Методика расчета неопределенности измерения удельного сопротивления грунта по ГОСТ 9.602-2005

X₁=(Z₁, Z₂, …, Z_l), X₂=𝑓(W₁, W₂, …, W_k) и т.д.                              (2.2)

Описание измеряемой величины в виде функциональной зависимости (математической модели),связывающей измеряемую величину с параметрами, от которых она зависит, называется моделированием.

Стадия моделирования  является чрезвычайно важной ,так  как от правильности и тщательности составления модели измерения, которая  определяется необходимой точностью, зависит количество источников неопределенности.

С целью обобщения  источников неопределенности измеряемую (выходную) величину и выявленные источники  неопределенности: входные величины и величины, на них влияющие, - целесообразно  представить на диаграмме «причина-следствие». Она представлена на рисунке 2.1

Рисунок 2.1 – Диаграмма «Причина-следствие»

2. Оценивание значений и стандартных неопределенностей входных величин.

Следующим этапом после  выявления источников неопределенности является количественное описание неопределенностей. Возникающих от этих источников. Это может быть сделано двумя путями:

- оценивание неопределенности, возникающей от каждого отдельного  источника с последующим суммированием  составляющих;

- непосредственным определением суммарного вклада в неопределенность от некоторых или всех источников с использованием данных об эффективности метода в целом.

Показатели эффективности  метода устанавливают в процессе его разработки и межлабораторных  или внутрилабораторных исследований. К показателям эффективности относятся правильность, характеризуемая смещением, и прецизионность, характеризуемая повторяемостью, воспроизводимостью и промежуточной прецизионностью.

Оценки эффективности  могут включать не все факторы, поэтому  влияние любых оставшихся следует оценить отдельно и затем просуммировать.

Для каждой входной величины необходимо определить оценку и стандартную  неопределенность. При этом все входные  величины вследствие того, что их значения не могут быть точно известны, являются случайными непрерывными. Тогда оценками входных величин (х₁, х₂,…, х_N), обозначаемых малыми буквами, являются их математические ожидания, а стандартными неопределенностями u(х_i) входных величин - стандартные отклонения. Оценку входных величин х_i и связанную с ней стандартную неопределенность получают из закона распределения вероятностей входной величины.

Оценивание неопределенности от каждого источника возможно двумя способами: по типу А (путем статистического анализа ряда наблюдений) и по типу В (иным способом, чем статистический анализ ряда наблюдений).

Исходными данными для  оценивания стандартной неопределенности по типу А являются результаты многократных измерений х_il,…,х_in; i=1,…, n. На основании полученных результатов рассчитывается среднее арифметическое - по формуле (2.3), которое является оценкой входной величины X_i,

                  

                                                    (2.3)

Стандартная неопределенность, связанная с оценкой , является экспериментальным стандартным отклонением среднего значения и равна положительному квадратному корню из экспериментальной дисперсии среднего значения.

Стандартная неопределенность u(х_i) вычисляется по формуле

                            (2.4)

для результата измерения х_i= , вычисленного как среднее арифметическое.

Исходными данными для  оценивания стандартной неопределенности по типу В является следующая априорная информация:

- данные предшествовавших  измерений величин, входящих в  уравнение измерения;

- сведения о виде  распределения вероятностей;

- данные, основанные на  опыте исследователя или общих  знаниях о поведении и свойствах  соответствующих приборов и материалов;

• неопределенности констант и справочных данных;
• данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и др.

Если оценка берется из спецификации изготовителя, свидетельства о поверке, справочника или другого источника, то неопределенность обычно дается как интервал ±а отклонения входной величины от ее оценки. Имеющуюся информацию о величинах необходимо правильно описать с помощью функции распределения вероятностей. Для определения стандартной неопределенности входных величин необходимо воспользоваться законом распределения вероятностей. При этом чаще всего используют прямоугольное (равномерное), треугольное и нормальное (Гаусса) распределения.

Прямоугольное распределение  применяют, когда:

- об измеряемой величине известно только, что ее значение наверняка лежит в определенной области и что каждое значение между границами этой области с одинаковой вероятностью может приниматься в расчет;

- сертификат или другой  документ дает пределы без  определения уровня доверия;

- оценка получена в  форме максимальных значений (±а) с неизвестной формой распределения.

Неопределенность в  этом случае рассчитывается по формуле:

                

                                                        (2.5)

Треугольное распределение  используется если:

• доступная информация относительно значений величины менее ограничена, чем для прямоугольного распределения. Значения возле среднего значения более вероятны, чем у границ;
• оценка получена в форме максимальных значений диапазона (±а), описанного симметричным распределением вероятностей;
• величина является суммой или разностью двух величин, распределение вероятностей значений которых описывается прямоугольным законом с одинаковыми диапазонами.

