Применение систем экономических уравнений

Под системой эконометрических уравнений обычно понимается система  одновременных, совместных уравнений. Ее применение имеет ряд сложностей, которые связаны с ошибками спецификации модели. Ввиду большого числа факторов, влияющих на экономические переменные, исследователь, как правило, не уверен в точности предлагаемой модели для  описания экономических процессов. Набор эндогенных и экзогенных переменных модели соответствует теоретическому представлению исследователя о  моделируемом объекте, которое сложилось  на данный момент и может измениться. Соответственно может меняться и  вид модели с точки зрения ее идентифицируемости.

Сверхидентифицируемую модель можно превратить в точно  идентифицируемую путем добавления некоторых переменных или отбрасывания некоторых ограничений на параметры. Не исключено, что при правильной спецификации модели она может оказаться  неиндетифицируемой, и поэтому переходят  к сверхиндентифицируемым или точно  индентифицируемым моделям, несколько  упрощающим характер взаимосвязей экономических явлений. Отметим, что наличие множества прикладных моделей для решения одного и того же класса задач не случайно. Наиболее ярко это проявляется при построении макроэкономических моделей, когда, например, одна и та же функция потребления может включать в себя разный набор экономических переменных.

Рассмотрим основные направления практического использования  эконометрических систем уравнений.

Наиболее широко системы одновременных уравнений  используются для построения макроэкономических моделей функционирования экономики  той или иной страны. Большинство  из них представляют собой мультипликаторные  модели кейнсианского типа с той  или иной мерой сложности. Статистическая модель Кейнса для описания народного  хозяйства страны в наиболее простом  варианте имеет следующий вид:

                                   С= а + b * y + Ɛ,

                                   y= C + I,

где  С - личное потребление в постоянных ценах;

       y - национальный доход в постоянных ценах;

        I - инвестиции в постоянных ценах;

       Ɛ – случайная составляющая.

В силу наличия  тождества в модели (второе уравнение  системы) структурный коэффициент  b не может быть больше 1. Он характеризует предельную склонность к потреблению. Так, если b= 0,65, то из каждой дополнительный тысячи дохода на потребление расходуется в среднем 650 руб. и 350 руб. инвестируется, т.е. С и y выражены в тыс. руб. Если b> 1, то y< C + I, т.е. на потребление расходуются не только доходы, но и сбережения. Параметр a Кейнс истолковывал как прирост потребления за счет других факторов. Так как прирост во времени может быть не только положительным, но и отрицательным (снижение), то такой вывод возможен. Однако суждение о том, что параметр a характеризует конкретный уровень потребления, обусловленный влиянием других факторов, неправильно.

Структурный коэффициент  b используется для расчета мультипликаторов. По данной функции потребления можно определить два мультипликатора - инвестиционный мультипликатор потребления М_с и инвестиционный мультипликатор национального дохода М_у .

Инвестиционный  мультипликатор потребления определяется по формуле

                                       М_с= b / (1 – b).

              При b= 0,65 М_с= 0,65 / (1 – 0,65) = 1,857.

Эта величина означает, что дополнительные вложения в размере 1 тыс.руб. приведут при прочих равных условиях к дополнительному увеличению потребления на 1,857 тыс. руб.

Инвестиционный  мультипликатор национального дохода можно определить как М_у = 1 / (1 – b). В нашем случае он составит:

                                    М_у = 1 / (1 –0,65) = 2,857,

т.е. дополнительные инвестиции в размере 1 тыс. руб. на длительный срок приведут при прочих равных условиях к дополнительному доходу в 2,857 тыс. руб.

Рассматриваемая модель Кейнса точно индентифицируема, и для получения величины структурного коэффициента b применяется КМНК. Это значит, что строится система приведенных уравнений:

                                  С = А + B I + U₁',

                                    У = А' + B' I + U₂',

в которой А = А', а параметры B и B' являются мультипликаторами, т.е. B = М_с и В' = М_у. Убедиться в этом можно, если выразить коэффициенты приведенной формы модели через структурные коэффициенты. Для этого в первое уравнение структурной модели подставим балансовое равенство:

          С = a + b * y + Ɛ= a + b *(C + I) + Ɛ= a + b * C + b * I + Ɛ;

                                С * (1 –b ) = a + b * I + Ɛ;

   C = + * I + * Ɛ – приведенное уравнение.

