Возможности применения операции дисконтирования

    С учетом (5.11) для операций с продолжительностью менее года соотношения эквивалентности  примут следующий вид:

    а) временная база ставок одинакова  и равна В (360 или 365 дней)

    

 
 
 
 
 
 
 

б) временная  база ставки г равна 365 дням, a d — 360 дням. 

                                                                                                     (5.14) 
 
 

     В практике финансового управления более  важную роль играют сложные проценты, которым в дальнейшем и будет  уделено основное внимание.

     2. Сложные проценты широко применяются в финансовых операциях, срок проведения которых превышает один год. Вместе с тем они могут использоваться и в краткосрочных финансовых операциях, если это предусмотрено условиями сделки либо вызвано объективной необходимостью (например, высоким уровнем инфляции, риска и т.д.). При этом база для исчисления процентов за период включает в себя как исходную сумму сделки, так и сумму уже накопленных к этому времени процентов.

     □ Рассмотрим наращение по сложным процентам на следующем примере.

     Пример 6. Сумма в 100 ден. ед. помещена в банк на депозит сроком на 3 года. Ставка по депозиту — 8% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет сумма депозита в конце срока?

     По  условиям операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV- 100,00, процентная ставка r= 8% и срок n = 3 года.

     Решение. Определим будущую сумму вклада на конец первого периода:

     

     Соответственно  для второго периода сумма FV будет равна

     

 

     Для последнего периода (п = 3):

     

     Схема наращения по методу сложных процентов  для данного примера показана на рис. 5.3.

     

 

Рис. 5.3. Схема  наращения по сложным процентам

    Как следует из рис. 5.3, наращение по сложным процентам подразумевает реинвестирование полученных доходов. Процесс реинвестирования полученных доходов получил название капитализации.

    Общее соотношение для определения  будущей суммы имеет следующий  вид:

            FV_n = PV(1 + r)ⁿ.                            (5.16)

    Сумма FV существенно зависит от r и п. Например, будущая сумма всего 1,00 ед. при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174 313,45!

    На  рис. 5.4 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 ед. при различных ставках  сложных процентов.

Рис. 5.4. Рост суммы  в 1,00 ед. при разных ставках сложных  процентов 

      На практике в зависимости  от условий финансовой сделки  проценты могут начисляться несколько  раз в году, например ежемесячно, ежеквартально и т. д. В этом случае соотношение (5.16) для исчисления будущей стоимостибудет иметь следующий вид:

 
 
 

где m – число периодов начисления в году.

     Допустим, что в предыдущем примере проценты выплачиваются ежеквартально (m = 4). Определим FV3.

 
 

        Часто возникает необходимость сравнения условий финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту по формуле

 
 

где r — номинальная ставка; m число периодов начисления.

     Полученную  при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate, EPR), или ставкой сравнения¹.

     Пример 7. На годовой депозит  в 10 000,00 ед. ежеквартально  начисляются сложные проценты по ставке 2,5% (т.е. из расчета 10% годовых). Будет ли эквивалентной инвестицией депозит в 10 000,00 ед., вложенный на тот же срок под 10%, начисляемых раз в году?

     

     Р е ш е н и с. Рассчитаем эффективную ставку для обеих операций: 

     Таким образом, условия  помещения суммы  в 10 000,00 ед. на депозит  сроком на 1 год под 10% годовых, начисляемых ежеквартально, будут эквивалентными годовой ставке, равной 10,3813%. Следовательно, первая операция более выгодна для инвестора.

     В свою очередь, если известна сумма ЕРR, номинальная ставка процентов r может быть определена так:

     

 
 

     □ Дисконтирование  по сложным процентам. Формулу для определения современной суммы по сложным процентам можно легко вывести из соотношения (5.16) делением его обеих частей на (1+r)ⁿ. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим

     

 
 
 

Пример 8. Выплаченная по 3-летнему депозиту сумма составила 100 ден. ед. Определить первоначальную сумму вклада, если ставка по депозиту равна 8% годовых. 
 
 

На рис. 5.5 приведена  схема процесса дисконтирования  по сложным процентам для рассматриваемого примера.

Рис. 5.5. Схема дисконтирования по сложным  процентам

    Р е ш е н и е. 

    На рис. 5.6 приведена диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 ед. при различных ставках сложных процентов.

Рис. 5.6. Дисконтирование суммы в 1,00 ед. при  различных процентных ставках

Как и  следовало ожидать, сумма PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная — чем больше r и n, тем меньше текущая (современная) сумма.

    Если  начисление процентов осуществляется m раз в году, соотношение (5.20) будет иметь следующий вид:

    

 
 
 

    □ Исчисление процентной ставки и продолжительности  операции. Формулы для определения величин r и n могут быть получены из (5.16) и (5.20).

    При известных величинах FV, PV и п процентную ставку можно определить по формуле

    

 
 
 

    Пример 9. Сумма в 10 000,00 ед. помещенная в банк на 4 года, составила 14 641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).

    Решение.

    

 
 

    Длительность  операции определяется логарифмированием:

    

 
 
 

    Пример 10, Сумма в 10 000,00 ед., помещенная в  банк под 10% годовых, составила 14 641,00. Определить срок проведения операции.

    Решение.

    

 
 

    3. Непрерывные проценты используются в случаях, когда вычисления необходимо проводить за бесконечно малые промежутки времени. Они играют ключевую роль в ряде финансовых моделей, например в известной модели оценки опционов Блэка- Шоулза.

Проведем  анализ роста коэффициента наращения  в формуле (5.17) исходя из допущения  о возможности ежедневного, ежечасного, ежеминутного и даже ежесекундного начисления процентов, например по ставке 10%.

  Обозначим множитель наращения через g, тогда v =[1+(1/m)] • т. Результаты соответствующих расчетов приведены в табл. 5.1.

    

    С переходом от ежедневного к ежечасному начислению процентов (т.е. при увеличении т в 24 раза) значение v увеличилось всего в 1,00131, или на 0,13%; с переходом от ежечасного к ежеминутному начислению (при увеличении т в 60 раз) рост v составил около 1,00006, или 0,006%. Разницу между ежеминутным и ежесекундным начислением можно заметить только в шестом знаке после запятой.

    Таким образом, при бесконечном росте  m величина g стремится к константе 2,7182818..., известной в математике как число е.

Тогда будущая стоимость денег при  непрерывном начислении будет равна

 
 

где с — экспоненциальная константа (2,71828...).

    Соответственно  современная стоимость денег  при непрерывном начислении процентов  составит:

    

 
 

    □ Эквивалентность  сложных и непрерывных  ставок. Ставка непрерывных процентов r_с может быть приведена к ставке сложных процентов r_d и обратно. Соотношения эквивалентности имеют следующий вид:

     

 
 
 
 

    В дальнейшем по ходу изложения материала  данной главы будут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых служит базой для количественного анализа долгосрочных операций.

    Рассмотренные методы наращения и дисконтирования  играют важную роль в финансовом менеджменте, так как являются инструментарием для оценки потоков платежей.