Використання степеневих виробничих функцій для моделювання відпрацювання інвестицій в національній економіці

 

Курсова робота

з дисципліни „Моделювання економіки” на тему:

„Використання степеневих виробничих функцій для моделювання відпрацювання інвестицій в національній економіці”

 

 

 

Зміст

 

 

 

Вступ-----------------------------------------------------------------------------3

Розділ 1. Дослідження інвестиційного процесу та методу його моделювання____________________________________ _4

1.1. Опис інвестиційного процесу за допомогою моделі економічного росту Солоу. ______________________      _4

1.2. Наслідки, які витікаять з моделі Солоу_____________        9

Розділ 2. Побудова моделі відпрацювання інвестицій в економіці.__________                                                    11

 

2.1. Математичний опис  процесу відпрацювання          інвестицій       в економіці.______________________      __11

2.2. Аналіз оптимальності параметрів  побудованої моделі._______________________________                    17

Висновки___________________________________________    ___ _19

Список літератури                                                                                    20

Додатки

 

 

 

Вступ

Економіко-математичні  методи і моделі мають загальний  з іншими економічними дисциплінами об'єкт дослідження - економіку як соціально-економічну систему. Однак у цього наукового напрямку є свій власний предмет дослідження. Він вивчає різні сторони свого об'єкта і насамперед кількісні взаємозв'язки і закономірності. При цьому використовуються особливі наукові методи, що самі стають об'єктом дослідження.

Про значення й  оцінку світовим науковим співтовариством даного напрямку можна судити по кількості лауреатів Нобелівської премії по економіці, що проводили свої дослідження на стику економіки і математики. Нобелівська премія по економіці присуджувалася з 1969 р. Лауреатами цієї премії,  стали 36 видатних учених-економістів, у тому числі 26 учених-економістів за дослідження на стику економіки і математики.

Виявлення кількісних взаємозв'язків і закономірностей  у соціально-економічній системі  полегшується при використанні інформаційних  технологій. Однак реальний синтез економічної теорії, статистики, математики й інформатики ще попереду і, як я вважаю, принесе в майбутньому чимало відкриттів. При цьому істотну роль будуть грати різні моделі.

Метою даної  курсової роботи є побудова моделі, яка б за допомогою степеневої виробничої функції описувала процес відпрацювання інвестицій  в національній економіці, а також аналіз оптимальності здійснення інвестиційного процесу. Після ознайомлення з літературою по даній темі, я вирішив змоделювати даний процес за допомогою моделі Солоу.

 

 

Розділ 1

 Дослідження інвестиційного процесу та методу його моделювання

1.2. Опис інвестиційного  процесу за допомогою моделі  економічного росту Солоу.

 

Інвестиційний процес являє собою вкладення коштів в виробничі фонди. Цей процес не можна розглядати окремо від економічної системи, бо він є однією з ланок, через яку в економіці постійно здійснюється кругообіг коштів. Тому я вирішив розглядати процес відпрацювання інвестицій в економіці за допомогою моделі Солоу.

Модель Солоу є односекторною моделлю економічного росту. У цій моделі економічна система розглядається як єдине ціле, виробляє один універсальний продукт, що може як споживатися, так і інвестуватися. Модель досить адекватно відбиває найважливіші макроекономічні аспекти процесу відтворення. Експорт— імпорт у явному виді не враховується.

Стан економіки в моделі Солоу задається наступними п'ятьма ендогенними змінними:

Х — валовий внутрішній продукт (ВВП);

С — фонд невиробничого споживання;

I — інвестиції;

L — число зайнятих;

К— фонди.                       

Крім того, у моделі використовуються наступні екзогенні (задані поза системою) показники:

v — річний темп приросту числа зайнятих;

μ — частка вибулих за рік основних виробничих фондів;

ρ — норма нагромадження (частка валових інвестицій у валовому внутрішньому продукті).

Екзогенні параметри  знаходяться в наступних границях: -1<ν<1, 0<μ<1, 0<ρ<1.

Передбачається, що ендогенні змінні змінюються в часі ( аргумент t опущений, але є присутнім). Екзогенні показники вважаються постійними в часі, причому норма нагромадження є керуючим параметром, тобто в початковий момент часу може встановлюватися керуючим органом системи на будь-якому рівні з області припустимих значень.

