Ответы по гос эконометрике

где

- множественный коэффициент детерминации всего комплекса р факторов с результатом y;

- тот же показатель детерминации, но без введения в модель  фактора xi.

Коэффициенты  частной корреляции более высоких порядков можно определить через коэффициенты частной корреляции более низких порядков по рекуррентной формуле

Парные  и частные коэффициенты корреляции попадают в диапазон:  -1≤rxy≤1

Если rxy —›1 или rxy —›-1, существует тесная связь;

если 0≤rxy≤1, то связь прямая (увеличение или  уменьшение одного признака сопровождается аналогичным изменением другого признака);

если -1≤rxy≤0, то связь обратная (увеличение или  уменьшение одного признака сопровождается противоположным по направлению  изменением другого признака);

если rxy —›0, то связь между x и y отсутствует.

Если  исследуется связь между несколькими  переменными, то используется коэффициент  множественной корреляции. Он означает: влияние (одновременное) факторных признаков x на результат:

 Множественный коэффициент корреляции изменяется в пределах от 0 до 1. Равенство нулю говорит об отсутствии линейной связи, равенство единице - о наличие тесной связи. Определить является ли связь прямой или обратной по данному коэффициенту нельзя.

 

     3.Определение  доверительных интервалов  прогноза по линейному уравнению регрессии.

     Одной из центральных задач эконометрического  моделирования является предсказание (прогнозирование) значений зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных. Здесь возможен двоякий подход: либо предсказать условное математическое ожидание зависимой переменной при определенных значениях объясняющих переменных (предсказание среднего значения), либо прогнозировать некоторое конкретное значение зависимой переменной (предсказание конкретного значения).

     Предсказание  среднего значения. Пусть построено уравнение парной регрессии y_teor(x_i) = b₀ + b₁×x_i, на основе которого необходимо предсказать условное математическое ожидание М(YïХ = х_p) переменной y_teor(x_p)  при X = х_p. В данном случае значение y_teor(x_p) = b₀ + b₁×x_p является оценкой (приближением) М(YïХ = х_p).

     Чтобы построить доверительный интервал, покажем, что случайная величина  y_teor(x_p)  имеет нормальное распределение с конкретными параметрами. имеем:

     y_teor(x_p) = b₀ + b₁×x_p = åd_i y_i +(å c_i y_i)×x_p = å(d_i +c_i×x_p)y_i.

     Следовательно, y_teor(x_p) является линейной комбинацией нормальных случайных величин и, значит, сама имеет нормальное распределение.

My_teor(x_p) = M(b₀ + b₁×x_p) = M(b₀)+ M(b₁)×x_p = b₀ + b₁×x_p , 

Dy_teor(x_p) = D(b₀ + b₁×x_p) = D(b₀)+ D(b₁) +2×cov(b₀ ,b₁)×x_p,      (8.12)

(здесь используются  формулы: D(X+Y) = D(Х)+D(У)+ 2×соv(Х, Y); D(сХ) = с²×D(Х); cov(Х, b×Y) = b×соv(Х, Y)). 

cov(b₀ ,b₁) = M[(b₀ – M(b₀)×(b₁ – M(b₁))] =

= M[(b₀ - b₀)×(b₁ – b₁)] = M[(

×(b₁ – M(b₁))] =

= -

× M[(b₁ - M(b₁)×(b₁ – M(b₁))] = × M[(b₁ - b₁)×(b₁ – b₁)] =

= -

×D(b₁) = .

Следовательно, = . (8.13)

     Так как 

      ,

     Поскольку

  Подставив вместо s² её несмещенную оценку  получим выборочную исправленную дисперсию D(y_teor(x_p)) рассматриваемой случайной величины. Тогда случайная величина   (8.14)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы           n = n–2. Следовательно, по таблице критических точек распределения Стьюдента по требуемому уровню значимости a и числу степеней свободы n=n–2 можно определить критическую точку t_a/2,n-2, удовлетворяющую условию Р(ïТï < t_a/2,n-2) = 1–a.

