Математика Древнего Египта

       Рассмотрим  более подробно 2 папируса, составляющих основу Древнеегипетской математики. 
 
 

     Математический  папирус Ринда (Ахмеса) 

     Математический  папирус Ахмеса (также известен как  папирус Ринда или папирус  Райнда) — древнеегипетское учебное руководство по арифметике и геометрии периода Среднего царства, переписанное ок. 1650 до н. э. писцом по имени Ахмес на свиток папируса длиной 5,25 м. и шириной 33 см.

       Папирус Ахмеса был обнаружен в 1858 и часто  называется папирусом Райнда по имени его первого владельца. В 1870 папирус был расшифрован, переведён и издан. Ныне большая часть рукописи находится в Британском музее в Лондоне, а вторая часть — в Нью-Йорке.

       Папирус Ахмеса включает условия и решения 84 задач прикладного характера и является наиболее полным египетским задачником, дошедшим до наших дней. При решении этих задач производятся действия с дробями, вычисляются площади прямоугольника, треугольника, трапеции и круга, объёмы параллелепипеда, цилиндра, размеры пирамид. Имеются также задачи на пропорциональное деление, а при решении одной задачи находится сумма геометрической прогрессии.

       Установлено, что оригинал, с которого был переписан  папирус Ахмеса, относится ко второй половине XIX века до н. э.; имя его  автора неизвестно. Отдельные исследователи предполагают, что он мог быть составлен на основании ещё более древнего текста III тысячелетия до н. э.

       Во  вступительной части папируса Райнда объясняется, что он посвящён «совершенному  и основательному исследованию всех вещей, пониманию их сущности, познанию их тайн». Все задачи, приведённые в тексте, имеют в той или другой степени практический характер и могли быть применены в строительстве, размежевании земельных наделов и других сферах жизни и производства. По преимуществу это задачи на нахождение площадей треугольника, четырёхугольников и круга, разнообразные действия с целыми числами и аликвотными дробями, пропорциональное деление, нахождение отношений. Для решения многих из них вырабатывались общие правила.

       Вместе  с тем, в папирусе есть целый ряд свидетельств того, что математика в Древнем Египте переросла исключительно практическую стадию и приобрела теоретический характер. Так, египетские математики умели брать корень и возводить в степень, были знакомы с арифметической и геометрической прогрессией (одна из задач папируса Ахмеса сводится к нахождению суммы членов геометрической прогрессии). Множество задач, сводящихся к решению уравнений (в том числе квадратных) с одним неизвестным, связаны употреблением специального иероглифа «куча» (аналога латинского x, традиционно употребляемого в современной алгебре) для обозначения неизвестного, что указывает на оформление зачатков алгебры.

       Папирус Райнда, как и Московский математический папирус, показывает, что древние  египтяне с лёгкостью справлялись с измерением площади треугольника и относительно точно определяли приближение числа  ≈ 3,16 ((16/9)²), тогда как на всём Древнем Ближнем Востоке оно считалось равным трём. Однако папирус свидетельствует и о недостатках египетской математики. Например, площадь произвольного четырёхугольника в них вычисляется перемножением полусумм длин двух пар противоположных сторон, тогда как равенство в таком случае имеет место только в прямоугольнике. Кроме того, обращает на себя внимание и то обстоятельство, что египетский математик пользуется только аликвотными дробями (вида 1/n, где n — натуральное число) и дробью 2/3. В других случаях дробь вида m/n заменялась произведением числа m и аликвотной дроби 1/n, что зачастую усложняло вычисления, хотя в отдельных случаях могло и облегчить их. 
 
 

       Московский  математический папирус  

       Московский  математический папирус («математический  папирус Голенищева») — один из древнейших известных современности математических текстов. Он был составлен около 1850 до н. э., следовательно, превосходит по древности другой знаменитый древнеегипетский текст, посвящённый разрешению математических задач, — Папирус Ринда (или Папирус Ахмеса), написанный ок. 1650 до н. э., то есть Московский примерно на 200 лет его старше.

       Первым  владельцем этого папируса был один из основателей русской египтологии Владимир Семёнович Голенищев. Ныне «папирус Голенищева» находится в Музее изобразительных искусств им. А. С. Пушкина в Москве. Основываясь на способе написания курсивного иератического текста, специалисты предполагают, что он принадлежит ко времени правления XI династии (Аменемхетов-Сенусертов) периода Среднего царства Древнего Египта. Возможно, Московский математический папирус был написан при фараоне Сенусерте III или Аменемхете III.

       Длина Московского математического папируса составляет 5,40 м, а его ширина от 4 до 7 см. Весь текст папируса в 1930 был разбит основателем марксистской школы исследователей Древнего Востока в СССР Василием Васильевичем Струве на 25 задач, к каждой из которых составитель привёл решение. Большинство задач Московского математического папируса посвящены практическим проблемам, связанным с применением геометрии. 
 
 

       Задачи  математических папирусов 

       Среди задач математических папирусов  можно выделить чисто алгебраические (№ 24-28 папируса Ринда и №1,19 и 25 Московского папируса), показывающие, что египтяне могли решать линейные уравнения с одной неизвестной х, называемой «куча» (типа ах + bx+...+cx =d), а также возводить в степень и извлекать корень. 
     Папирус Ринда содержит задачи на вычисление геометрической (№79) и арифметической  прогрессии: «Тебе сказано разделить 10 "хекат" ячменя между 10 людьми так, чтобы разница между каждым человеком и его соседом составляла 1/8 «хекат» ячменя. Средняя доля есть 1/16 «хекат». Возьми 1 из 10, остаток есть 9. Составь половину разницы - это есть 1/16 «хекат». Приложи ее к средней доле. Теперь ты должен высчитать для каждого лица по 1/8 «хекат», пока не достигнешь конца» (Ринд, №64).

