Математика Древнего Египта

Содержание 

Введение..................................................................................................................................3

Математика Древнего Египта................................................................................................4

Математические  папирусы....................................................................................................5

Папирус Ринда (Ахмеса)........................................................................................................6

Московский математический папирус..................................................................................7

Задачи папирусов....................................................................................................................7

Заключение..............................................................................................................................9

Список использованной литературы..................................................................................10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Введение

       „Математика ум в порядок приводит”

       М. Ломоносов 

       Математика - (греч. mathematike,  от mathema — знание, наука) – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.  Она объединяет комплекс дисциплин: арифметика (теория чисел), алгебра, геометрия, математический анализ (дифференциальное исчисление и интегральное исчисление), теория множеств, теория вероятностей и многое другое.

       Математика  характеризуется:

       а) высокой степенью абстрактности ее понятий (точки - без размеров, линии - без толщины, множества любых предметов и т.п.);

       б) высокой степенью их общности (например, в алгебре буква обозначает любое  число, в математической логике рассматриваются  произвольные высказывания и т.п.).

       Абстрактность и общность понятий математики позволяют  один и тот же математический аппарат  применять в различных науках.

       История развития математики - это не только история развития математических идей, понятий и направлений, но это  и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью, социально-экономическими условиями различных эпох.

       Становление и развитие математики как науки, возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием  потребностей общества в измерениях, контроле, особенно в областях аграрной, промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием. Изучение звездного неба позволило проложить торговые морские пути, караванные дороги в новые районы и резко увеличить эффект торговли между государствами. Обмен товарами приводил к обмену культурными ценностями, к развитию толерантности как явления, лежащего в основе мирного сосуществования различных рас и народов. Понятие числа всегда сопровождалось и нечисловыми понятиями. Например, один, два, много… Эти нечисловые понятия всегда ограждали сферу математики. Математика придавала законченный вид всем наукам, где она применялась.

       С развитием культуры  появились  простейшие понятия арифметики натуральных  чисел. Постепенно вырабатываются выполнения четырёх арифметических действий (сложение, вычитание, умножение и деление). Появились потребности измерения количества зерна, длины дороги и т. п.

       Таким образом складывается  древнейшая математическая наука — арифметика. Измерение площадей и объёмов вызывают развитие зачатков геометрии.

       Эти процессы шли у многих народов  в значительной мере независимо и  параллельно. Особенное значение для  дальнейшего развития науки имело  накопление арифметических и геометрических знаний в Египте.

       Далее мы рассмотрим, как проходило развитие математики в Древнем Египте и почему возрастала потребность передачи знаний из поколения в поколение. 
 
 
 

       Математика  Древнего Египта 

       Древние египтяне были замечательными математиками и инженерами. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Так же математика применялась для определения количества зерна, необходимого для приготовления заданного числа кружек пива, а также для решения более сложных задач, связанных с различием в сортах зерна; для этих случаев вычислялись переводные коэффициенты.

       Но  главной областью применения математики была астрономия, точнее расчеты, связанные  с календарем. Календарь использовался для определения дат религиозных праздников и предсказания ежегодных разливов Нила. Однако уровень развития астрономии в Древнем Египте намного уступал уровню ее развития в Вавилоне.

       Древнеегипетская  письменность основывалась на иероглифах. Система счисления того периода также уступала вавилонской. Египтяне пользовались непозиционной десятичной системой, в которой числа от 1 до 9 обозначались соответствующим числом вертикальных черточек, а для последовательных степеней числа 10 вводились индивидуальные символы. Последовательно комбинируя эти символы, можно было записать любое число. С появлением папируса возникло, так называемое, иератическое письмо – скоропись, способствовавшее, в свою очередь, появлению новой числовой системы. Для каждого из чисел от 1 до 9 и для каждого из первых девяти кратных чисел 10, 100 и т.д. использовался специальный опознавательный символ. Дроби записывались, в виде числителем, равным единице. С такими дробями египтяне арифметические операции, но процедура таких вычислении оставалась очень громоздкой.

