Фридмановская модель Вселенной

Введение 
 

      Эйнштейновская  модель стационарной Вселенной была опровергнута в работах русского ученого А. Фридмана, который в 1922 г. показал, что искривленное пространство не может быть стационарным: оно должно либо расширяться, либо сжиматься. Возможны три различных модели изменения радиуса кривизны Вселенной, зависящие от средней плотности вещества в ней, причем в двух из них Вселенная бесконечно расширяется, а в третьей – радиус кривизны периодически изменяется (Вселенная пульсирует). 

      Во   фридмановской   модели   Вселенной  все галактики удаляются друг от друга. Это напоминает расползание цветных пятен на поверхности надуваемого воздушного шара. С ростом размеров шара увеличиваются и расстояния между любыми двумя пятнами, но при этом ни одно из пятен нельзя считать центром расширения. Более того, если радиус воздушного шара постоянно растет, то чем дальше друг от друга находятся пятна на его поверхности, тем быстрее они будут удаляться при расширении. Допустим, что радиус воздушного шара удваивается каждую секунду. Тогда два пятна, разделенные первоначально расстоянием в один сантиметр, через секунду окажутся уже на расстоянии двух сантиметров друг от друга (если измерять вдоль поверхности воздушного шара), так что их относительная скорость составит один сантиметр в секунду. С другой стороны, пара пятен, которые были отделены десятью сантиметрами, через секунду после начала расширения разойдутся на двадцать сантиметров, так что их относительная скорость будет десять сантиметров в секунду (рис. 19). Точно так же в модели Фридмана скорость, с которой любые две галактики удаляются друг от друга, пропорциональна расстоянию между ними. Тем самым модель предсказывает, что красное смещение галактики должно быть прямо пропорционально ее удаленности от нас — это та самая зависимость, которую позднее обнаружил Хаббл. Хотя Фридману удалось предложить удачную модель и предвосхитить результаты наблюдений Хаббла, его работа оставалась почти неизвестной на Западе, пока в 1935 г . аналогичная модель не была предложена американским физиком Говардом Робертсоном и британским математиком Артуром Уокером уже по следам открытого Хабблом расширения Вселенной.

Отношение средней  плотности вселенной к критической обозначается .

Существуют три  космологические  модели , зависящие от , по имени их создателя названные  фридмановскими . В этих моделях не учитывается энергия вакуума (космологическая постоянная).  

1. Фридмановская   модель , . Расширение вселенной будет вечным, причём скорости галактик никогда не будут стремиться к нулю. Пространство в такой модели — бесконечное, имеет отрицательную кривизну, описывается геометрией Лобачевского. Через каждую точку такого пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной, сумма углов треугольника меньше 180°, отношение длины окружности к радиусу больше 2π. 
2. Фридмановская   модель , . Расширение вселенной будет вечным, но в бесконечности его скорость будет стремиться к нулю. Пространство в такой модели — бесконечное, плоское, описывается геометрией Евклида. 
3. Фридмановская   модель , . Расширение вселенной сменится сжатием, коллапсом и закончится тем, что вселенная сожмётся в сингулярную точку (Большое сжатие). Пространство в такой модели — конечное, имеет положительную кривизну, по форме представляет собой трёхмерную гиперсферу, описывается сферической геометрией Римана. В таком пространстве нет параллельных прямых, сумма углов треугольника больше 180°, отношение длины окружности к радиусу меньше 2π.

По современным  данным^[1] . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1.История открытия

      Решение Фридмана было опубликовано в авторитетном физическом журнале Zeitschrift für Physik в 1922 и 1924 (для Вселенной с отрицательной кривизной) Решение Фридмана было вначале отрицательно воспринято Эйнштейном (который предполагал стационарность Вселенной и даже ввёл с целью обеспечения стационарности в полевые уравнения общей теории относительности так называемый лямбда-член), однако затем он признал правоту Фридмана. Тем не менее, работы Фридмана (умершего в 1925) остались вначале незамеченными.

      Нестационарность  Вселенной была подтверждена открытием  зависимости красного смещения галактик от расстояния (Эдвин Хаббл, 1929). Независимо от Фридмана, описываемую модель позднее разрабатывали Леметр (1927), Робертсон и Уокер (1935), поэтому решение полевых уравнений Эйнштейна, описывающее однородную изотропную Вселенную с постоянной кривизной, называют моделью Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера. Эйнштейн не раз подтверждал, что начало теории расширяющейся Вселенной положил А. А. Фридман.

      В творчестве А. А. Фридмана работы по теории относительности могли бы на первый взгляд показаться довольно внезапными. Ранее в основном он работал в области теоретической гидромеханики и динамической метеорологии.

      Усвоение  Фридманом общей теории относительности было весьма интенсивным и в высшей степени плодотворным. Совместно с Фредериксом он взялся за капитальный труд «Основы теории относительности», в которой предполагалось изложить «достаточно строго с логической точки зрения» основы тензорного исчисления, многомерной геометрии, электродинамики, специального и общего принципа относительности.

      Книга Фредерикса и Фридмана «Основы теории относительности» — это обстоятельное, подробное изложение теории относительности, основанное на весьма солидном математическом фундаменте геометрии общей линейной связности на многообразии произвольной размерности и теории групп. Исходной для авторов оказывается геометрия пространства-времени.

      В 1923 г. была опубликована популярная книга Фридмана «Мир как пространство и время», посвящённая общей теории относительности и ориентированная на довольно подготовленного читателя. В 1924 г. появилась статья Фридмана, рассматривавшая некоторые вырожденные случаи общей линейной связности, которые, в частности, обобщают перенос Вейля и, как считали авторы, «может быть, найдут применение в физике».