Час t вважається безупинним і виміряється в роках. Для миттєвих показників L=L(t), K=K(t) це представляється природним, оскільки, в принципі, у будь-який день можна установити число зайнятих і шляхом інвентаризації – обсяг основних виробничих фондів. Значення показників типу потоку X=X(t), I=I(t), C=C(t) у момент t=[t]+{t} визначаються у вигляді накопичених за рік, що починається на {t} днів пізніше 1 січня року [t].

Передбачається, що річний випуск у кожен момент часу визначається лінійно-однорідною неокласичною виробничою функцією.

                                                    X=F(K,L).                                  (1)

Розглянемо, як змінюються ресурсні показники за невеликий проміжок часу Δt. Відповідно до визначення темпу приросту

      чи         

тому

 ^, 

 Використовуючи початкову умову L(0) = L₀, одержуємо

 .

Знос і інвестиції в розрахунку на рік рівні μK і Ι відповідно, а за час Δt — відповідно μK Δt,  I Δt, тому приріст фондів за цей час

ΔK=-μΚΔt+ ΙΔt,

звідки одержуємо диференціальне рівняння

Інвестиції і фонд споживання в такий спосіб виражаються через ВВП: I = ρХ, С = (1 - ρ)Х.

Отже, одержуємо наступний  запис моделі Солоу в абсолютних показниках:

;      ;    ;           (2)

X=F(K,L);           I = ρХ;                С = (1 - ρ)Х.

Схема функціонування економіки  відповідно до моделі Солоу приведена  на рис. 1. Видно, що входом у систему служить число зайнятих L , виходом – фонд споживання С,  тому система однозв'язна. У структурі системи мається контур зворотного зв'язку, що утвориться з нелінійного статичного елемента X=F(K,L), розподільної лінійної статичної ланки X=I+C і інерційної ланки

,     .

Оскільки в системі  мається нелінійний елемент X=F(K,L), те система нелінійна.

Оскільки 

 

те запис моделі Солоу  здобуває наступну форму в питомих показниках:

 

                                            

 

 

 

Таким чином, кожен абсолютний чи відносний  показник змінюється в часі, тобто  можна говорити про траєкторію системи  в абсолютних чи відносних показниках.

 Траєкторія називається стаціонарної, якщо показники не змінюється в часі:

k=k⁰=const,  x=x⁰=const, I=I⁰=const, c=c⁰=const.

Як видно з формул (3), встановлення фондоозброєності на постійному рівні k приводить до виходу на стаціонарну траєкторію.

 

На стаціонарній траєкторії ,     тому

чи         

       

Оскільки функція F(K,L) – неокласична, то f(0)=0,  f ^‘>0,  f ^’’<0. Якщо ще задати умова ρf ^‘(0)>λ, то рівняння (4) буде мати єдине ненульове рішення k^Е , що видно з рис. 2.

На цьому малюнку  через  позначена фондоозброєність, при якій швидкості росту g₁(k)=λk і g₂(k)=ρf(k) рівні, тобто - корінь рівняння.

ρf ^'(k)=λ.

 

 

Рис. 2. Графічне визначення стаціонарної фондоозброєності

 

 1.2. Наслідки, які витікаять з моделі Солоу

 

Одним з наслідків  моделі Солоу являється «золоте правило нагромадження», суть якого полягає в тому, що належним вибором норми нагромадження можна максимізувати споживання на душу населення в стаціонарному режимі, а отже, і через відносно нетривалий час після початку перехідного процесу.

Справді,                                            (5)

де                                          .

 

Як бачимо, споживання на душу населення цілком визначається функцією g(ρ).

Маємо                                      

тому         при ρ<α,  при ρ>α.

Таким чином, найбільше споживання на душу населення досягається при ρ^*=α, тобто норма нагромадження повинна дорівнювати еластичності випуску по фондах. На практиці норма нагромадження завжди менше свого оптимального значення (ρ<α), тобто має місце недонагромадження (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

Рис 3. Питоме споживання як функція норми нагромадження

 

Другим наслідком є те, що виграш у поточному споживанні обертається програшем у найближчій перспективі.

