Высшая математика

      Приступая к вычислению элементов aij платежной матрицы, заметим, что aij обычно называют выигрышами игрока А, а наилучшей для него считается стратегия, при которой выигрыш максимизируется. В данном случае плата за топливо может быть лишь условно названа выигрышем, ибо платить все равно придется, и приоритетной является задача минимизации этой платы. То есть наилучшей признается стратегия, при которой aij будет максимально.

      Вычислим  элемент а11, соответствующий ситуации (А1, П1). Это наиболее благоприятный случай – хозяин в расчете на мягкую зиму закупил 7 единиц топлива по цене 2 ден. ед. за единицу и затратив 14 ден. ед. на покупку, больше топлива не докупал и излишек у него не осталось, потому затратами на первоначальную покупку все и ограничилось. В случае же, если зима оказалась обычной или суровой, то пришлось потратить 4 и 8 ден. ед. дополнительно, т.е. а12=-18, а13=-22.

      Действуя  аналогичным образом при стратегиях хозяина А2 и А3 получаем остальные значения платежной матрицы.

      Приступая к решению игры вычислим нижнюю α и верхнюю β чистую цену. Известно, что α=max min aij, β=min max aij. Из таблицы видно, что α=β=-22. Таким образом, задача имеет седловую точку, ей соответствует пара чистых стратегий α и β. Эти чистые стратегии и будут оптимальными стратегиями игроков, им соответствует чистая цена игры U=22 ден. ед. А так как эта цена есть во всех трех строках платежной матрицы, то невозможно сделать однозначного вывода о стратегии игрока А. Воспользуемся для этого дополнительными критериями.

      1. так как даны вероятности наступления  мягкой, обычной и суровой зимы, равные 0,2; 0,6; 0,2 соответственно, то для  определения оптимальной стратегии  воспользуемся критерием Байеса: max ai=maxΣhij*qj. В данном случае q1=0,2, q2=0,6, q3=0,2. Тогда:

      а1=(-14)*0,2+(-18)*0,6+(-22)*0,2=-18

      а2=(-20)*0,2+(-18)*0,6+(-22)*0,2=-19,2

      а3=(-26)*0,2+(-24)*0,6+(-22)*0,2=-24.

      Максимальным  выигрышем согласно критерию Байеса является -18, соответствующий первой стратегии хозяина дома.

      2. если три типа зимы представляются равновероятными (критерий Лапласа), то полагаем q1=q2=q3=1/3. Тогда:

      а1=(-14)*1/3+(-18)*1/3+(-22)*1/3=-18

      а2=(-20)*1/3+(-18)*1/3+(-22)*1/3=-20

      а3=(-26)*1/3+(-24)*1/3+(-22)*1/3=-24.

      Т.е. мы получаем результат, аналогичный  критерию Байеса – тоже оптимальной является стратегия игрока А1.

      3. если же для исследования использовать  критерий Гурвица с γ=0,6, согласно которому оптимальной является стратегия, для которой выполняется max (γ*min hij+(1- γ)*max hij). Найдем эти значения для каждой из стратегий: в1=0,6*(-22)+0,4*(-14)=-18,8

      В2=0,6*(-22)+0,4*(-18)=-20,4

      В3=0,6*(-26)+0,4*(-22)=-24,4

      Согласно  критерию Гурвица минимальный риск хозяина будет также при использовании  им стратегии А1, т.е. следует рассчитывать на мягкую зиму и закупать 7 единиц топлива.

      Ответ: согласно всем трем критериям хозяину дома при подготовке к зиме следует использовать стратегию А1 т.е. следует рассчитывать на мягкую зиму и закупать 7 единиц топлива.