Рентгеновская структурная кристаллография белков и вирусов

 ВВ’- BD = 2d sin θ равнялась целому числу длин волн (nλ). Уравнение                      

  2d sinθ = nλ                                                                                            (1)

есть закон Брегга Вульфа. Если использовать монохроматическое излучение, то закон Брегга - Вульфа можно записать в виде 2 d/n sin θ = λ. Здесь n носит название порядка отражения. При постоянном значении λ можно наблюдать различные порядки отражения от какой-либо системы плоскостей кристалла, изменяя определенным образом угол θ.

В действительности дифракция рентгеновских лучей в кристалле - явление сложное обусловленное интерференцией волн, рассеянных всеми атомами кристаллической структуры. Как показывает анализ функции Лауэ [1-11], которая представляет собой результат расчета интерференции волн, рассеянных атомами периодической решетки, закон Брега-Вульфа можно рассматривать как следствие более общих уравнений. Уравнение Брегга - Вульфа не дает, однако, достаточно полного представления о том, какой должна быть дифракционная картина кристалла. Оно определяет лишь зависимости между скалярными величинами, в то время как отраженные кристаллом рентгеновские лучи ориентированы совершенно определенным образом по отношению к системе координат, связанной с кристаллом. Поэтому они мoгут быть представлены определенными векторами. Следовательно, чтобы представлять угловую ориентацию отраженных лучей, необходимо иметь уравнение, связывающее основные векторные величины, характеризующие явление дифракции. Для этого очень удобно воспользоваться представлением об обратной решетке кристалла. Как будет показано ниже, при помощи обратной решетки удается в наиболее общей форме выразить геометрические условия дифракции рентгеновских лучей в кристалле, при этом существенно упрощается решение очень многих дифракционных задач.

Обратная решетка кристалла и геометрические условия дифракции Обратная решетка определяется следующим образом. Пусть у нас решетка кристалла задается тремя векторами а, Ь, с. Построим новую решетку на векторах а*, Ь* и с*, для которых выполняются следующие условия. Во-первых, вектор а* перпендикулярен плоскости, где лежат два вектора прямой решетки Ь и с. Вектор Ь* соответственно перпендикулярен векторам прямой решетки а и с, а вектор с* векторам а и Ь. Иными словами:

(а*Ь) = (ас) = (Ь*а)= (Ьс) = (с*а) = (с*Ь) = О.                                                          (2)

Во-вторых, длины векторов обратной решетки определяются как обратные величины межплоскостных расстояний между гранями элементарнои ячеики:

а =1\d₁₀₀ ; b* =1\d₀₁₀ ; с =1\d₀₀₁ . Иначе

               (аа*) == (ЬЬ*) == (сс*) == 1.                                                                     (3)

 Если мы имеем дело с ортогональной решеткой, эти соотношения упрощаются и длины векторов обратной решетюи оказываются попросту равными обратным величинам длин соответствующих векторов прямой решетки. Примем какой-либо из узлов обратной решетки за ее начало координат и нaправим координатные оси вдоль направлений ее основных векторов. Пронумеруем узлы, лежащие вдоль координатных осей; узлам, располагающимся в отрицательной части координатных осей, припишем отрицательные номера. Таким образом, мы как бы наносим определенный масштаб измерения на координатные оси обратной решетки. В этом масштабе можно определить координаты любого из узлов обратной решетки, условившись вести проектирование вдоль ребер ее элементарных параллелепипедов. При таком проектировании координаты узлов обратной решетки будут всегда только целыми числами (рис. 7). Проведем из начала координат обратной решетки ,вектор, конец котopoгo совпадает с узлом, имеющим координаты h, k, l. Обозначим eгo как вектор H_hkl. При помощи простых формул аналитической геометрии можно доказать очень важную для кристаллографии теорему. Она состоит в том, что направление вектора H_hkl обратной решетки совпадает с направлением перпендикуляра к плоскостям прямой решетки, имеющим миллеровские индексы h, k, l, а длина вектора H_hk есть обратная величина их межплоскостного расстояния d_hkl. Опираясь на эту теорему, можно дать геометрическую интерпретацию закона дифракции рентгеновских лучей в кристалле. Для этого рассмотрим систему параллельных плоскостей, имеющих миллеровские индексы h, k, l,от которых под опрделенным углом θ отражается рентгеновский луч (рис. 8). Легко видеть, что угол между падающим и отраженным лучом всегда равен 2 θ . Отложим вдоль направлений падающего и отраженного лучей отрезки длиной 1/l, и соединим их концы. Замыкающий отрезок BC будет перпендикулярен отражающим плоскостям, и, следовательно, он должен быть параллелен вектору Н обратной р.ешетки с координатами hkl. Если длина замыкающего отрезка будет также равна или кратна длине этого вектора обратной решетки, то геометрическая зависимость между тремя вeктopaми, на которых построен треугольник ABC, будет представлять собой не что иное, как одно из выражений закона дифракции.