       Геометрия, у египтян, сводилась к вычислениям площадей прямоугольников, треугольников,  трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математику, которую египтяне использовали при строительстве пирамид, была простой и примитивной.

       Площади прямоугольников, треугольников и  трапеций вычислялись по точным правилам, площадь произвольного четырехугольника — по приближенному правилу, как  произведение полусумм пар противоположных сторон а, с и b, d, т. е. S= a+b 2 b+d 2 .  Этот прием распространялся и на треугольники при d = 0. Все такие задачи возникли из практики землемерия. Не было термина «сторона» фигуры и самого термина «фигура» — говорили о поле, об участке с границами или с «шириной» и «длиной».

       При вычислении площади круга египтяне пользовались довольно хорошим приближением, полагая ее равной квадрату со стороной в 8/9 диаметра: S= ( 8 9 d ) 2 .

       Египтяне  вычисляли объемы многих тел: куба, параллелепипеда, призмы, цилиндра — как произведение площади основания на высоту. Следует отметить, что такие расчеты производились в задачах на обмер зерна в амбарах, имеющих эти формы, и главное внимание уделялось переводу мер емкости сыпучих тел в геометрические меры объема и обратно.

       Самым удивительным в геометрии египтян  было правило для определения  объема усеченной пирамиды, которое  можно выразить формулой V=( a 2 +ab+ b 2 ) h 3 ,  где a и b — стороны квадратных оснований пирамиды, h — ее высота.

       Как мы видели, в древнем Египте математика представляла собой совокупность знаний, еще не расчленившуюся на арифметику, алгебру, геометрию и выступающую прежде всего как собрание правил для численного решения простейших арифметических, алгебраических и геометрических задач. Проблемы, стоявшие перед египтянами, были главным образом практические. Но наряду с этим еще в начале II тысячелетия до н. э. шла интенсивная работа творческой мысли, задачи обобщались и начинали принимать более абстрактный характер. При исследовании отдельных проблем вырабатываются приемы геометрических и арифметико-алгебраических преобразований, которые, как и проверка решений, уже предвещали дальнейший рост этих составных частей математической дедукции. Математика древнего Египта оказала несомненное влияние на последующие судьбы науки.

       Задачи  и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без  каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных 
уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, 
которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида. Ни вавилонская, ни 
египетская математики не располагали общими методами; весь свод математических знаний

представлял собой  скопление эмпирических формул и  правил. 
 
 

       Математические папирусы 

       В те времена бумаги еще нигде не было. В Месопотамии писали, например, на табличках из сырой глины, которые  потом обжигали. В некоторых странах  писали на пергаменте. Египтяне же изобрели дешевый и удобный писчий материал, по своим качествам очень близкий к бумаге - листы из папируса, которые можно было склеивать в свитки любой длины. Ученые долгие годы пытались разгадать секрет древних мастеров. Он должен был быть простым, так как папируса требовалось много.

       Папирус раньше обильно рос в болотистых районах Нижнего Египта, где теперь его нет. Он играл в Египте огромную роль: из него изготовляли веревки, корзины, картонаж, плетенки, лодки и т.д., но главная ценность - изготовление материала для письма. Папирус рос очень быстро, давая новые побеги круглый год. По берегам Нила были густые заросли папируса высотой до 2 - 3 метров.

