Теоретические и визуальные экспериментальные исследования изменения контраста в изображении колеблющихся парных штрихов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ И ВИЗУАЛЬНЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ  ИССЛЕДОВАНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ  КОНТРАСТА В ИЗОБРАЖЕНИИ  колеблющихся парных ШТРИХОВ

 

Пронин С.П., Юденков А.В., Зрюмов П.А., Кононов С.В.,

Фадеев А.А., Карташова И.Н., Силаева О.Е.

Алтайский государственный  технический университет им. И.И. Ползунова

г. Барнаул 
 

   Одной из актуальных задач современной  измерительной техники является определение параметров колебательного процесса. Оптические методы в решении этой задачи занимают ведущую позицию. Для измерения, например, размаха колебаний используют тест-объекты в виде различных парных геометрических фигур: два круга, две параллельные линии, две пересекающиеся линии [1,2]. При определенных соотношениях геометрических размеров этих фигур и размаха колебаний визуально наблюдают устойчивое изображение третьей фигуры. Важно при этом, чтобы частота колебаний превышала 8 Гц. По указанному признаку определяют размах колебаний. В монографии [3] приведены изображения колеблющихся с частотой 7 Гц прямоугольных штрихов с различными пространственными частотами, получаемых на экране монитора персонального компьютера с помощью  видеокамеры. На изображении штрихов можно выделить положительный, нулевой и отрицательный контрасты.

   Однако, на сегодняшний день не существует теории и выполненных экспериментов по исследованию изменения контраста в колеблющихся штрихах при визуальном их наблюдении.

   Цель  работы – создать математическую модель колеблющихся штрихов с различными пространственными частотами и сравнить ее результаты с визуальным восприятием изменения контраста в изображении этих штрихов.

   Отвлечемся  от физиологии зрения и будем в качестве модели рассматривать техническую систему.

   Пусть одномерный объект в виде парных штрихов  совершает гармонические колебания ортогонально оптической оси объектива с размахом R, как показано на рис.1.

   В плоскости изображения объектива  мысленно установим фотопленку и будем фиксировать изображение штрихов в течении времени экспозиции t_экс, равном периоду колебаний Т_кол. За время экспозиции штрихи проходят расстояние 2R. За основу модели изображения штрихов g(y), которое получается на фотопленке за время экспозиции, примем уравнение Фредгольма первого рода с ядром типа свертки [4 - 5]:

,   (1)

где h(y) – функция рассеяния линии объектива; (*) – знак операции свертки. Функцию rect (y/2R) называют прямоугольной характеристикой сдвига [5], функцией рассеяния [6]. В любом случае – это функция прямоугольного импульса шириной 2R. 

   Т_кол – период пространственных

   колебаний; R – размах колебаний; а – ширина штриха; А = 2а – расстояние между центрами штрихов

   Рисунок 1 – Пространственно-временное представление движения пары штрихов: 

   Штрихи  имеют одинаковые размеры по а мм и расстояние между их центрами А мм, при этом А=2а. По определению [7] пространственная частота штрихов составляет ν=1/А мм^-1. Модель светлых штрихов на темном фоне можно представить в виде [8]:

,  (2)

где функция  rect(y/a) – функция прямоугольного импульса шириной а;

δ(y-A/2) и δ(y+A/2) – дельта функции, отстоящие друг от друга на расстоянии А.

   Примем  условие, что используется идеальный объектив, у которого функция рассеяния h(y) равна δ-функци: h(y)=δ(y). Тогда уравнение (1) преобразуется к виду: 

, (3)

   Этому уравнению, согласно правилам математических преобразований [5,8,9], в частотной области соответствует уравнение:

G(ν) = cos(πAν)×sinc(πaν)× sinc(π2Rν), (4)

где G(ν) – спектр изображения подвижных штрихов, зафиксированных на фотопленке; cos(πAν)×sinc(πaν) − спектр неподвижного изображения штрихов. В уравнении (4) опущен несущественный для дальнейшего анализа множитель 2aR. Функция

sinc(π2Rν) =  (5)

у разных авторов  имеет разные названия: прямоугольная характеристика сдвига [5], передаточная функция [4], частотно-контрастная характеристика (ЧКХ) [10]. Последнее определение, на наш взгляд, является предпочтительным, так как она определяет контраст в изображении парных штрихов с различными пространственными частотами. Поскольку фиксация изображения производится при времени равном периоду колебаний, то назовем эту характеристику ЧКХ стробоскопического эффекта. Предлагаемое определение становится очень актуальным при регистрации изображения колеблющихся штрихов видеокамерой, кадровая частота которой равна частоте колебаний штрихов.

   Под контрастом К в изображении штрихов будем использовать известное соотношение яркостей [9]:

,   (6)

с той лишь разницей, что вместо максимальной и минимальной значениями яркостей будем фиксировать значение яркости L₀ между светлыми штрихами и значение яркости L_ш на одном из штрихов. Фиксация яркостей в изображении позволяет согласовать изменения контраста, вычисленного по формулам (5) и (6). Разница состоит в том, формула (5) оценивает изменение контраста в частотной области, а формула (6) – в пространственной. При условии разрешения штрихов, когда яркость L_ш больше яркости L₀, контраст больше нуля: К>0. При условии равенства яркостей L_ш=L₀ получаем нулевой контраст: К=0. При условии L_ш<L₀, возникает отрицательный контраст: К<0. 

   В неподвижном изображении, когда  R= 0, ЧКХ (5) приобретает значение единицы. Согласно Фурье-преобразованию, единица переходит в δ-функцию, поэтому свертка изображения с δ-функцией в формуле (3) дает вполне закономерный результат в виде идеального изображения штрихов (2), как показано на рис. 2,а. Получили тривиальный вывод. При отсутствии колебаний штрихов, при любых их размерах контраст в изображении, согласно формуле (6), всегда равен единице.   

