Трендовые и корреляционные модели

 

    Фрагменты расчета исходных данных для  таблицы 3:    

     = 44.79+1.3t       Yt-        

    Y_t1=44,79+1,3*1=46,09   36.7 - 46.09 =-9.39     

    Y_t2=44,79+1,3*2=47,39   38.9 - 47.39= -8.49

    Y_t3=44,79+1,3*3=48,69   45.6 – 48.69= -3.09

    Y_t4=44,79+1,3*4=49,99   52.3 - 49.99=2.31

    Y_t5=44,79+1,3*5=51,29   56 - 51.29=4.71

    Y_t6=44,79+1,3*6=52,59   59.7 - 52.59=7.11

    Y_t7=44,79+1,3*7=53,89   66.4 – 53.89=12.51

    Y_t8=44,79+1,3*8=55,19   65.3 – 55.19=10.11

    Y_t9=44,79+1,3*9=56,49   61.2 – 56.49=4.71

    Y_t10=44,79+1,3*10=57,79   57.1 – 57.79=-0.69

    Y_t11=44,79+1,3*11=59,09   56 – 59.09= -3.09

    Y_t12=44,79+1,3*12=60,39   54.9 – 60.39= -5.49

    Y_t12=44,79+1,3*13=61,69   50.8 – 61.69= -10.89 

      = 61.76+ 1.3t – 0.56t²           Yt-  

    Y_t1=61.76+1.3(-6)-0.56*36=33,8   36.7 – 33.8=2.9

    Y_t2=61.76+1.3(-5)-0.56*25=41,26  38.9 - 41.26= -2.36

    Y_t3=61.76+1.3(-4)-0.56*16=47,6   45.6 - 47.6= -2

    Y_t4=61.76+1.3(-3)-0.56*9=52,82   52.3 – 52.82=-0.52

    Y_t5=61.76+1.3(-2)-0.56*4=56,92   56 – 56.92= -0.92

    Y_t6=61.76+1.3(-1)-0.56*1=59,9   59.7 - 59.9= -0.2

    Y_t7=61.76+1.3(0)-0.56*0=61,76   66.4 – 61.76=4.64

    Y_t8=61.76+1.3(1)-0.56*1=62,5   65.3 - 62.5=2,8

    Y_t9=61.76+1.3(2)-0.56*4=62,12   61.2 - 62.12= -0.92

    Y_t10=61.76+1.3(3)-0.56*9=60,62   57.1 – 60.62= -3.52

    Y_t11=61.76+1.3(4)-0.56*16=58   56 - 58= -2

    Y_t12=61.76+1.3(5)-0.56*25=54,26  54.9- 54.62=0.64

    Y_t13=61.76+1.3(6)-0.56*36=49,4   50.8 – 49.4=1.4 

    Расчеты по формуле (48) с использованием данных таблицы 3 позволили получить следующие  результаты.

    Линейная  трендовая модель – 11

    V_r= [√ (687.53/ 13) / 53.92]٭100% = 13.49%

    Квадратичная трендовая модель -1V

    V_r= [√ (68,11 / 13) / 53.92]٭100% = 4,25%

    Чем меньше процентное отношение, тем точнее модель. Из двух сравниваемых моделей следует отдать предпочтение модели - IV. Поэтому дальнейшие исследования будем проводить с использованием модели – IV, представленной уравнением (47). 

    2.3.7 Интерполяция и экстраполяция (прогноз) по трендовой модели 

    Осуществим  интерполяцию выпуска продукции при t=10,5 и экстраполяцию (прогноз) при t=15 с помощью полученной трендовой модели.

    Поскольку из двух конкурирующих моделей наиболее  достоверной является квадратичная трендовая модель, все расчетные исследования будем проводить именно с этой моделью, поочередно подставляя значения t = 10.5 и t= 15 в модель – 1V или в уравнение (47).

    Так как наша модель готовилась со смещением начала координат вправо на 7 лет, а значения даны в абсолютной системе координат, то при вычислении мы будем из значений t вычитать 7. Таким образом:

      при  t =( 10,5 – 7):

     = 61.76+ 1.3t – 0.56t² =61,76+1.3(10.5-7)-0.56(10.5-7)²=66,31-6,86=59,45.

    Это значит, что на 10,5 году объем производства составит 59,45 у.е.