      И, наконец, главным результатом работы Фридмана в области общей теории относительности стала космологическая нестационарная модель, носящая теперь его имя.

      По  свидетельству В. А. Фока, в отношении Фридмана к теории относительности преобладал подход математика: «Фридман не раз говорил, что его дело указывать возможные решения Эйнштейна, а там пусть физики делают с этими решениями, что они хотят»

      Первая  модель расширяющейся Вселенной, согласующейся  с общей теорией относительности  Эйнштейна и наблюдениями Э. Хабблом  красного смещения, была предложена советским физиком и математиком А. А. Фридманом в 1922 г. Согласно фридмановской модели и ее последующим обобщениям, Вселенная одинакова в каждой точке пространства и во всех направлениях. Ясно, что в сравнительно малых объемах космического пространства имеются неоднородности, связанные, например, с существованием Земли и Солнца или с тем фактом, что в направлении центра нашей галактики наблюдается гораздо больше звезд, чем в других направлениях. 
 
Существует три вида обобщенных фридмановских моделей Вселенной. В одной из них галактики удаляются друг от друга достаточно медленно, так что гравитационное притяжение между ними в конце концов должно остановить их разбегание и заставить галактики сжиматься. В другой модели галактики разбегаются настолько быстро, что гравитационные силы никогда не смогут остановить их, и Вселенная будет расширяться бесконечно. Наконец, имеется и третья модель в которой скорость разбегания галактик в точности равна некоторому минимальному критическому значению, которое еще позволяет избежать сжатия Вселенной. В принципе, можно определить, какая из моделей соответствует нашей Вселенной, сравнив наблюдаемую скорость разбегания галактик с современным значением плотности масс во Вселенной. Та масса во Вселенной, которая непосредственно доступна нашим наблюдениям, не сможет остановить ее расширение. Остается открытым вопрос, достаточно ли много во Вселенной «скрытой массы», чтобы когда-нибудь расширение Вселенной прекратилось. Сейчас ученые считают, что верной является первая теория, и расширение Вселенной сменится сжатием. 

      В той фридмановской модели, где  Вселенная со временем начнет сжиматься, пространство конечно, но не имеет границ, как и в эйнштейновской модели. В двух других фридмановских моделях  Вселенная расширяется вечно, в пространство бесконечно.  
 
С другой стороны, время имеет границу (или край). Во всех этих моделях расширение начинается из состояния с бесконечной плотностью, называемого сингулярностью «Большого взрыва». В модели, где расширение сменится сжатием, есть и другая сингулярность, называемая «Большим сжатием»; ею завершается процесс коллапса. 
 
Сингулярности – это такие точки, где кривизна пространства-времени становится бесконечной и сами понятия пространства и времени теряют всякий смысл. 

      2.Фридмановские  модели Вселенной:  геометрия

      Расширение  Вселенной в настоящее время  интерпретируется не как движение галактик в пространстве, а как расширение самого пространства, к которому галактики  как бы "приклеены". Дело в том, что пространство, согласно общей теории относительности А.Эйнштейна (общая теория относительности), это не ничто, лишенное каких-либо качеств; у пространства как такового есть свои свойства. Главное из этих свойств — так называемая кривизна. В космологии используется два понятия: кривизна пространства-времени и кривизна пространства. Согласно общей теории относительности, кривизна пространства-времени обусловлена материей, и радиус кривизны пространства-времени тем больше, чем выше плотность. В отличие от кривизны пространства-времени, кривизна пространства может быть нулевой. По определению, ненулевая кривизна пространства означает, что в нем не выполняются некоторые аксиомы и теоремы евклидовой геометрии. Например, в искривленном пространстве сумма углов треугольника не равна 180°, отношение длины окружности к ее радиусу не равно 2π, сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника не равна квадрату гипотенузы, и т.д. Отклонение свойств пространства от евклидового (плоского) характеризуется величиной, называемой "радиусом кривизны пространства” (R). Чем больше эта величина, тем меньше кривизна, тем ближе свойства пространства к евклидовому, тем менее оно искривлено. Радиус кривизны пространства меняется пропорционально масштабному фактору. Радиус кривизны евклидова пространства формально равен бесконечности.

      Согласно, кривизна пространства обусловлена  наличием материи. Чем больше плотность  материи, тем больше кривизна (т.е. радиус кривизны меньше). Основное утверждение  общей теории относительности можно сформулировать так: материя говорит пространству, как ему искривляться, пространство говорит материи, как ей двигаться. Пространство и материя — это как бы единая субстанция; галактики “прикреплены” к пространству Вселенной, пространство “прикреплено” к галактикам. По этой причине радиус кривизны пространства меняется по такому же закону, как расстояние между галактиками в расширяющейся Вселенной.

      Модели  Фридмана различаются между собой  не только поведением во времени, но и  геометрическими свойствами пространства. Только лишь в модели II (Ω=1) оно "плоское", описывается геометрией Евклида. В модели I пространство Вселенной подчиняется геометрии Лобачевского. Такое пространство называется пространством постоянной отрицательной кривизны. В нем через каждую точку пространства можно провести бесконечное множество прямых, параллельных данной, сумма углов треугольника меньше 180°, отношение длины окружности к радиусу больше 2π. Двумерным аналогом пространства Лобачевского является так называемая псевдосфера — поверхность, каждый элемент которой напоминает по форме седло (рис. 4.4.1, слева). Плоский лист бумаги невозможно расстелить по такой седловидной поверхности без образования многочисленных разрывов. Это связано с тем, что площадь круглого участка псевдосферы больше πR². Аналогично, объем пространства, заключенного внутри шара радиусом r в пространстве Лобачевского, больше объема шара евклидова пространства такого же радиуса.