Ответы по гос эконометрике

.  (8.7)

Здесь – необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии). Отметим, что корень квадратный из необъясненной дисперсии, т.е. , называется стандартной ошибкой оценки (стандартной ошибкой регрессии).

 и  – стандартные отклонения случайных величин b₀ и b₁, называемые стандартными ошибками коэффициентов регрессии.

Поскольку полагается, что b₁ = 0, то формально значимость оцененного коэффициента регрессии b₁ проверяется с помощью анализа отношения его величины к его стандартной ошибке . При выполнении исходных предпосылок модели эта дробь имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы n = n-2, где n – число наблюдений. Данное отношение называется t–статистикой:

.  (8.10)

Для t-статистики проверяется нулевая гипотеза о равенстве ее нулю. Очевидно, t = 0 равнозначно b₁ = 0, поскольку t пропорциональна b₁. Фактически это свидетельствует об отсутствии линейной связи между X и У.

По аналогичной  схеме на основе t-статистики проверяется гипотеза о статистической значимости коэффициента b₀:

  (8.11)

Проверка  значимости всего  уравнения регрессии в целом

После оценки индивидуальной статистической значимости каждого из коэффициентов  регрессии обычно анализируется  совокупная значимость коэффициентов, т.е. всего уравнения в целом. Такой анализ осуществляется на основе проверки гипотезы об общей значимости гипотезы об одновременном равенстве нулю всех коэффициентов регрессии при объясняющих переменных:

H₀: b₁ = b₂ = ... = b_m = 0.

Если  данная гипотеза не отклоняется, то делается вывод о том, что совокупное влияние  всех m объясняющих переменных Х₁, Х₂, ..., Х_m модели на зависимую переменную Y можно считать статистически несущественным, а общее качество уравнения регрессии – невысоким.

Проверка  данной гипотезы осуществляется на основе дисперсионного анализа сравнения объясненной и остаточной дисперсии.

Н₀: (объясненная дисперсия) = (остаточная дисперсия),

H₁: (объясненная дисперсия) > (остаточная дисперсия).

Строится  F-статистика:

,   (8.19)

где – объясненная регрессией дисперсия;

 – остаточная дисперсия (сумма квадратов отклонений, поделённая на число степеней свободы n-m-1). При выполнении предпосылок МНК построенная F-статистика имеет распределение Фишера с числами степеней свободы n1 = m, n2 = n–m–1. Поэтому, если при требуемом уровне значимости a   F_набл > F_{a; m; n-m-1} = F_a (где F_{a; m; n-m-1} — критическая точка распределения Фишера), то Н₀ отклоняется в пользу Н₁. Это означает, что объяснённая регрессией дисперсия существенно больше остаточной дисперсии, а следовательно, уравнение регрессии достаточно качественно отражает динамику изменения зависимой переменной Y. Если  F_набл < F_{a; m; n-m-1} = F_кр., то нет основания для отклонения Н₀. Значит, объясненная дисперсия соизмерима с дисперсией, вызванной случайными факторами. Это дает основание считать, что совокупное влияние объясняющих переменных модели несущественно, а следовательно, общее качество модели невысоко.

Однако  на практике чаще вместо указанной  гипотезы проверяют тесно связанную с ней гипотезу о статистической значимости коэффициента детерминации R²:

Н₀: R² = 0,

Н₀: R² > 0.

Для проверки данной гипотезы используется следующая      F-статистика:

.  (8.20)

Величина  F при выполнении предпосылок МНК и при справедливости H₀ имеет распределение Фишера, аналогичное распределению F-статистики (8.19).

,

 

6. Модель множественной  линейной регрессии.  Экономический смысл  и оценка ее  параметров.

    Множественная регрессия – это уравнение  статистической связи с несколькими независимыми переменными:

,  (5.1)

где y — зависимая  переменная (результативный признак);

      x₁, x₂, …, x_p – независимые переменные (факторы). Все эти переменные входят в уравнение (5.1) с некоторыми коэффициентами. Метод наименьших квадратов (МНК) позволяет приближённо оценить значения этих коэффициентов.

    Поведение некоторых экономических переменных контролировать нельзя, т. е. не удается  обеспечить равенство всех прочих условий  для оценки влияния одного исследуемого фактора. В этом случае следует попытаться выявить влияние других факторов, введя их в модель, т. е. построить уравнение множественной регрессии  

Такого рода уравнение может использоваться при изучении потребления. Тогда  коэффициент bj – частные производные потребления y по соответствующим факторам xi:

     в предложении, что  все остальные xi постоянны.

    В линейной множественной регрессии  коэффициенты при хi характеризуют  среднее изменение результата с  изменением соответствующего фактора на единицу при неизменных значениях других факторов, закреплённых на среднем уровне.