     имеем:

       (8.15)

После алгебраических преобразований получим:

  =1-a.   (8.16)

Таким образом, доверительный интервал для гипотезы H₀: M(YïX=x_p) = b₀ + b_0*х_р имеет вид: 

; нижняя граница доверительного интервала

. верхняя граница доверительного интервала

В доверительном  интервале с надёжностью 1–a находятся значения зависимого фактора, лежащие на линии регрессии

 

4. Определение параметров  парной линейной  регрессии по методу  наименьших квадратов.

Задача линейного  регрессионного анализа состоит  в том, чтобы по конкретной выборке (x_i, y_i), i = l, 2, ... , n найти оценки a_* и b_* неизвестных параметров b₀ и b₁ так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей среди всех других прямых. Другими словами, построенная прямая y_теор(xi) = a_* + b_*∙x_i должна быть “ближайшей” к точкам наблюдений по их совокупности. Мерами качества найденных оценок могут служить определенные композиции отклонений e_i, i = 1, 2, ... , n.

Существует несколько  методов нахождения коэффициентов  a_* и b_* эмпирического уравнения регрессии. Самым распространенным и теоретически обоснованным является метод наименьших квадратов (МНК).

 При использовании  данного метода минимизируется  следующая функция (рисунок - изображение отклонений, сумма квадратов которых минимизируется):

   (1)

Функция y является квадратичной функцией двух параметров a и b (y = y(a , b)), поскольку (x_i, y_i), i = 1, 2, ... , n - известные данные наблюдений. Так как функция y непрерывна, выпукла и ограничена снизу (y > 0), то она имеет минимум.

Необходимым условием существования минимума функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам a и b:

   - система нормальных уравнений.

После удаления 2 и (-1) (они не равны нулю) и приведения подобных получим:

Выразим a_*  в первом уравнении через b_*  

  или   , (*)

или по-другому,   ,  где ,     .

Подставив выражение (*) во второе уравнение системы, получим:

Тогда 

Таким образом,            (**)                 или     .

Теперь благодаря  выражениям (*) и (**) имеем выборочное уравнение линейной регрессии:

y_теор(x_i) = a_* + b_*×x_{i ,}   т.е.   y_i = a_* + b_*×x_i+e_i,       где х_i и y_i  - значения наблюдаемых величин х и у; e_i  - оценки теоретического случайного отклонения e_i.

Таким образом, по МНК оценки параметров a_* и b_* определяются по формулам (*), (**).

 

5.Оценка  значимости коэффициентов  парной линейной  регрессии и экономической модели в целом.

Представим формулы определения коэффициентов b₀ и b₁ в виде линейных функций относительно значений Y:

.

Отсюда

,

так как  .

Введя обозначение 

,

имеем:

.   (8.1)

Аналогично:

.

Обозначив

,

имеем:

.    (8.2)

Так как  предполагается, что дисперсия Y постоянна и не зависит от значений X, то с_i и d_i можно рассматривать как некоторые постоянные. Следовательно,

, (8.3)

и,

.

Таким образом,

D(b₀)=

.    (8.4)

Из соотношений (8.3), (8.4) очевидны следующие выводы.

• Дисперсии b₀ и b₁ прямо пропорциональны дисперсии случайного отклонения s² зависимой переменной Y. Следовательно, чем больше фактор случайности по переменной Y, тем менее точными будут оценки.

• Чем  больше число n наблюдений, тем меньше дисперсии оценок. Это вполне логично, так как чем большим числом данных мы располагаем, тем вероятнее получение более точных оценок.

• Чем  больше дисперсия (разброс значений ) объясняющей переменной X, тем меньше дисперсия оценок коэффициентов. Другими словами, чем шире область изменений объясняющей переменной, тем точнее будут оценки (тем меньше доля случайности в их определении).

В силу того, что случайные отклонения e_i по выборке определены быть не могут, при анализе надежности оценок коэффициентов регрессии они заменяются отклонениями e_i = y_i – b₀ – b₁×x_i значений y_i переменной Y от оцененной линии регрессии. Дисперсия случайных отклонений D(e_i) = s² заменяется ее несмещенной оценкой

.  (8.5)

Тогда

,    (8.6)