Высшая математика

Контрольная работа.

Вариант 4.

      1. Составить математическую  модель задачи

      Фирма производит два вида продукции А  и В. Объем сбыта продукции  А составляет не менее 60% объема общего сбыта. Для изготовления продукции А и В используется одно и то же сырье, суточный объем которого ограничен величиной 100 ден. ед. Расход сырья на единицу продукции вида А – 2 ден. ед., на единицу продукции вида В – 4 ден. ед. Цены на продукцию А и В – 20 и 40 ден. ед. соответственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В.

      Решение: Пусть Х1 – количество продукции вида А, необходимого для решения задачи оптимального распределения сырья, Х2 – количество продукции вида В. Определить оптимальное распределение сырья для изготовления продукции А и В – это значит найти такое количество продукции каждого вида, чтобы при ограниченном количестве сырья получать наибольшую прибыль от сбыта продукции. Математически это означает, что целевую функцию стоимости продукции F=20*Х1+40*Х2 нужно максимизировать.

     Первое из ограничений задачи указывает на то, что объем продукции А составляет не менее 60% объема общего сбыта. Математически это можно записать так: Х1≥0,6*(Х1+Х2) или, упростив выражение: 0,4*Х1≥0,6*Х2. Из ограничения по количеству сырья следует, что 2*Х1+4*Х2≤100. Ну и, конечно, количество продукции не должно быть отрицательным, т. е. Х1≥0, Х2≥0.

     Следовательно, математическая модель задачи принимает  вид:

     F=20*Х1+40*Х2 → МАХ

     0,4*Х1≥0,6*Х2;

     2*Х1+4*Х2≤100. 

 

      2. Решить графически.

     1) z=-x1+2x2 → max

     2x1+3x2≤6

     -x1+2x2≥2

     x1+3x2≥3

     x1-x2≥-2

     x1≥0, x2≥0

     2) z=-x1+2x2 → min

     3x1+2x2≤6

     3x1-x2≥-3

     x1-2x2≤-6

     2x1+x2≤4

     x1≥0, x2≥0

     3) z=-x1+3x2 → min

     2x1+2x2≤5

     -x1+x2≥-2

     -x1+2x2≤3

     -2x1+3x2≥6

     x1≥0, x2≥0

     Решение: Сначала строим множество точек, определяемое данной системой неравенств. Для этого строим соответствующие прямые и определяем в какой из полуплоскостей находится решение соответствующего неравенства, которое на графике отметим стрелочкой. Объединение всех полуплоскостей и будет искомым множеством точек.

     Затем из начала координат строим вектор целевой функции (К1;К2), где К1 и К2 - коэффициенты при х₁ и х₂ в целевой функции. Перпендикулярно этому вектору через начало координат строим прямую z=0. Затем с помощью параллельного переноса перемещаем эту прямую в сторону множества точек, полученного в предыдущем абзаце. Последняя точка полученной области для задачи с максимизацией целевой функции и первая точка области для задачи с минимизацией и будет решением задачи.

     Действуя  по этому алгоритму, получим графические решения задач 1), 2) и 3): 
 
 

                                                                                         Z=-x₁+2x₂→max 

                                                                                         2x₁+3x₂ ≤6,

                                                                                         -x₁+2x₂ ≥2,

                                                                                          x₁+3x₂ ≥3,

                                                                                         x₁-x₂ ≥-2,

                                                                                           x₁0,x₂≥0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Область допустимых значений задачи (решением системы неравенств) является т. А (0;2), т.к. лишь она удовлетворяет всем шести неравенствам.

     Zmax=Z(0;2)=-0+2*2=4.

     Ответ: Zmax= Z(0;2)=4. 
 
 
 
 

                                                                                           Z=-x₁+2x₂→min 

                                                                                                  3x₁+2x₂≤6,

                                                                                                  3x₁-x₂ ≥ -3,

                                                                                                    x₁-2x₂≤-6

                                                                                                    2x₁+x₂ ≤ 4

                                                                                                    x₁≥ 0,x₂ ≥ 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Область допустимых значений задачи (решением системы неравенств) является т.В(0;3), в которой значение функции Z= -x₁+2x₂ и будет минимальным.

     Zmin=Z(0;3)= -0+2*3=6

Ответ: Zmin=Z(0;3)=6 
 

                                                                                  
 

                                                                                             Z=-x₁+3x₂→max

                                                                                            

                                                                                                  2x₁+2x₂ ≤ 5,

                                                                                                 -x₁+x₂ ≥ -2,

                                                                                                  -x₁+2x₂≤ 3,

                                                                                                  -2x₁+3x₂≥6,

                                                                                                   x₁≥0, x₂≥0. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Так как в этой задаче решением системы неравенств является пустое множество, то данная задача не имеет решения.

     Ответ: нет решения. 
 

3. Решить симплекс-методом

     z=x2-3x3+2x5→min

     x1+3x2-x3+2x5=7

     -2x2+4x3+x4=2

     -4x2+3x3+8x5+x6=10

     xj≥0, j=1¸6

     Решение: После преобразования системы ограничений, имеем:

     х1=-3х2+х3-2х5+7

     х4=2х2-4х3+2

     х6=4х2-3х3-8х5+10

     Изменим и направление оптимизации функции:

     z=-x2+3x3-2x5→max

     Так как неизвестные х1, х4 и х6 встречаются  в уравнениях системы неравенств всего один раз, то запишем их в первую симплекс-таблицу в качестве базисных переменных. Неизвестные х2, х3 и х5 тогда будут небазисными или свободными переменными. Первая симплекс-таблица примет вид:

     Полученный  план будет опорным, так как в строке единиц нет отрицательных чисел, но не будет оптимальным, так как в Z-строке есть отрицательные элементы. Произведем улучшение опорного плана путем проведения первого шага жордановых исключений. Для этого выберем разрешающий элемент. Он будет находиться в строке х3, так как под ней в Z-строке отрицательный элемент. Этот столбец будет называться разрешающим. Найдем разрешающую строку по наименьшему симплексному отношению -

min (2/4, 10/3) = 2/4=1/2, значит, разрешающей строкой будет вторая, а разрешающим элементом – 4. Проводим с ним шаг жордановых исключений по следующему алгоритму:

1. Разрешающий элемент заменяем обратным;
2. Все элементы разрешающей строки делим на разрешающий элемент;
3. Все элементы разрешающего столбца делим на разрешающий элемент и записываем с противоположным знаком;
4. Остальные элементы новой симплекс-таблицы вычисляем по формуле: bi(новый)=(bi(старый)*ark-br(старый)*aik)/ark
5. Базисная и свободная переменные, озаглавливающие разрешающие строку и столбец меняются местами.

      В результате вычислений, получим вторую симплекс-таблицу, которая снова  не будет содержать оптимального плана, из-за наличия в Z-строке отрицательного элемента. Действуя аналогично предвдущему, проводим еще один шаг жордановых исключений, взяв в качестве разрешающего элемента 9/4 из первой строки таблицы.

      Получим третью симплексную таблицу, которая  будет содержать оптимальный  опорный план: