Рисунок 3.2 - Комплексный двумерный конечный элемент 

    Тогда функции формы  , , такого комплексного КЭ удается выразить через три линейные функции формы симплексного КЭ.

    Так, в узле 4 (рисунок 3.2), находящемся в середине стороны треугольника, имеем . Если положить , то такая функция формы будет многочленом второй степени, принимающим значение 1 в «своем» узле и 0 во всех остальных. Функция формы также должна быть произведением двух линейных сомножителей. Если одним из них будет , то произведение обратится в нуль во всех точках стороны, противоположной узлу 1 (в частности, в узлах 2, 3 и 5). Чтобы произведение обращалось в нуль в узлах 4 и 6, оно должно содержать сомножитель . Но произведение в узле 1 равно лишь 1/2, то есть его необходимо нормировать, умножив на два. В итоге получаем . Теперь можно записать ,  ,  и так далее с учетом перестановки нижних индексов, указывающих номера узлов. Необходимо отметить, что сумма всех функций формы , , равна единице [·21].

3.5 Матричная форма представления функции

    Одним из преимуществ метода конечных элементов  при решении задач математической физики является простота и однотипность операций по подготовке задачи к  решению. В значительной мере это преимущество связано с матричной формой представления основных соотношений, используемых в МКЭ.

    Пусть для определенности речь идет о решении  задачи в некоторой области  . Сначала следует выбрать тип используемых конечных элементов и заполнить ими область V так, чтобы они не пересекались и не образовывали пустот, а также достаточно точно представляли границу области, если он имеет криволинейные участки. В результате получим сетку КЭ, занимающую область , в общем случае не совпадающую с , но обычно такую, что .

    Обозначим общее число КЭ через Е. Необходимо установить взаимно однозначное  соответствие между номерами . узлов образованной сетки и номерами узлов каждого отдельного КЭ с номером . Если КЭ выбранного типа имеет внутренние узлы, то для таких узлов установление соответствия происходит независимо от соседних КЭ. В противоположность этому граничные узлы принадлежат одновременно нескольким соседним КЭ, что необходимо учитывать во избежание  пересечения элементов или возникновения пустот между ними. Итогом установления указанного соответствия между глобальной (сквозной) нумерацией узлов сетки и локальной нумерацией узлов КЭ является построение для каждого КЭ с номером  е матрицы размера , элементы которой , если узел N сетки совпадает с узлом n этого КЭ, в противном случае .

    Зависящие в общем случае от времени t узловые значения действительной функции можно представить на сетке КЭ матрицей-столбцом размера , а значения этой функции в узлах КЭ – матрицами-столбцами размера . Если функция является векторной и имеет D координатных действительных функций, то размеры матриц и будут и соответственно.

    Итак, объект будем разбивать на треугольники Лагранжа.

    Вообще  применение треугольных элементов лагранжевого семейства широко распространено. Это объясняется тем, что на треугольники легко можно разделить любую двумерную область. Треугольные элементы могут быть легко сформированы просто выбором достаточного числа узлов (это осуществляется по одной формуле ), обеспечивающих единственное решение для коэффициентов выбранной полиномиальной пробной функции.

    Для КЭ с номером е и числом узлов , занимающего область ,  функции формы , , зависят от координат , , где , точки и образует матрицу-столбец размера . Тогда действительную функцию , , в пределах этого КЭ можно приближенно представить функцией

       ,   .

    Где - матрица столбец размера с элементами равными узловым значениям функции .

    В случае векторной функции  , , имеющей D координатных функций , , получаем

       ,   .

    Здесь - матрица размера с элементами  , , , равными узловым значениям координатных функций, а - матрица-столбец размера , элементами которой являются координатные функции векторной функции ,   , приближенно описывающей в этом КЭ векторное поле, задаваемое функцией . Таким образом, как действительную, так и векторную функцию КЭ можно приближенно представить произведением двух матриц. Элементы одной из них являются узловыми значениями этой функции или ее координатных функций (в общем случае зависящих от времени), а элементы другой – функциями формы, зависящими только от координат точки

3.6 Метод конечных элементов применительно к уравнению Лапласа

          Рассмотрим двумерную  задачу распределения электрической  плотности тока через объект квадратного  сечения. Определяющим является уравнение Лапласа:

      

    Последнее уравнение не будет использоваться непосредственно. Вместо него будет  использована эквивалентная вариационная формулировка.

    С помощью вариационного исчисления можно показать, что решение уравнения Лапласа совпадет с функцией, которая минимизирует функционал.

       .

    Где - функция из допустимого множества функций, заданных в D.  Граничные условия будут выполняться автоматически для функции, минимизирующей функционал, как естественное следствие, вариационной формулировки.

    Разобьем  область на E конечных элементов. В рассматриваемом примере в качестве конечного элемента выбран треугольник. Общее число улов обозначим n. Разбиение области и условия непрерывности, накладываемые на пробные функции, позволяют записать функционал в виде:

       , где  - элементарный вклад, определяемый равенством:

      

    Как получить , где - вектор узловых значений, а - матрица базисных  функций, рассмотрено выше. Подставляя все элементарные вклады в уравнение частных производных, получим интеграл, не зависящий от координат. Учитывая, что  , равенство может быть переписано следующим образом

        .

    Такое выражение может быть получено для  каждого элемента. Подставляя все  эти элементные вклады в  , преобразуем функционал в функцию всех узловых значений .

    Т. е. получаем, что .

    Узловые параметры  рассматриваются в качестве переменных, значения которых необходимо определить. Условия минимума могут быть записаны в виде . 

    Или                              

       .

    Очевидно, что при суммировании ненулевой  вклад дают только те элементы, которые  содержат узел р.

    Таким образом, если номера узлов l, n, m элемента имеют  во множестве номеров узлов системы значения p, q, r соответственно, то дифференцирование по приводит к выражению

      

    Объединение компонент элементных уравнений, задаваемое равенством , называется объединением по узлам, так как процесс объединения должен быть выполнен отдельно для каждого узла системы.

    Выше  описанное уравнение – это  частный случай общего элементного  матричного уравнения

         

    Или   ,  где есть элементная матрица жесткости элемента е, а - элементный узловой вектор.

    После определения вкладов  для всех элементов и объединения их получим матричное уравнение системы.

    Итак, матричное уравнение системы  , где

       - узловой вектор системы,  а  - матрица жесткости системы,

    Учет  граничных условий происходит в векторе . 
 
 
 
 
 
 

 

4 Исследование влияния параметров воздействия и анатомических особенностей биологического объекта на характеристики электрического поля

     Дарсонвализация обладает рядом лечебных воздействий, в том числе и болеутоляющим. Эта процедура привлекает возможностью воздействия на информационные регуляторные процессы в организме, которые опосредуются нервной системой, т. к. электрический ток может рассматриваться как физиологически адекватный раздражитель нервных структур. Особенностью такого воздействия является информационная направленность, влияющая на структуры нервной системы, регулирующие основные жизненно важные процессы в организме человека.

     К настоящему времени разработано  значительное количество САПР, позволяющих моделировать электрические поля. Т.к. подобные программные продукты, как правило, обладают развитыми графическими пользовательскими интерфейсами и, соответственно, многократно снижают трудоемкость процедур задания граничных условий и визуализации результатов вычислений, то преимущества от их использования неоспоримы.

      Рассмотрим  реализацию модели в среде COMSOL Multiphysics 3.5. Расчеты проводились в модуле Quasi-Statics, Electric. На боковых границах задавалась плотность тока, равная нулю; на нижней границе задавался потенциал, равный нулю; на электроде задавался электрический потенциал, равный 25кВ, частота 22кГц, 50кГц и 100кГц. Последовательно моделировались следующие слои в биологическом объекте: верхние слои кожи, подкожно-жировая клетчатка, соединительная ткань, мышечная и костная ткани.

    Были  получены следующие результаты (рисунок 4.1): значение электрического потенциала при частоте 100кГц в верхних  слоях биообъекта составляет 2*10⁴ В.

          
 
 

         

Рисунок  4.1 -  Распределение электрического потенциала в биообъекте при воздействии ВЧ электрического поля 

    Распределение потенциала на электроде представлено на рисунке 4.2:

    

Рисунок  4.2 - Распределение электрического потенциала на электроде 
 

    Более наглядно эту зависимость можно  представить на графике (рисунок 4.3)

 

Рисунок  4.3 - График распределение электрического потенциала на электроде в зависимости  от величины радиуса 
 
 

Таблица  4.1 - К графику распределения электрического потенциала на электроде в зависимости  от величины радиуса

 
 

    Рассмотрим, как меняется распределение электрического потенциала на поверхности биообъекта в зависимости от толщины различных  слоев биообъекта и частоты воздействующего  электрического тока. 
 
 
 

Рисунок 4.4 - График распределения электрического потенциала на поверхности биообъекта для различных значений толщины  верхних слоев кожи при частоте  тока 22кГц(V1), 50кГц(V2), 100кГц(V3) 
 
 
 
 
 

Таблица  4.2 - К графику распределения электрического потенциала на поверхности биообъекта для различных значений толщины верхних слоев кожи