Рисунок 2 – Графическое представление изменения контраста К в изображении штрихов в зависимости от соотношения размаха колебаний R и размера штрихов а 

   Рассмотрим  изменение контраста в штрихах  при различных соотношениях размаха и размера штриха а. ЧКХ стробоскопического эффекта (5) переходит через первое нулевое значение на пространственной частоте ν=1/2R. Зададим условие R=а, то есть размах колебания равен ширине штриха. В этом случае частота перехода ЧКХ через нуль и частота штрихов совпадают:

.  (7)

   Подставим значение R = a в уравнение (4):

G(ν) = cos(πAν)×sinc(πaν)× sinc(π2аν), (8)

сгруппируем первый и третий сомножители и свернем их по тригонометрической формуле: 2cos(2x)sin2x=sin4x. В результате получим спектр изображения штрихов:

G(ν) = sinc(π4aν)× sinc(πаν),  (9)

   Функция (9) в пространственной области представляет трапецию [Гребенников], которая и на штрихах и между штрихами имеет одинаковые яркости, поэтому контраст в изображении равен нулю: К=0. Результат вычислений изображен на рис. 2,в.

   Таким образом, если пространственная частота парных штрихов с коэффициентом заполнения 0,5 совпадает с частотой перехода через нуль ЧКХ стробоскопического эффекта (5), то в данных штрихах будет нулевой контраст. Эффект нулевого контраста возникает при равенстве размаха колебаний ширине штриха или половине пространственного периода штрихов: R=a=A/2.

   При пространственной частоте штрихов меньшей, чем частота перехода через нуль ЧКХ стробоскопического эффекта (5), в штрихах должен наблюдаться положительный контраст. Меньшей пространственной частоте соответствуют большие размеры штрихов. Зададим условие R=a/2, то есть для другой пары штрихов размах колебания равен половине ширины штриха. Подставим значение R в уравнение (4). В результате получим спектр изображения:

G(ν) = cos(πAν)×sinc²(πаν),  (10)

   В пространственной области функция (10) представляет два треугольных  импульса шириной 2а, отстоящих друг от друга на расстоянии А (см. рис.2,б). Поскольку яркости на штрихах больше яркости между штрихами, то контраст в изображении принимает положительное значение: К>0.

   Таким образом, если пространственная частота  парных штрихов меньше частоты перехода через нуль ЧКХ стробоскопического эффекта, то в штрихах наблюдается положительный контраст. Этот вывод справедлив для частотной области. В пространственной области положительный контраст, или разрешение в штрихах возникает при условии, когда размах колебания меньше ширины штрихов.

   Зададим пространственную частоту штрихов, превышающую частоту перехода через  нуль ЧКХ стробоскопического эффекта. Пусть R=3a/2, то есть для третьей пары штрихов размах колебания равен полуторному размеру штриха. Уравнение (4) приобретает вид:

G(ν) = cos(πAν)×sinc(πaν)× sinc(π3аν), (11) 

   Два последних сомножителя в пространственной области представляют трапецеидальную функцию с верхним основанием 2а и нижним основанием 4а [5]. На рис. 2,г левый ее контур совпадает с общей функцией, а правый выделен пунктирной линией. Поскольку в научно-технической литературе отсутствует компактная математическая запись трапецеидальной функции, то, основываясь на известных математических представлениях [5,11], запишем ее посредством обратного Фурье-преобразования следующим образом:

Á ^-1{sinc sinc }=

Á ^-1{sinc sinc }=

=ТРАП (у,2а,4а),  (12)

где Á ^-1 - операция обратного Фурье-преобразования; ТРАП (у,2а,4а) – функция, имеющая контур трапеции по оси у, симметричная относительно начала координат с верхним и нижним основаниями 2а и 4а соответственно.

   Тогда в пространственной области (11) преобразуется к виду [5,11]:

. (13)

   Свертка трапецеидальной функции с двумя  δ-функциями дает две трапецеидальные функции, сдвинутых относительно друг друга на расстояние А=2а:

.(14)

   Графическое изображение суммы двух трапецеидальных функций представлено на рис. 2,г. Как видно из рисунка, яркость между штрихами приобретает большее значение, чем на самих штрихах, поэтому контраст становится отрицательным: К<0. Таким образом, если пространственная частота парных штрихов превышает частоту перехода через нуль ЧКХ стробоскопического эффекта (5), то в изображении возникает отрицательный контраст. В пространственной области значение размаха колебания, в этом случае, превышает размер штриха.

   Таким образом, изменение контраста определяет ЧКХ (5), которая указывает о наличии в изображении и положительного контраста (при положительных значениях ЧКХ стробоскопического эффекта), и нулевого контраста (при переходе ЧКХ через нуль), и отрицательного контраста (при отрицательных значениях ЧКХ).

   Для проверки теории была собрана экспериментальная установка, которая включала в себя динамик, пирамидальную штриховую миру [12] и низкочастотный генератор гармонических колебаний. Генератором задавали частоту колебаний диффузора динамика 25 Гц, которая соответствует кадровой частоте телевизионного стандарта CCIR/PAL. Пирамидальная штриховая мира изображена на рисунке.3. 

Рисунок 3 – Пирамидальная штриховая мира 

   Она состоит из двух фрагментов. Оба фрагмента выполнены в программе Paint. Верхний фрагмент содержит нечетное количество пикселей, а нижний – четное. Такая организация позволяет получить плавное изменение размеров штрихов и сохранить общую ось симметрии между штрихами в каждом фрагменте