Якщо замість норми нагромадження ρ<α установити меншу норму нагромадження =ρ-Δρ, то поточне споживання на душу населення зросте з с₀=(1-p)Ak^α_о до =(1-ρ+Δρ)Ak^α_о. Однак цей виграш через досить короткий інтервал часу t спочатку зійде на нівець, а потім обернеться програшем, оскільки при ρ<α згідно з формулою (5) стаціонарне споживання на душу населення . Загальна порівняльна картина зміни споживання на душу населення в цих двох випадках показана на рис. 4.

Рис.4. Порівняння зміни споживання на душу населення . 
Розділ 2

 Побудова моделі відпрацювання інвестицій в економіці.

 

2.1. Математичний опис процесу відпрацювання інвестицій в економіці.

 

Відомі дані про обсяг  ВВП, витрати капіталу і трудових ресурсів, які здійснювалися протягом тридцяти років в економіці. Також відомо, що потягом цих років норма нагромадження залишалася стабільною на рівні 8% від ВВП. Дані відображені в таблиці 2.

Таблиця 2.

Рік	Витрати капіталу, млрд. грн.	Трудові витрати, млрд. грн.	Обсяг ВВП, млрд. грн.
1	5,07	1,52	5,67
2	5,08	2,76	8,79
3	5,34	3,99	11,73
4	5,53	5,23	14,68
5	6,49	6,47	17,74
6	7,34	6,55	20,96
7	8,38	8,94	24,35
8	9,60	10,18	27,92
9	10,21	11,42	31,66
10	12,57	12,65	35,58
11	14,33	13,89	36,45
12	15,41	15,13	40,44
13	18,35	16,36	48,25
14	20,61	17,60	52,75
15	23,04	18,84	57,37
16	25,62	20,08	40,54
17	28,36	21,31	66,93
18	29,65	22,55	71,87
19	34,28	23,79	76,89
20	37,45	25,02	81,99
21	40,75	26,26	87,18
22	44,18	27,50	92,43
23	47,73	28,10	97,75
24	51,40	29,97	103,14
25	55,18	31,21	108,58
26	56,54	32,45	114,08
27	63,05	33,68	119,62
28	67,13	34,92	125,22
29	71,31	36,16	130,85
30	75,58	37,39	136,53

 

Початковим етапом побудови моделі відпрацювання інвестицій в економіці  є визначення вигляду виробничої степеневої функції, яка б описувала даний процес виробництва. Побудову такої функції я здійснюю за допомогою статистичного пакету STATGRAPHICS Plus.

Позначимо обсяг ВВП  через Q, витрати капіталу через К, трудові витрати – L. Модель будується в лінійному вигляді, тому змінні логарифмуються (Додаток 1).

В результаті багатофакторного регресійного аналізу я отримав наступні дані:

Multiple Regression Analysis

----------------------------------------------------------------------------------------

Dependent variable: log(Q)

----------------------------------------------------------------------------------------

                                                    Standard          T

Parameter               Estimate         Error       Statistic        P-Value

-----------------------------------------------------------------------------------------

CONSTANT        0,943162      0,0568866        16,5797         0,0000

log(K)                   0,326103      0,0531211        6,13887         0,0000

log(L)                     0,70361      0,0584421        12,0394         0,0000

------------------------------------------------------------------------------------------

 

                           Analysis of Variance

-------------------------------------------------------------------------------------------

Source             Sum of Squares     Df    Mean Square    F-Ratio      P-Value

-----------------------------------------------------------------------------

Model                       21,42            2        10,71             1437,57       0,0000

Residual                 0,201152         27    0,00745006

--------------------------------------------------------------------------------------------

Total (Corr.)             21,6212     29

 

R-squared = 99,0697 percent

R-squared (adjusted for d.f.) = 99,0007 percent

Standard Error of Est. = 0,0863137

Mean absolute error = 0,0379641

Durbin-Watson statistic = 2,01776

 

The StatAdvisor

--------------------------------------------------------------------------------

   The output shows the results of fitting a multiple linear

regression model to describe the relationship between log(Q) and 2

independent variables.  The equation of the fitted model is

 

log(Q) = 0,943162 + 0,326103*log(K) + 0,70361*log(L)

 

Так як коефіцієнт детермінації дорівнює 99%, то модель є адекватною. Приведемо її до степеневого вигляду. Тобто:

• ln A= 0,943162 => А = е ^0,943162,   А= 2,568089
• α = 0,326103;
• β = 0,70361