Расчет при треугольном  распределении проводят по формуле:

                     

                                                      (2.6)

Нормальное распределение  используется когда оценка получена из повторных наблюдений случайно изменяющегося процесса и неопределенность дана в форме:

• стандартного отклонения наблюдений, тогда

 

                              u(x)=S                                                        (2.7)

 

• относительного стандартного отклонения S/x_ср., то

                   

                                                   (2.8)

 

• коэффициента дисперсии CV% без установления вида распределения:

 

                   u(x)=CV%x/100                                                   (2.9)

 

Неопределенность дается в форме 95%-го или другого интервала  доверия Q без указания вида распределения:

                   

(при Р = 0,95).                                       (2.10)

3. Анализ корреляций

Две входные величины могут быть независимы или связаны  между собой (коррелированны). В концепции  неопределенности имеется в виду корреляция «логическая», а не математическая. Например, может существовать значительная корреляция между двумя входными величинами, если при их определении используют один и тот же измерительный прибор, физический эталон или справочные данные, имеющие значительную стандартную неопределенность.

Мерой взаимной корреляции двух случайных величин является ковариация. Если две входные величины Х_i и X_j являются коррелированными, т. е. зависимыми друг от друга, то при оценивании суммарной стандартной неопределенности должна учитываться их ковариация u(х_i,х_j), которая оценивается по следующей формуле:

, при i≠j                           (2.11)

где u(x_i) и u(x_j)- стандартные неопределенности;

r(x_i, x_j ) - коэффициент корреляции.

Для расчета коэффициента корреляции используются согласованные  пары измерений (x_ik , x_jk ), k=1,….,n

      

                                   (2.12)

4. Расчет оценки выходной  величины

Оценка выходной величины y является результатом измерения. Эту оценку получают из уравнения связи, заменяя входные величины Х_i их оценками х_i

                   y = f(x₁, x₂,…,x_N).                                                   (2.13)

5. Расчет стандартной неопределенности выходной величины

Стандартная неопределенность выходной величины Y представляет собой стандартное отклонение оценки выходной величины или результата измерения и характеризует разброс значений, которые могут быть с достаточным основанием приписаны измеряемой величине. Определяется суммированием стандартной неопределенности входных величин и является суммарной, или комбинированной, стандартной неопределенностью, обозначаемой u_c(y).

Применяемый для суммирования метод в терминах концепции неопределенности называется законом распределения неопределенностей, или корнем из суммы квадратов.

В случае некоррелированных  входных величин суммарная стандартная  неопределенность рассчитывается по формуле:

                   

,                                     (2.14)

где - частная производная функции f по аргументу x_i ;

         u(x_i) - стандартная неопределенность, оцененная по типу А или В.

В случае коррелированных  входных величин:

= ,      (2.15)

где u(x_i, x_j)определяется по формуле (2.11).

Частные производные  называются коэффициентом чувствительности и показывают, как выходная величина y изменяется с изменением значения входных оценок x_i : .

С учетом с_i, формулы преобразуются в следующие выражения:

- в случае некоррелированных  входных величин

 

           

,                                      (2.16)

- в случае коррелированных  входных величин

            (2.17)

где r(x_i, x_j)- определяется по формуле (2.12).

Величина u_i(y) (i = 1,2,...,N) является вкладом в стандартную неопределенность, связанную с оценкой выходной величины, которая получается из стандартной неопределенности, связанной с оценкой y входной величины, по следующей формуле:

                 

                                                   (2.18)

Во многих случаях  общие выражения для суммирования неопределенностей сокращаются  до гораздо более простых формул.

Так, если функция модели является суммой или разностью некоррелированных входных величин Х_i, например, у = (x₁ + x₂ +...), то суммарная стандартная неопределенность u_c(y) определяется выражением:

                        

                                 (2.19)

Если функция модели f является произведением или отношением некоррелированных входных величин Х_i, то суммарная стандартная неопределенность u_c(y) определяется из выражения

                

,                                   (2.20)

где u(x_i)/x_i - неопределенности параметров, выраженные в виде относительных стандартных отклонений.

6. Расчет расширенной  неопределенности

Расширенную неопределенность U получают путем умножения стандартной неопределенности выходной величины u_c(y) на коэффициент охвата k: U = k* u_c(y). При выборе значения коэффициента охвата следует учитывать:

- требуемый уровень  достоверности;

- информацию о предполагаемом  распределении; 

- информацию о количестве  наблюдений, использованных для  оценки случайных эффектов.

Коэффициент охвата k при оценивании расширенной неопределенности выбирают в соответствии со следующими рекомендациям [5].

В случаях когда измеряемой величине может приписываться нормальное распределение вероятностей, коэффициент  охвата k определяется как квантиль нормированного нормального распределения при уровне доверия Р (Таблица 2.1).

Таблица 2.1 - Значения коэффициента охвата k при уровне доверия Р

Р,%	68,27	90	95	95,45	99	99.73
k	1	1,645	1,96	2	2,576	3