Розділення неоднорідних систем

або після  скорочення на p і на 2

q d³(r₁ - r₂)/3 = x d²w_о²r₂/4,                                     (7)

звідки  швидкість осідання

w_о = (4d (r₁ - r₂)q/3x r₂ )^0,5, м/с.                              (8)

      Формулу (8) називають узагальненим рівнянням  для швидкості осідання.

      В умовах осідання твердих частинок у  повітряному (газовому) середовищі густина середовища дуже мала порівняно з густиною твердої частинки. Нехтуючи величиною r₂ у чисельнику рівняння (8), швидкість осідання у повітряному (газовому) середовищі можна обчислити за формулою

w_о = (4d r₁ q / 3x r₂ )^0,5, м/с.                               (9)

      Коефіцієнт  опору середовища — величина безрозмірна. Вона є функцією числа Рейнольдса і визначається дослідним шляхом. Цей коефіцієнт залежить від швидкості  руху частинок в середовищі, від  їх розмірів, густини і в'язкості середовища.

      Експериментальне  встановлено, що е три режими обтікання  твердого тіла, яким відповідають три  граничних значення коефіцієнта x для ламінарного режиму, тобто при 0 < Rе < 2

x =24/ Rе;                                               (10)

для перехідного режиму, тобто при 500 > Rе > 2

x =18,5/ Rе^0,6 ;                                               (11) 

для турбулентного  режиму, тобто коли 150000 > Rе > 500 коефіцієнт опору сталий і дорівнює x = 0,44.                   (УІІ-12)

      На  рис.1 зображено залежність коефіцієнта опору середовища x від критерія Рейнольдса для тіл різної форми.

Рис.1. Залежність коефіцієнта опору від критерію Рейнольдса для тіл різної, форми: 1 — кулі; 2 — диска; 3 — циліндра.

      Для розрахунку швидкості осідання за формулою (8) треба попередньо знати числове значення критерію Рейнольдса, в яке входить і шукана величина швидкості осідання. Тому для розв'язання задачі треба наперед задатися швидкістю осідання w_о потім розрахувати критерій Rе; за величиною Rе розрахувати за відповідними рівняннями (10), (11) і (12) коефіцієнт x, підставити його в рівняння (8) і знайти значення швидкості осідання w_о. Якщо одержане значення швидкості збігається з наперед вибраним її значенням w_о, то розрахунок вважають закінченим. Якщо ж збігу не досягнуто, треба вибрати нове значення швидкості і розрахунок повторити, що практично є недоліком цього методу.

      Розрахунок  швидкості осідання за методом Стокса. Цей метод є окремим випадком застосовуваності узагальненого рівняння (8). В його основу покладено положення про те, що режим руху тіла в рідині ламінарний, максимальне значення критерію Rе = 2 і коефіцієнт опору середовища у цьому випадку

x =24/ Rе = 24m / w_о d r₂.

      Підставивши цей вираз у формулу (8), після нескладних перетворень дістанемо

w_о = q d_кр²(r₁ - r₂)/ 18m , м/с.                          (13)

      З цієї формули випливає, що в межах  Rе 2 швидкість осідання кулькоподібних завислих частинок пропорційна квадрату їх діаметра, різниці густин частинок і середовища і обернено пропорційна в'язкості середовища.

      Критичний розмір частинок, осідання яких ще відбувається за законом Стокса, визначають так. У ліву частину рівняння (ІЗ) замість  швидкості w_о підставляємо вираз її з критерію Рейнольдса     

Rеm / d_кр r₂  = q d_кр²(r₁ - r₂)/ 18m ,

а тепер  заміст Rе підставляємо його максимальне значення для ламінарного режиму, тобто Rе = 2. Тоді

2m / d_кр r₂  = q d_кр²(r₁ - r₂)/ 18m ,

звідси  критичне значення d_кр визначатиметься виразом

d_кр = =3,29 , м.                           (14)

      У практиці, використовуючи цей метод  розрахунку, роблять так. Знаючи в'язкість  середовища, а також густини частинок і середовища, за рівнянням (14) визначають максимальний розмір частинок, коли ще можливе осідання за методом Стокса. Якщо добуте значення d_кр не перевищує розміру частинок, d, які мають осісти, то швидкість осідання розраховують за формулою Стокса (ІЗ). Треба мати, на увазі, що формула (14) не дає відповіді на запитання про характер руху частинок при d > d_кр. У цьому випадку режим руху частинок в суспензії треба визначати за іншим методом, який викладено нижче. Отже, незручністю розрахунку швидкості осідання за методам Стокса є обмежена застосовуваність рівняння (ІЗ), виражена границями для числа Рейнольда 0 < Rе <2.

      Розрахунок  швидкості осідання за методом Лященка. В основу Цього методу покладено рівняння (6)

pd³ (r₁ - r₂)q/6 = x pd²w_о²r₂/4^.2 ,

      Зробимо такі заміни і перетворення. Безрозмірний комплекс x p /8 позначимо через y; p : 6 = 0,523.  Швидкість осідання виразимо через критерій Rе, тобто

w_о = Rеm / dr₂ = Rеn / d.

Тоді  рівняння (6) перепишеться так:

0,523d³ (r₁ - r₂)q  = Rе²yn²r₂ .

Ці рівняння розв'яжемо відносно Rе²y

Rе²y = 0,523d³ (r₁ - r₂)q  / n²r₂.                           (15)

      Безрозмірний  комплекс фізичних величин правої частини  рівняння (15) названо критерієм Лященка

Ly= Rе²y = 0,523d³ (r₁ - r₂)q  / n²r₂.                    (16)

Отже, можна  записати, що критерій Лященка є  функцією від критерію Рейнольдса

Ly=f(Rе).                                                  (17)

      До  критерію Лященка входять такі величини, як розмір частинок та їх густина, а також в'язкість і густина середовища.

      Порядок розрахунку швидкості, осідання за цим  методом такий:

      а) за формулою (16) обчислюють критерій Лященка;

      б)за величиною Ly на графіку залежності Ly=f(Rе) значення критерію Rе (рис.2);   

         в) знаючи величину критерію Рейнольдса, визначають швидкість осідання    

w_о = Rеm / dr₂ = Rеn / d.                                 (18) 

      У технічних розрахунках метод Лященка набув значного поширення. При цьому треба завжди користуватися графіком функції Ly=f(Rе).       

                                         

 

Рис. 2. Графік залежності Rе²y від Rе. 

Розрахунок  швидкості осідання за функцією критерію Архімеда.

      В основу цього методу розрахунку покладено  рівняння (7). Замінивши в ньому  швидкість w_о через критерій Рейнольдса (18), дістанемо

d³ (r₁ - r₂)q  / 3 = xRе²n²r₂ /4,

або

(¾)xRе² = (d³q/n²) (r₁ - r₂)/ r₂.                                (19)

Права частина цього рівняння —це критерій Архімеда

Ar = (d³q/n²) (r₁ - r₂)/ r₂.                                (20)

Тоді  рівняння (19) можна виразити в вигляді

Ar =(¾)xRе².                                              (21)

      Обчислимо критичні значення критерію Архімеда для трьох граничних величин критерію Рейнольдса, що відповідає трьом режимам руху тіла у в'язкому середовищі.

      Для умов осідання в межах підлягання закону Стокса, тобто при Rе 2, коефіцієнт опору x = 24/ Rе і критичне значення критичне значення критерію Архімеда дорівнюватиме.

Ar_кр = (¾)xRе² = Rе² (¾)24/Rе = 18 Rе,