Отсюда А = а / (1 – b); B = b / (1 - b) = М_с; U₁ = (1 / (1 – b)) * Ɛ.

Аналогично поступим и со вторым уравнением структурной  модели: в тождество у = С + I вместо С подставим выражение первого структурного уравнения, т.е. у = a + b * y + Ɛ + I. Далее, преобразовывая, получим :

                             y = + * I + .

т.е. A' = a / (1 – b) = A; B' = 1 /(1- b) = M_y; U₂ = 1 /(1 – b)) *Ɛ.

Таким образом, приведенная форма модели содержит мультипликаторы, интерпретируемые как коэффициенты линейной регрессии, отвечающие на вопрос, на сколько единиц изменится значение эндогенной переменной, если экзогенная переменная изменится на 1 ед. своего измерения. Этот смысл коэффициентов приведенной формы делает приведенную модель удобной для прогнозирования.

В более поздних  исследованиях статическая модель Кейнса включала уже не только функцию  потребления, но и функцию сбережений:

                           C = a + b * y + Ɛ₁,

                           r = T + K * (C + I) + Ɛ₂,

                           y = C + I – r,

где С, у и  I – те сбережения по смыслу переменные, что и в предыдущей модели;

     r – сбережения.

Данная модель содержит три эндогенные переменные – С, r, у и одну экзогенную переменную I. Система идентифицируема: в первом уравнении H = 2 и D = 1, во втором H = 1 и D = 0; C + I рассматривается как предопределенная переменная (подробное изложение решения данной системы приведено в работе Г.Тинтнера). Наряду со статическими широкое распространение получили динамические модели экономики. В отличие от статических они содержат в правой части лаговые переменные, а также учитывают тенденцию (фактор времени). Примером могут служить модели Л.Клейна, разработанные им для экономики США в 1950 - 1960 гг. В упрощенном варианте модель Клейна рассматривается как конъюнктурная модель.

                            C_t = b₁* S_t + b₂ * P_t + b₃ +Ɛ₁,

                             I_t = b₄* P_t + b₅ * P_t-1 + b₆ + Ɛ₂,

                             S_t = b₇ * R_t + b₈ * R_t-1 + b₉ * t + b₁₀ + Ɛ₃,

                             R_t = S_t + P_t + T_t,

                             R_t = C_t + I_t + G_t,

где   С_t – функция потребления в период t;

         S_t – заработная плата в период t;

         P_t – прибыль в период t;

         P_{t -1} – прибыль в период t – 1, т.е. в предыдущий год;

         R_t – общий доход в период t;

         R_{t -1} – общий доход в предыдущий период;

         t – время;

         T_t – чистые трансферты в пользу администрации в период t;

         I_t – капиталовложения в период t;

         G_t – спрос административного аппарата, правительственные расходы в                     период времени t.

Модель содержит пять эндогенных переменных – С_t, I_t, S_t, R_t ( расположены в левой части системы) и P_t( последняя – зависимая переменная, определяемая по первому тождеству), три экзогенных переменных – T_t, G_t, t и две предопределенные, лаговые переменные – P_{t -1} и R_{t -1}. Как и большинство моделей такого типа, данная модель сверхидентифицируема и решаема ДМНК. Для прогнозных целей используется приведенная форма модели:

            С_t = d₁ * T + d₂ * G + d₃ * t + d₄ * P_{t -1} + d₅ * R_{t -1} + u₁,

            I_t = d₆ * T + d₇ * G + d₈ * t + d₉ * P_{t -1} + d₁₀ * R_{t -1} + u₂,

            S_t = d₁₁ * T + d₁₂ * G + d₁₃ * t + d₁₄ * P_{t -1} + d₁₅ * R_{t -1} + u₃,

            R_t = d₁₆ * T + d₁₇ * G + d₁₈ * t + d₁₉ * P_{t -1} + d₂₀ * R_{t -1} + u₄,

            P_t = d₂₁ * T + d₂₂ * G + d₂₃ * t + d₂₄ * P_{t -1} + d₂₅ * R_{t -1} + u₅.