       Египтяне  также решали и геометрические задачи - вычисляли площадь треугольника, прямоугольника, круга и даже поверхности шара. Они рассчитали число П - отношение 
длины окружности к диаметру - с точностью до 0,6% (3,16 вместо 3,14).

       Математические  папирусы являются свидетельством знакомства египтян со стереометрией. Описаны способы вычисления объема цилиндра, призмы и пирамиды: «Если тебе называют усеченную пирамиду 6 локтей в высоту, 4 - в нижней стороне, 2 - в верхней, вычисляй с 
четырех. Возводя их в квадрат, получаешь 16. Удвой 4, получишь 8. Сложи 16 с этими 8 и с 
этими 4. Получается 28. Вычисли 1/3 от 6. Получается 2. Вычисли 28 2 раза. Получается 56. 
Смотри! Он есть 56. Ты нашел правильно» (Московский папирус).

       Кроме того, в одной из задач правильно  вычисляется объем усечённой  пирамиды с квадратным основанием. В другой задаче содержится самый ранний в математике пример определения площади кривой поверхности: вычисляется боковая поверхность корзины, т.е. полуцилиндра, высота которого равна диаметру основания.

       При изучении содержания математических папирусов  обнаруживается следующий уровень математических знаний древних египтян.

       Ко  времени написания этих документов уже сложилась определённая система  счисления:  
десятичная иероглифическая. Алгоритмические числа записывались комбинациями узловых 
чисел. С помощью этой системы египтяне справлялись со всеми вычислениями в которых 
употребляются целые числа. Что касается дробей, то египтяне создали специальный аппарат 
опиравшийся на понимание дроби только как доли единицы.

       Сложились также определённые приёмы производства математических операций с целыми числами и дробями. Общей для всей вычислительной техники египтян является её аддитивный характер, при котором все процедуры по возможности сводятся к сложению.

       При умножении, например, преимущественно  используется способ постепенного удвоения одного из сомножителей и складывания подходящих частных произведений.

       При делении также используется процедура  удвоения и последовательного деления  пополам Деление, по-видимому, было самой трудной математической операцией для египтян. Здесь наблюдается самое большое разнообразие приёмов. Так, иногда в качестве промежуточного действия применялось нахождение двух третей или одной десятой доли числа и т.п.

       При сложении дробей, имеющих разные знаменатели, египтяне использовали умножение их на вспомогательные числа. Способы подбора этих вспомогательных чисел не дают, однако, права судить об этом приёме как о единообразном процессе, адекватном способу приведения дробей к общему знаменателю. Исторические реконструкции во многом ещё спорны и не подтверждены достаточным количеством фактов.

       Материалы, содержащиеся в папирусах, позволяют  утверждать, что за 20 веков до нашей  эры в Египте начали складываться элементы математики как науки. Эти  элементы ещё только начинают выделяться из практических задач, целиком подчинены их содержанию. Техника вычислений ещё примитивна, методы решения задач не единообразны. Однако материалов, которые позволяли бы судить о развитии математики в Египте, ещё недостаточно.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 Заключение

       Практические задачи измерения земельных участков после разлива Нила, учета и распределения собранного урожая, сложных расчетов при строительстве храмов, гробниц и дворцов способствовали успехам математики. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов и объемы зернохранилищ, размеры податей и количество камней, требуемое для возведения тех или иных сооружений. Наше знание древнеегипетской математики основано главным образом на двух папирусах, датируемых примерно 1700 до н.э. Излагаемые в этих папирусах математические сведения восходят к еще более раннему периоду – ок. 3500 до н.э. – это папирус Ринда, содержащий 84 задачи и Московский математический папирус, содержащий 25 задач. Задачи и решения, приведенные в папирусах, сформулированы чисто рецептурно, без каких бы то ни было объяснений. Египтяне имели дело только с простейшими типами квадратных уравнений и арифметической и геометрической прогрессиями, а потому и те общие правила, которые они смогли вывести, были также самого простейшего вида.

       Геометрия у египтян сводилась к вычислениям  площадей прямоугольников, треугольников, трапеций, круга, а также формулам вычисления объемов некоторых тел. Надо сказать, что математика, которую  египтяне использовали при строительстве  пирамид, была простой и примитивной.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

       Список  использованной литературы 

1. Бобынин В.В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М., 1882.
2. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука: Математика древнего Египта, Вавилона и Греции. М.: Физматгиз, 1959. (Репринт: М.: УРСС, 2007)
3. Виленкин Н. Я. О вычислении объёма усечённой пирамиды в Древнем Египте. Историко-математические исследования, вып. 28, 1985.
4. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в Древнем мире. М.: Наука, 1967.
5. Ж. Дьёдонне. Современное развитие математики // сборник переводов «Математика», 1966, т. 10, № 3, с. 3–11.
6. Раик А.Е. Очерки по истории математики в древности. Саранск, Мордовское гос. изд-во, 1977.
7. Рыбников К.А.. История математики. М.: Наука, 1994.
8. Самарский А.А.. Математическое моделирование. М.: Наука, 1986.
9. Столл Р.Р.. Множество, Логика, Аксиоматическая теория. М.: Просвещение, 1968.
10. Стройк Д.Я.. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, Физматлит, 1990.
11. С. Улам. Беспорядочные размышления о математике и науке // глава из книги «Приключения математика» (Ижевск, РХД, 2001).
12. Юшкевич А.П.. Математика в ее истории. М.: Наука, 1996.