Фридмановская модель Вселенной

      В модели III (Ω>1) пространство подчиняется сферической геометрии Римана. Оно называется пространством постоянной положительной кривизны. Двумерным аналогом его является сфера (рис. 4.4.1, справа). В пространстве такого типа, по сравнению с пространством Лобачевского, все наоборот: вообще нет параллельных прямых (любые две прямые пересекаются), сумма углов треугольника больше 180°, отношение длины окружности к радиусу меньше 2π. На сфере невозможно равномерно расстелить лист бумаги — неизбежно образуются складки. Это говорит о том, что площадь круга радиуса r на сфере (радиус определяется как длина нити, натянутой по поверхности) меньше площади круга такого же радиуса на плоскости. Значит, объем шара в пространстве постоянной положительной кривизны меньше шарового объема такого же радиуса в евклидовом пространстве.

      У сферы есть одно замечательное свойство — она имеет конечную площадь. Вместе с тем, сфера безгранична, т.е. двигаясь по ней, мы никогда не наткнемся на какую-либо границу, но в конечном итоге придем в ту же точку, из которой вышли, с противоположной стороны (что экспедиция Магеллана доказала в 1522 году экспериментальным путем). Все направления на сфере равноправны, так что можно сказать, что на сфере выполняется космологический принцип. Совершенно аналогично этому, пространство постоянной положительной кривизны имеет конечный объем, оно замкнуто (в отличие от пространства Евклида или Лобачевского, являющихся бесконечными, открытыми). Как и на сфере, в нем выполняется космологический принцип, т.е. оно безгранично. Безгранично, но не бесконечно, — вряд ли можно себе представить что-либо более парадоксальное, но ни логика, ни математика не видят здесь никакого противоречия, что доказывает пример с двумерной сферой.

      Еще один  парадокс. Поскольку в замкнутой Вселенной помещается только конечное (хотя, разумеется, очень большое) количество галактик, можно сосчитать ее полную массу. Эта масса оказывается равной... нулю! Это второе удивительное свойство этой модели. Равенство нулю полной массы Вселенной с плотностью выше критической можно понять с помощью следующего рассуждения. Полная масса любой материальной системы всегда меньше сумм масс составляющей ее частей. Это явление связано с тем, что энергия взаимодействия, связывающего части системы воедино, отрицательна, а масса, согласно знаменитой формуле Эйнштейна E=mc² (где E — энергия, m — масса, c — скорость света) пропорциональна энергии. Разность между массой системы и суммой масс ее частей носит название дефекта массы. Впервые дефект массы был обнаружен в атомных ядрах, где он не превосходит нескольких процентов (но именно благодаря этим процентам в недрах звезд идут термоядерные реакции). Если Вселенная замкнута, то ее дефект массы равен 100%, т.е. энергия гравитационного взаимодействия всех помещающихся в ней тел в точности равна (с обратным знаком) внутренней энергии всего, что находится во Вселенной. 

3. Фридмановские модели Вселенной: динамика

Для того, чтобы  понять, как расширение Вселенной  будет происходить в далеком  будущем, рассмотрим следующий пример. С поверхности планеты радиуса  r и массы M запущена ракета с начальной скоростью v. Притяжение к планете тормозит движение ракеты. Если скорость ракеты меньше скорости убегания (второй космической скорости), равной

 
то в некоторый момент времени  сила тяготения остановит ракету, после чего она начнет движение в обратном направлении (уже с возрастающей скоростью) и в конце концов упадет на планету. Если начальная скорость ракеты больше или равна скорости убегания, то сила тяготения не сможет остановить ракету, и она будет вечно удаляться от планеты. Различие между случаями v=v_уб и v>v_уб заключается в том, что в первом из них скорость ракеты в бесконечности будет стремиться к нулю, тогда как во втором — к некоторой ненулевой величине. Заметим, что чем больше радиус и чем меньше масса планеты, тем легче ракете при данной начальной скорости преодолеть силу притяжения.

Теперь вернемся к примеру с шаровой областью вещества во Вселенной, рассмотренному в предыдущем разделе. Этот шар является типичной областью пространства, и  по его поведению можно судить о поведении Вселенной в целом. Тогда какая-нибудь галактика, находящаяся на границе шара, будет аналогом ракеты, а шар как целое — планеты (напомним, что вещество вне шара не оказывает влияния на движение внутри него). Падению ракеты соответствует сжатие шара, удалению ракеты — его расширение. Представим себе, что в начальный момент времени эта шаровая область расширяется, т.е. галактики, находящиеся на краю шара, удаляются от его центра. Масса всего шара радиуса r есть M=(4/3)πρr³, а скорость удаления галактики определяется по закону Хаббла v=Hr. Подставляя эти величины в формулу (4.2), получаем, что скорости убегания соответствует критическое значения плотности 

       
При постоянной Хаббла H=65 км/(с·Мпк) критическая плотность равна 0.8·10^-29 г/см³. 

      Отношение средней плотности к критической  обозначается Ω. При Ω<1 расширение шара (а стало быть, и всей Вселенной) будет вечным, причем скорости галактик никогда не будут стремиться к нулю (модель I на рис. 4.3.1), при Ω=1 расширение будет вечным, но в бесконечности его скорость будет стремиться к нулю (модель II) и, наконец, при Ω>1 расширение Вселенной неизбежно должно остановиться и смениться сжатием (коллапсом), и через некоторое время Вселенная обратно сожмется в точку (сингулярность) (модель III); это событие обычно называется “Большой Хруст”. По имени их первооткрывателя эти модели носят название моделей Фридмана. 

Необходимо добавить, что модель II — это единственная модель Вселенной, в которой зависимость  масштабного фактора a от времени t можно выразить в элементарных функциях:

 
где t₀ — нынешний момент времени. Все остальные модели для своего полного описания требуют специальных функций. 
 
 
 
 
 
 
 

      Список  используемой литературы: 

1. Антонов В.В. Курс лекций по дисциплине Концепции  современного естествознания
2. Вакс И. Интуитивная модель вселенной