления выражаются формулой: