Дерсонвализация в физиотерапии

    div B = 0 – обобщение закона о непрерывности магнитных силовых линий.

    В приведенных уравнениях H – напряженность магнитного поля, D – индукция электрического поля, r - объемная плотность заряда, j – плотность тока проводимости.

    Для решения практических задач уравнения Максвелла должны быть дополнены материальными уравнениями, учитывающими электрические свойства среды взаимодействия: D = ee₀E;  B = mm₀H;  j = sE,

    где e₀ – диэлектрическая постоянная,

    e - относительная диэлектрическая проницаемость среды,

    m₀ – магнитная постоянная,

     m - относительная магнитная проницаемость среды,

    s - удельная проводимость среды.

    Использование уравнений Максвелла позволяет  теоретически находить характеристики полей в любой момент времени  как для любой точки внутри объекта (внутренняя задача электродинамики), так и для любой точки пространства вне его (внешняя задача).

    Для упрощения можно проводить расчеты  в центральной плоскости объекта, чтобы не учитывать эффекты конечной длины. В этом случае задача будет  плоской, и ее решение является уравнение Лапласа.

      Распределение электростатического поля определялось путем решения уравнения Лапласа  при определенных граничных условиях.

                                                                              

3.2 Реализация математической модели

    Реализация  разработанной математической модели проводилась в среде математического  моделирования COMSOL Multiphisics 3.4.

      Основное  уравнение (условие потенциальности)

                                                                                                                                   Используя соотношение divD = r, получаем:

                                          

    Для проводящей среды запишем закон Ома в дифференциальной форме:

                                                           

    Для постоянного тока уравнение непрерывности  выглядит:

      

    Для переменного тока  учитываем скорость убывания заряда:

                                                            

    Аппроксимируем правую часть:

                                                                  

    Итоговое  уравнение:

                                                                              
 

Метод конечных элементов

3.3 Алгоритм метода конечных элементов:

1. Физическая  область задачи делится на подобласти или конечные элементы (КЭ).
2. В пределах каждого КЭ искомое решение приближенно представляют многочленом. Коэффициенты этого многочлена выражают через заранее неизвестные значения искомой функции (в общем случае – и значения ее производных) в определенным образом выбранных точках КЭ, называемых узлами конечного элемента.
3. Объединив отдельные КЭ в сетку, удается выразить искомое решение через неизвестные узловые параметры, которые затем находят, использую интегральную формулировку задачи. 

3.4 Типы конечных элементов

    Конечные  элементы можно разделить на три  группы:

- одномерные;

- двумерные;

- трехмерные.

    Одномерные  КЭ представляют собой отрезок с двумя или более узлами, двумерные могут иметь форму треугольника, четырехугольника и вообще многоугольника с расположением узлов не только в вершинах. Столь же разнообразны по форме и трехмерные КЭ.

    При рассмотрении типов КЭ удобно принять, что в отдельно взятом КЭ надо решить задачу приближенного представления некоторой функции по заданным значениям ее узловых параметров, то есть решить задачу аппроксимации функции в пределах этого КЭ. Если при построении КЭ в качестве узловых параметров используют лишь значения функции (в случае векторной функции – значение ее базисных функций), то КЭ называют логранжевыми, поскольку в этом случае аппроксимация функции в пределах КЭ аналогична ее представлению интерполяционным многочленом Лагранжа.  Если же наряду с этим у узлах КЭ используют и значения производных функций, то КЭ называют эрмитовыми.

    Рассмотрим  более подробно лагражевы КЭ.

    Среди лагранжевых КЭ по виду аппроксимирующих многочленов различают:

     - симплексные, 

     - комплексные, 

     - мультиплексные.

    Интерполяционные  многочлены, используемые в симплексных  КЭ, являются линейными, то есть первой степени, и содержат постоянное слагаемое  и слагаемые, линейно зависящие  от всех координат. Число коэффициентов  в таких многочленах равно  числу узлов симплексного КЭ и на единицу больше числа независимых переменных. Одномерным симплексным КЭ является отрезок с узлами на концах. Двумерным симплексным КЭ будет треугольник (рисунок 3.1.), а трехмерным – тетраэдр, причем узлы этих КЭ совпадают с вершинами треугольника и тетраэдра. Таким образом, d-мерный симплексный КЭ имеет d+1 узлов. Интерполяционные многочлены комплексных и мультиплексных КЭ имеют степень выше первой, то есть являются нелинейными. Число узлов таких КЭ более чем на единицу превышает число независимых переменных. В комплексных КЭ используют полные интерполяционные многочлены степени s≥2, содержащие все возможные слагаемые, у которых сумма степеней не превышает s. Интерполяционные многочлены мультиплексных КЭ не являются полными, а границы таких КЭ совпадают с координатными поверхностями.

    Рассмотрим  для начала симплексные конечные элементы.

    Разобьем  объект на треугольники Лагранжа. Это  наиболее часто применяемые элементы Лагранжа.

    Заметим, что элементы настолько малые, что  будем считать, что функция изменения потенциала будет линейной внутри каждого конкретного элемента.

                

Рисунок 3.1 - Симплексный двумерный конечный элемент 

    Рассмотрим  двумерный симплексный КЭ, так  как одномерный (линейный) не представляет интереса для решения поставленной задачи.

    В двумерном симплексном КЭ D линейная функция формы f(M) координат , точки однозначно определена своими значениями в трех его узлах с номерами l, m ,n при условии, что эти узлы не лежат на одной прямой (в этом случае говорят, что треугольный КЭ невырожденный). Приведем формулу для значения этой функции в точке . 

      , где F>0 – площадь КЭ, а - площади треугольников с вершиной в точке М и основанием, совпадающим со стороной КЭ, противолежащей узлам с номерами l, m ,n соответственно. На рисунке 3.1. выделен один из таких треугольников с площадью . Известно, что , причем элементами первых двух строк квадратной матрицы третьего порядка являются координаты , узлов КЭ в прямоугольной системе координат .

       

    Отметим, что определитель выше указанной  матрицы будет положительным, если КЭ невырожденный и очередность  расположения координат его узлов  в столбцах матрицы А соответствуют  обходу их против хода часовой стрелки, то есть узлы КЭ составляют правую тройку точек. Площади треугольников с вершиной в точке можно вычислить аналогично. Например, , где

      .

    Ясно, что  для любой точки . При совпадении этой точки, например с узлом n имеем и .

    Таким образом, рассматривая отношения площадей в  как функции формы двумерного симплексного КЭ, запишем

      ,       .

    При помощи функций формы можно выразить координаты любой точки . Действительно, полагая а затем , получаем

     

    Наоборот, каждую из функций формы такого КЭ можно выразить через координаты его узлов и координаты точки  . Например, для узла с номером n имеем

     

      Так как узлы с номерами  l и m и точка образуют правую тройку точек, то и , .

    Нужно заметить, что частные производные  функций формы по координатам в пределах двумерного симплексного КЭ сохраняют постоянное значение. Например, и . При вычислении интегралов от произведения натуральных степеней функций формы удобно использовать формулу

      .

    С учетом 0=1(!), сохраняется смысл и при нулевых показателях степени.

    В пределах двух треугольных КЭ с общей  стороной можно точно представить непрерывную кусочно-линейную функцию двух переменных, которая в пределах каждого из этих КЭ имеет постоянный градиент. В самом деле, их общая сторона является одномерным симплексным КЭ, так что значение этой функции в любой точке М такой стороны однозначно определено значениями функции в общих узлах соседних треугольных КЭ, а график такой функции состоит из двух треугольников с общей стороной. Произвольную границу (в том числе с криволинейными участками) плоской области D* можно приближенно заменить ломаной и затем полученный в результате многоугольник  заполнить треугольными КЭ, то есть провести триангуляцию области и получить сетку КЭ. В данном случае такая сетка КЭ будет плоской. Рассматривая попарно соседние КЭ, приходим к выводу, что сетка КЭ позволяет ограниченную функцию , определенную в области D*, приближенно заменить непрерывной кусочно-линейной функцией, принимающей в каждом узле значение, совпадающее со значением в этом узле функции .

    Необходимо  отметить, что функции формы, удовлетворяющие  условию

       

       в сочетании с условием  , называют барицентрическими координатами точки М относительно вершин треугольника. Иногда эти функции формы называют также естественными узловыми координатами  в двумерном симплексном КЭ.

    Однако  линейная аппроксимация функции  в пределах каждого симплексного КЭ может оказаться довольно грубой, особенно в случае больших по абсолютному  значению градиентов этой функции, а  повышение точности потребует использования  сетка КЭ с весьма большим числом симплексных элементов. Общее число КЭ можно уменьшить, если в пределах каждого элемента повысить степень аппроксимирующего многочлена, то есть перейти к комплексным или мультиплексным КЭ. 

    Комплексные конечные элементы

    Одномерный  комплексный лагранжев КЭ – это отрезок с узлами в точках  . В пределах такого КЭ функцию можно аппроксимировать многочленом степени :

      ,  где  - узловые значения этой функции, а

      - интерполяционный многочлен  степени  , который и является функцией формы этого КЭ, соответствующей узлу , так как , и при , а

      .

    Последнее равенство следует из свойства правой части соотношения - точно представлять все многочлены до степени включительно. Функция является многочленом нулевой степени и для нее , .

    Полный многочлен двух переменных, имеющий степень s, включает коэффициентов. Поэтому для построения двумерного комплексного лагранжева КЭ, функции формы которого являются многочленами степени s, необходимо располагать значениями аппроксимируемой функции в узлах. При s=2 имеем N=6. Если выбрать треугольный КЭ, то при его произвольном расположении в плоскости любая из сторон может оказаться параллельной одной из координатных осей, например , то есть быть отрезком прямой . Вдоль этой стороны многочлен будет квадратным трехчленом по , и для однозначного определения его коэффициентов необходимо три узловых значения аппроксимируемой функции. Таким образом, на каждой стороне необходимо иметь по три узла. Эти узлы можно расположить в вершинах и серединах сторон треугольника.