Подставим известные нам значения из таблицы  4 и получим: 

                 13A + 182C = 700,9;                                                                       (72)

                182B = 236,6;                                                                                  (73)

                182A + 4550C = 8699.                                                                  (74)

    Из  (73) получим:

                       B=1.3.

    Уравнения (72) (74) сводятся к системе:

    

                13A+182C=700,9

                A+25C=47.80

    Из  которой определены коэффициенты А  и С:

            A = 61,7;   C= -0,56.

     Таким образом, уравнение корреляции с квадратической выравнивающей функцией имеет вид:

            

     = 61,7 + 1,3х – 0,56х²_.   (VI)                                    (75) 

    2.4.4 Коэффициент корреляции конкурирующих описаний  

    Оценка  силы связи аргумента  с функцией осуществляется с помощью коэффициента корреляции r , определяемого из выражения: 

        ,                                                                                          (76)

    где:       ,     ,   0 ≤ r ≤ 1.                  (77) 

    Для расчета значений коэффициентов корреляции для моделей (V) и (VІ) по формулам (76) и (77) составлена таблица 5:

                                                                                      Таблица 5

 

    Для квадратичной корреляционной функции (VI) 

       = 61.76 + 1,3х – 0,56х²

    находим 

      ;      

    r = √ (76.55– 5.23) / 76.55 = 0,97. 

    Для линейной функции (V)

      =44.79+1.3x

    дисперсии равны следующим величинам:

     ;  .

    Коэффициент корреляции оказался равным

           r =√(76.55 – 52.89) /76.55 = 0,56.

     По  результатам выполненных расчетов видно, что более достоверной является квадратичная корреляционная модель (V1), т.к. ее коэффициент корреляции выше (r = 0,97).

    2.4.5 Использование модели в оптимизационной задаче 

    Полученная  корреляционная модель

               = 61.76 + 1,3х – 0,56х² 

имеет экстремум и может быть использована в оптимизационных процедурах.  

               .

    Откуда 

    x^опт = 1.3/ 1.12= 1.16. 

    Так как ось ординат смещена на величину (х +7), то х^опт = 1,16+7=8,16

    Х^опт = х^опт *100=8,16*100=816( оптимальное количество рабочих на заводе).

    Подставим полученное значение х^опт в уравнение модели (V1) мы найдём оптимальный выпуск продукции:

     ^max =61.76+1.3*1.16-0.56(1.16)²= 61.76+1.508-0.75=64.02

При оптимальном количестве рабочих на заводе, равном 816 раюочим, максимальный выпуск продукции составит 64.02 условных единиц.

  

2.5 Графическое изображение результатов расчета по различным конкурирующим моделям 

    На  рис.1 представлены результаты расчетов по различным конкурирующим описаниям. Кривые трендовых моделей изображены в осях (Y_t – t), кривые корреляционных моделей – в осях (Y_x – x). При переходе к количеству рабочих Х  необходимо произвести пересчет Х = 100х.

    

РРис.1

          График  может  быть дополнен таблицей с результатами расчетов по уравнениям конкурирующих описаний (см. рис.2). Это в существенной мере упрощает анализ процессов, описываемых различными моделями 

    

                                                             Рис.2 

    Заключение

          По полученным исходным данным в форме множества расчетных точек, имитирующих производительность завода по годам, найдена простая средняя арифметическая производительности. С использованием различных методов получены трендовые модели с различными выравнивающими функциями:

    - для линейной модели:

    1. Расчленением динамического ряда на количество частей, равное количеству коэффициентов выравнивающей функции;

    2. Выравниванием с использованием метода наименьших квадратов;

    3. Выравниванием с использованием метода наименьших квадратов и с переносом начала системы координат в середину динамического диапазона.

    - для квадратичной модели:

    1. Выравниванием с использованием метода наименьших квадратов и с переносом начала системы координат в середину динамического диапазона.

          Определена точность полученных линейной (Y=44,79+1.4t) и параболической (Y = 61,76 + 1,3t – 0,69t² ) трендовых моделей с использованием коэффициента вариации. Для линейной трендовой модели он составил 13,49%, а для параболической 4,25%. Чем меньше отклонение, тем точнее модель. Следовательно, точнее параболическая трендовая модель. Осуществлен прогноз на 15-й год (объем производства продукции завода   составил 36,32).

          Построена корреляционную модель. В качестве исходной таблицы данных принята исходная расчетная таблица для трендовых моделей путем замены Y_x=Y_t; Х_i=100t_i Для упрощения расчетов перешли к новой независимой переменной X_i=x_i/100.

          Построили корреляционные модели производственного процесса методом наименьших квадратов для линейной функции и методом наименьших квадратов с переносом начала координат в середину динамического диапазона для квадратичной функции.

          Для этих моделей определены коэффициент корреляции конкурирующих описаний. Для линейной корреляционной модели он составил 0,56, а для квадратичной 0,97. По выполненным расчетам видно, что достоверной является квадратичная  корреляционная модель, так как ее коэффициент корреляции больше.

          По полученной квадратичной  корреляционной модели найдено оптимальное количество рабочих на заводе  =816 человеку, обеспечивающее оптимальный выпуск продукции =64,02. Результаты исследований проиллюстрированы на графиках.