Шпаргалка по "Математической экономике"

S₂=R₂(1-i_c)^n-1

S_n=R

S=ΣSj-общая сумма денег.

Пренумеранда:

При постнумеранде:

b₀=1

b-член геометрической прогрессии.

q=(1+i_c)

q- знаменатель

Сумма платежей финансового потока.

А- приведенная  рента. Aj=R/(1+i_c)^j

A=ΣAj=R=1/(1+i_c)^j

b=1/(1+i_c)

q=1/(1+i_c)

Коэффициент приведенной ренты:

A=R*a

S=R*Ky

Ky-коэффициент увеличения

S=A(1+i_c)ⁿ

Свойства:

;

Если  проценты начисляются m раз в году:

В случае оплаты платежа p раз в году:

(3). Влияние инфляции  на коммерческие  операции.

n-количество

x_i- товары, услуги

Sj=x_i*p_ij

pij- цена i-го товара через период j.

Sj-стоимость x_i товара через период j.

S₀-начальная стоимость.

Yu- индекс инфляции. Yu=S_j/S₀

S₁=Yu₁*S₀

S₂=Yu₁*Yu₂*S₀

S_n=S₀ПYu_j

α-темп инфляции

α=Yu-1

Yu=α+1

S_n=S₀П(1+α_j)-темпы инфляции в разные периоды времени

Если α=const

S_n=S₀(1+α_j)ⁿ

S_α-с учетом инфляции

Для простых  процентов (i)

i_α-проценты с учетом инфляции

S_α=P(1+ni_α)

S=P(1+ni)-S без учета инфляции

S_α=S*Yu

P(1+ni_α)= P(1+ni)*Yu

(1+ni_α)= (1+ni)*Yu

Yu=α+1

Для сложных  процентов:

S_α=S*Yu=(1+α)S

S_α=P(1+ic_α)ⁿ-c учетом инфляции

S=P(1+ni_c)ⁿ-без учета инфляции

С дисконтом:

P=S_α(1-nd_α)-с учетом инфляции

P=S(1-nd)-без учета инфляции

(4). Модели сравнения  финансовых экономических  операций. (находим эквивалентные проценты- простые, сложные, годовые, ежеквартальные). Для того чтобы установить зависимость между простыми и сложными процентами необходимо:

S=P(1+ni)-простой процент

S=P(1+ni_c)ⁿ-сложный процент

Приравниваем  правые части и получаем:

P=S(1-nd)-простой дисконт

S=P(1+ni)-простой процент

Приравниваем  правые части и получаем:

i_э=D/P

i_э- i эквивалент

D-доход

P-расход (реальная стоимость векселя)

i_э=(S-P)/P

Если  несколько лет: i_э=D/nP

Модели  операций с облигациями.

Суть  облигации: клиент покупает у банка  облигацию, на которой написано 10т (номинальная  стоимость) за 8 т (рыночная стоимость), а потом через определенный срок банк выкупит эту облигацию за 10 т.

N-номинальная стоимость облигации

P- рыночная стоимость (реальная)

Pk-курсовая цена

D=N-P-доход от облигации

Y-доход от процентов

i-проценты в облигации

Y=i*N

D=(N-P)+Y

Сложные проценты

Y=N(1+i_c)ⁿ-N

D=(N-P)+N((1+i_c)ⁿ-1)

Модели  операций с акциями.

D-доходность

N-номинал

f-ставка (дивиденды)

D=f*N-по привилегированным акциям  (получают твердую ставку вне зависимости от доходов компании)

P-чистая прибыль

D_пр- доходы привилегированных акций

n-количество акций

D₀-доходы по простым акциям (обыкновенным)

D_пр=(n_пр*f*N)

n_пр- кол-во привилегированных акций

D_общ=D+(M-P_пк)-общие доходы

D=D₀+D_пр- если два вида акций

M-цена продажи

P_пк- цена покупки

D₀-общие доходы

Р- расходы

1. доходность

Если  дивиденды начисляются несколько лет:

D_общ=nD+(M-P_пк)

n-число лет

Задачи:

1.Простые  проценты.

Вклад 33 в банк 20.05.02 при ставке 60% годовых. 01.09.02 банк снизил ставку до 30% годовых. 25.10.02 вклад был закрыт (забрали). Определить сумму начисленных процентов  и конечный размер вклада по английской, германской и французской системам.

Решение:

i₁=60%                     i₁=30%

T_1A=104 дня            T_2A=55 дней

T_1Г=101 день           T_2Г=55 дней

T_1Ф=104 дня            T_2Ф=55 дней

T_1год=365 дней          

T_1год=360 дней          

T_1год=360 дней

По Англии:

S₁=P(1+ni)=P(1+T/k*i)=300(1+104/365*0,6)=351,29

доход1=51,29

S₁=P(1+ni)=P(1+T/k*i)=300(1+55/365*0,3)=313,56

доход2=13,56

S=300+51.29+13.56=364.85

S_г=300(1+0.6*101/360+0.3*55/360)=

S_ф=300(1+0.6*104/360+0.3*55/360)=

2.Сложные  проценты.

Банки С и Д начисляют проценты один раз в пол года, С по простой  схеме, Д по сложной. Через год  средства на счетах увеличились на 60% у обоих банков. В какой из банков выгоднее положить средства на полгода и на полтора года.

Решение:

i_c=60%-доходы (%) банка С, т.к. у него простые проценты.

R_D=(1+i_D)ⁿ

R_c=1+ i_c

R_D=1,6

m –несколько раз в году начисляются проценты

m=2

n=1, т.к. один год

1,26=1+x/2

x/2=0,26

x=0,52

1.Доходность  банка С за полгода

m=2, т.к. проценты начисляются раз в полгода.

2.Доходность  банка за полгода.

n/2-потому что рассматривается период в полгода.

m=2, т.к. проценты начисляются раз в полгода.

3.Доходность  банка С за полтора года.

4.Доходность банка Д за  полтора года.

=>что  на полгода выгоднее вкладывать  в банк С, а на полтора  года в банк Д.

Посчитать на конец 4-го года.

3.Сложные проценты.

Банк  выдал кредит 16.08.-10тыс., срок 2месяца, ставка 35% годовых по Германской системе. Порядок выплат (как надо было):

1 платеж 16.09 – проценты за первый месяц

2 платеж 16.10 –проценты за 2 месяц + сумма  кредита.

Штраф 0.5 за каждый просроченный день по сложной схеме. Платежи (как погашали):

1)16.09 –погашены  проценты за первый месяц

2)22.10 –2.6 тыс

3)25.10 –3.4 тыс

4)30.10 –погашена  вся сумма задолженности.

Найти размеры сумм первого и последнего платежа.

Решение:

P=10т

i_c=35%

Процентные деньги (та сумма которую заплатили за первый месяц):

n=1, т.к. 1 раз в месяц

1 платеж =0,29т.=Y₁

В конце  второго месяца клиент должен заплатить  еще 0,29 т + сумма кредита.

16.10=> 22.10-6 дней

S=P+Y=10,29(штраф начисляется на эту сумму).

i_штраф=0,5

S_штраф=S(1+0,005)⁶=10,3

22.10=>25.10-3дня

S=10,3-2,6=7,7-остался должен после того как оплатил 2,6

S_штраф=7,7(1+0,005)³=7,82

25.10=>30.10-5 дней

S=7,82-3,1=4,72-остался должен после того как оплатил 3,1

S_штраф=4,72(1+0,005)⁵=4,83

4.Задача на простой дисконт.

Выдан вексель на 100 тысяч с погашением 12.11. Владелец векселя погасил его 12.09 по простой годовой ставке дисконтирования 10%. Используется Германская система  расчета. Найти сумму, которую получил  владелец векселя.

Решение:

d=0,1

S=100т

P=? (реальная цена на 12.09)

m=12