       Собирали  папирус ранним утром, затем отвозили в мастерскую. Привезенные стебли складывали на землю и, прежде чем  палящее солнце успевало подсушить  их, быстро нарезали набольшие куски. Затем мастера специальными ножами осторожно сдирали зеленую кожицу со стеблей, обнажая мягкую белую сердцевину. Теперь сердцевину надо было разрезать вдоль на несколько тонких полосок, но очень точно и осторожно. На ровном специальном столе полоски укладывали в ряд, слегка внахлест, на кусок плотной ткани, тщательно подгоняя друг к другу. Поверх первого ряда, поперек него, клали второй, точно такой же ряд полосок. Все это окрывалось тонкой материей хорошо впитывающей влагу, и в течение часа или двух работники непрерывно колотили по ней деревянными молотками, стараясь ничего не сдвинуть с места. Затем они осторожно клали на ткань легкий пресс и оставляли на несколько часов. За это время сок, выступивший из папируса, крепко склеивал полоски, и они превращались в сплошной лист тонкой белой бумаги. Когда лист просыхал, его аккуратно нарезали на куски и склеивали в полосы разной длины, обычно от метра до двух, но нередко хозяин мастерской получал заказы и на очень большие папирусы – до двадцати метров. Папирус разглаживали круглыми гладкими камнями или лопаточками из слоновой кости, чтобы тростниковое перо могло легко двигаться по нему, сворачивали в трубочки и перевязывали шнурами. На следующий день его везли на продажу.

       Папирус берегли: часто старые записи аккуратно смывались, листок высушивался, и затем опять использовался. Когда листок папируса исписывали до конца, к нему подклеивали другой. Книга получалась все длиннее. Для хранения ее сворачивали в свиток. Некоторые книги получались до сорока метров.

       Источниками для изучения древнеегипетских математических знаний являются два папируса - папирус  Ринд, (Лондон, Британский музей) и Московский математический папирус (Москва, ГМИИ им. А.С.Пушкина). Оба - копии более  ранних текстов: папирус Ринда был переписан в XVIII династию с оригинала эпохи Среднего царства; Московский папирус, датируемый временем правления фараонов XII династии, отражает еще более ранний документ. Эти памятники трудно назвать научными трактатами в нашем понимании данного определения, ибо они не содержат свойственного современным работам осмысления теоретических проблем, таких как анализ или доказательство правильности того или иного решения. Напротив, в них даны условия разнообразных практических задач - измерения площади поля, вместимости амбара, раздел имущества и т.д. (в папирусе Ринда их 80, в Московском - 25).

       Вслед за условием задачи следует алгоритм решения и указан правильный ответ. Можно предположить, что эти папирусы были учебными пособиями по выполнению определенных операций.

       Математические  папирусы показывают высочайшие достижения  Древнего Египта в области математического  знания. Однако они не дают представления  о степени осмысления этого знания самими египтянами – интересовало ли их теоретическое развитие математики или же они заботились только о ее практическом применении? Кроме того, нет неоспоримых доказательств, что пропорции архитектурных сооружений, таких как пирамиды, не были результатом богатого опыта и чутья строителей, а заранее просчитывались. Но одно, несомненно: за тысячу лет до Архимеда и Пифагора египтяне открыли и успешно применяли на практике законы, вошедшие в сокровищницу античной, а затем и мировой математической мысли.

       Таким образом, основные сведения о древнеегипетской математике у нас относятся к  одной эпохе, и мы не можем составить  представление о развитии математики в данной цивилизации на протяжении ее истории. У нас нет почти  никаких известий о математических знаниях Раннего и Древнего царств. Сохранились только числовые записи да рисунки на каменных плитах и стенах, свидетельствующие, что художники умели изображать предметы в уменьшенном масштабе с помощью квадратных сеток. Остается также открытым вопрос, что происходило в области математики в эпоху Нового царства, т.к. никаких математических документов от этих времен не имеется. Не дошли они и от последующих столетий, отмеченных великолепным взлетом литературы и искусств, идеологической борьбой в области религии, прогрессом медицины, дальними морскими и сухопутными экспедициями, а в астрономии — появлением изображений звездных карт на потолках гробниц. Правда, полагают, судя по некоторым отрывкам, что математика мало изменилась с тех пор, как были составлены Московский папирус и папирус Ринда.