     При изучении вопросов потребления коэффициенты регрессии рассматриваются как характеристики предельной склонности к потреблению. Например, если функция потребления С_t имеет вид С_t = b₀ + b₁* R_t + b₂* R_t-1 +e_t, то потребление за t-й период времени зависит от дохода того же периода R_t и от дохода предшествующего периода R_t-1. Соответственно, коэффициент b₁ характеризует эффект от единичного возрастания дохода R_t при неизменном уровне предыдущего дохода. Коэффициент b₁ обычно называют краткосрочной предельной склонностью к потреблению. Общим эффектом возрастания как текущего, так и предыдущего дохода будет рост потребления на величину b = b₁+b₂. Коэффициент b рассматривается здесь как долгосрочная предельная склонность к потреблению.

     Функция потребления может рассматриваться  также в зависимости от прошлых привычек потребления, т.е. от предыдущего уровня потребления C_t-1:

С_t = b₀ + b₁×R_t + b₂×C_t-1 + e_t.

     В этом уравнении параметр b₁ также характеризует краткосрочную предельную склонность к потреблению, т.е. влияние на потребление единичного роста доходов того же периода. Долгосрочная предельная склонность к потреблению имеет вид b₁/(1- b₂).

     В степенной функции y_теор(x₁,x₂,…,x_p) = a×x1^b1 ×x2 ^b2 ×…×xp ^bp коэффициенты b1, b2, …, bp   являются коэффициентами эластичности. Они показывают, на сколько процентов изменяется в среднем результат с изменением соответствующего фактора на 1% при неизменности действия других факторов. Этот вид уравнения регрессии получил наибольшее распространение в производственных функциях, в исследованиях спроса и потребления.

Оценка  коэффициентов уравнения  множественной регрессии

    Множественная регрессия широко используется в  решении проблем спроса, доходности акций, при изучении функции издержек производства, в макроэкономических расчетах и целого ряда других вопросов эконометрики. В настоящее время множественная регрессия – один из наиболее распространенных методов в эконометрике. Основная цель множественной регрессии – построить модель с большим числом факторов, определив при этом влияние каждого из них в отдельности, а также совокупное их воздействие на моделируемый показатель.

    Параметры уравнения множественной регрессии  оцениваются методом наименьших квадратов (МНК), т.е. минимизируется функция S(b0, b1,…, bp) по переменным b0, b1,…, bp   

S(b₀, b₁,…, b_p) = . (5.3')

    На  основании необходимого условия  экстремума функции многих переменных S(b₀, b₁,..., b_p), представляющей (5.3'), необходимо приравнять к нулю частные производные по этим переменным или в матричной форме — вектор частных производных

.

    В результате получится система p+1 линейных уравнений для неизвестных b₀, b₁,..., b_p. После приведения подобных членов получится система нормальных уравнений, решение которой и позволяет получить оценку коэффициентов множественной регрессии.

     Так для уравнения y_teor(x_1i, x_2i, ..., х_pi) = b₀+b₁×x_1i + b₂×x_2i +…+ b_p×x_pi  система нормальных уравнений имеет вид:

Ее решение может быть найдено  в частности, методом Гаусса, методом  Крамера, методом вычисления обратной матрицы и многими другими методами решения систем линейных уравнений.

 

7. Матричное представление  метода наименьших квадратов при оценке параметров

      Обозначим i-е наблюдение зависимой переменной как y_i, а объясняющих переменных через x_1i, x_2i, ..., х_pi. Тогда модель множественной линейной регрессии можно представить в виде:

      y_i = b₀ + b₁×x_1i + b₂×x_2i +…+ b_p×x_pi+ e_i,  (5.4)

где  i = 1,2,..., n; 

      Модель (5.4) называется классической нормальной линейной моделью множественной регрессии (Classic Normal Linear Multiple Regression model).

      Включение в регрессионную модель новых  объясняющих переменных усложняет получаемые формулы и вычисления. Это приводит к целесообразности использования матричных обозначений. Матричное описание  регрессии облегчает как теоретические концепции анализа, так и необходимые расчетные процедуры.

      Введем  обозначения:

      Y=(y₁, y₂,…,y_n)' — матрица-столбец, или вектор, значений зависимой переменной размера n (знаком «'» обозначается операция транспонирования матриц);

— матрица значений объясняющих переменных, или матрица  плана размера nх(p+1) (обращаем внимание на то, что в матрицу X дополнительно введен столбец, все элементы которого равны 1, т.е. условно полагается, что в модели (5.4) свободный член b₀ умножается на фиктивную переменную х_i0, принимающую значение 1 для всех i: х_i0 = 1, (i = 1,2,..., n);

    b = (b₁, b₂,…,b_n)' — матрица-столбец, или вектор параметров размера (р+1);