    При  t = (15 – 7)

     =61.76+ 1.3t –0.56t²=61,76+1.3(15-7)-0.56(15-7)²=72,16-35,84=36,32.

    Предполагается, что на 15 году объем производства составит по прогнозу 36,32 у.е.

    2.4 Корреляционные модели

    2.4.1 Корреляционная модель производственного процесса 

    Пусть 13 одноотраслевых заводов выпускают  однотипную продукцию Y_x в некоторых условных единицах. Производительность завода связана с количеством рабочих X_i зависимостью

    Y_x = f(X_i).

    Определить  уравнение связи между объемом  выпускаемой продукции Y_x и количеством рабочих на заводе X_i. В качестве исходной примем исходную расчетную таблицу 2 для трендовых моделей, осуществив замену:

    Y_x = Y_t ;    X_i = 100t_i

    x_i = 100^-1٭X_i  .                                                                                    

    2.4.2 Линейная корреляционная модель

    Поскольку мы используем весь заданный интервал для х (от 1 до 13), при написании пределов суммы не будем указывать параметры интервала.

    Запишем функционал:

    S=∑( Y_х– )²→min.                                                                                   (49)

    В качестве выравнивающей примем линейную функцию

     =A+Bх.                                                                                                    (50)

    Тогда (49) с учетом (50) примет вид                                                                                                    

    S=∑( Y_х – A - Bх)²→min.                                                                          (51) 

    Частные производные по искомым параметрам А и В запишутся в виде системы:                                      

               = 2 ∑( Y_х – A – Bх)*(-1) = 0,                                                     (52)

             = 2 ∑( Y_х – A – Bх)*(-х) = 0.                                                       (53)

     

    Откуда  можно записать систему нормальных уравнений 

     NА + В∑ х = ∑Y_х ,                                                                                     (54)

    А∑  х+ В∑ х ² = ∑Y_х х.                                                                               (55)

    Подставим известные из таблицы 4 значения ∑ х , ∑Y_х , ∑ х ² и ∑Y_х х в уравнения (54) и (55), получим: 

         13A + 91B = 971.3,                                                                                (56)

        91A + 819B = 7059,8.                                                                            (57)           

    Решение этой системы дает:

    A=64.71;   B=1.43.                                                                                      (58)

    Таким образом, линейная корреляционная модель представляет собой уравнение:

      =64.71+1.43х.      ( V)                                                                    (59) 

    2.4.3 Выравнивание квадратичной функцией  

    Как и в предыдущих задачах,  решение начинается с записи функционала:           

    S=∑( Y_х – )²→min.                                                                                    (60)

    Далее записывается уравнение выравнивающей  функции в виде полинома второго  порядка

     =A+B х +С х ².                                                                                           (61)

    Уравнение (61) подставляется в (60)

    S=∑( Y_х – A – B х - С х ²)²→min.                                                                 (62)

    Затем записываются частные производные по искомым параметрам :  А,  В и С

              = 2 ∑( Y_х – A – Bх - Сх²)*(-1)=0,                                                  (63)

             = 2 ∑( Y_х – A – Bх - Сх²)*(-t)=0,                                                   (64)

         = 2 ∑( Y_х – A – Bх - Сх²)*(-х²)=0.                                                 (65) 

    Систему (63) – (65) преобразуем в систему нормальных уравнений

             NА + В∑ х + С∑ х ² = ∑Y_х ,                                                               (66)

            А∑ х + В∑ х ² +С∑ х ³ = ∑Y_х х,                                                         (67)

            А∑ х ² + В∑ х ³ +С∑ х ⁴ = ∑Y_х х ².                                                     (68) 

          Так как мы используем метод наименьших квадратов с  переносом оси ординат в середину диапазона аргумента ( то есть в точку х=7), то слева от нуля записываются отрицательные значения аргумента х, справа – положительные. В этом случае сумма нечётных степеней аргумента равна нулю (∑х=∑ х ³ = …=0).

    Таким образом, система уравнений примет вид: 

              NА + С∑ х ² = ∑Y_х ,                                                                           (69)

             В∑ х ² = ∑Y_х х,                                                                                   (70)

             А∑ х ² +С∑ х ⁴ = ∑Y_х х ² .                                                                   (71) 
 

    Составим  новую таблицу 4 данных в связи с переносом оси ординат в середину диапазона аргумента, то есть в точку х =7. 
 

                                                                                                     Таблица 4