В данной системе  мультипликаторами являются коэффициенты при обычных экзогенных переменных. Они отражают влияние экзогенной переменной на эндогенную переменную. Мультипликаторами в нашей системе  выступают коэффициенты при T и G. Коэффициенты d₁,d₆,d₁₁,d₁₆,d₂₁ – мультипликаторы чистых трансфертов в пользу администрации относительно личного потребления d₁, инвестиций d₆, заработной платы d₁₁, дохода d₁₆, и прибыли d₂₁. Соответственно коэффициенты d₂,d₇,d₁₂,d₁₇,d₂₂ являются мультипликаторами привительственных расходов относительно соответствующих эндогенных переменных.

Динамическая  модель может и не содержать учет тенденции, но лаговые переменные в  ней обязательны. Динамическая модель Кейнса представлена следующими тремя  уравнениями:

                     С_t = a + b₁ * Y_t + b₂ * Y_{t -1} + Ɛ₁,

                     Y_t = C_t + G_t + I_t + L_t,

                      P_t = Y_t + Z_t.

В этой системе  три эндогенные переменные:

Y_t – имеющийся в распоряжении доход в период времени t;

С_t – частное потребление в период времени t;

P_t – валовой национальный продукт (ВНП) в период времени t;

Кроме того, модель содержит пять предопределенных переменных:

Y_{t -1} – доход предыдущего года;

G_t – общественное потребление;

I_t – валовые капиталовложения;

L_t – изменение складских запасов;

Z_t – сальдо платежного баланса.

Случайная переменная  Ɛ₁ характеризует ошибки в первом уравнении в виду его статистического характера. Параметр а отражает влияние других не учитываемых в данном уравнении факторов потребления (например, цен). Первое уравнение данной системы является сверхидентифицируемым, а второе и третье – определениями.

Если в модели Кейнса доход рассматривается как  лаговая переменная, то в других исследованиях функции потребления в виде лаговой переменной используется потребление предыдущего года, т.е. считается, что потребление текущего года зависит не только от дохода, но и от достигнутого в предыдущий период уровня потребления.

Примером динамической модели экономики, учитывающей для  каждой эндогенной переменной лаговые  переменные соответствующего экономического содержания, может служить модель открытой экономики с экономической  активностью со стороны государства.

                           С_t = а₀ + а₁ * Y_t + a₂ * C_{t - 1} +Ɛ₁,

                           I_t = b₀ + b₁ * Y_t + b₂ * U_{t -1} +Ɛ₂,

                           IM_t = k₀ + k₁ * Y_t + IM_{t -1} + Ɛ₃,

                           Y_t = C_t + I_t + G_t – IM_t.

В этой модели четыре эндогенных переменных:

С_t – личное потребление в период времени t;

I_t – частные чистые инвестиции в отрасли экономики в период времени t;

IM_t – импорт в период времени t;

Y_t – национальный доход за период времени t;

Все переменные приведены в постоянных ценах.

Предопределенными переменными в модели являются следующие  три переменные:

С_{t -1} – личное потребление за предыдущий период;

U_{t -1} – доход личных домохозяйств от предпринимательской деятельности за предыдущий период и доход от имущества плюс нераспределенная прибыль предприятий до налогооблажения;

IM_{t -1} – импорт за предыдущий период времени t – 1.

В качестве экзогенной переменной в модели рассматривается  переменная G_t – общественное потребление, плюс государственные чистые капиталовложения в экономику страны, плюс изменение запасов, минус косвенные налоги, плюс дотации, плюс экспорт.

Первые три  уравнения системы являются сверхидентифицируемыми, а четвертое представляет собой балансовое тождество.

Система одновременных  уравнений нашла применение в  исследованиях спроса и предложения. Линейная модель спроса и предложения  имеет вид:

                              Q^d = a₀ + a₁ * P +Ɛ₁,