Федеральное агентство связи 

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики 

Межрегиональный центр переподготовки специалистов 
 
 
 
 
 
 
 
 

Контрольная работа

По  дисциплине: экономико-математические методы и модели

                                    
 
 
 
 

                                      Выполнил: Лагутин М. Е.

                                      Группа: ЭДВ-04

                                      Вариант: 8

                                            
 

                                      Проверил: ___________________ 
 
 
 
 
 
 
 
 

Новосибирск, 2011 г

 

Задача 1.

На территории города имеется три телефонных станции  А, Б и В. Незадействованные емкости  станций составляют на станции А – 1000 номеров, Б – 400 номеров, В – 500 номеров. Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1 - 700, 2 - 600, 3 - 200, 4 - 400 номеров.

Необходимо  составить экономико-математическую модель задачи и с помощью распределительного или модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения емкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети.

Выполнение.

Среднее расстояние от телефонных станций до новых районов приведено в  таблице:

Проверим  соотношения между суммарной  возможностью поставщиков и суммарным  спросом потребителей:

, или 1000+400+500 ? 700+600+200+400

1900=1900

Возможность равна требованиям поставщиков

Суммарную протяженность вновь построенных  линий определим как количество подключенных абонентов умноженное на расстояния от станций до районов. Данная протяженность должна быть минимальной.

Построим  матрицу

 Характеристикой в данном случае является расстояние. Остаток емкости приведен справочно.

В клетке А1 спрос удовлетворяется полностью. В клетке А2 также есть возможность полного удовлетворения спроса. Аналогично и в клетках А3 и А4. Станция А может удовлетворить запросы любого района.

Станция Б не может полностью удовлетворить  потребность абонентов районов 1 и 2. В каждом из этих районов может  быть подключено не более 400 абонентов, расстояния для линий которых и проставлены в соответствующие клетки.

Аналогично  со станцией В.

Используем  метод наименьшего элемента в  столбце.

В столбце 1 наименьшим элементом является Б, однако потребность еще не удовлетворена. Следующим будет элемент А. Таком образом для района 1:

400 абонентов  станции Б, 300 абонентов станции  А. Остаток станции А 700 абонентов.

Столбец 2. Поскольку станция Б исчерпала  номерную емкость на предыдущем шаге - абоненты будут подключены со станции А. Остаток станции А равен 100 номерам.

Столбец 3. Станция В полностью перекрывает  потребность района, являясь еще  и наиболее оптимальной (станция  Б исчерпана). Остаток станции  А равен 100 абонентам, станции Б 300 абонентам.

Столбец 4. Остаток будет подключен на остатки станций А и Б.

Итоговая  матрица:

Это и  будет исходным планом.

Суммарная протяженность линий в данном плане: 300*4+600*5+100*4 +400*3+200*1+300*2=6300км.

Применим  модифицированный распределительный  метод.

Проставим в клетках опорного плана дополнительную строку и дополнительный столбец.

     Первый  этап расчетов заключается в определении  значений клеток, образующих дополнительную строку и дополнительный столбец. Во всех случаях верхняя клетка дополнительного  столбца (строка А) получает значение 0. Этот 0 будет фигурировать в процессе всего решения.

     Рассчитаем  значения других дополнительных клеток. Если значения клеток, образующих дополнительный столбец, обозначить через U_А , U_Б , U_В , а значение клеток, образующих дополнительную строку – V₁ , V₂ , V₃ и V₄ , то исходным положением для расчета их значений будет равенство U_i + V_j = - С_ij , где С_ij – среднее расстояние от станции до районов застройки и клетка на пересечении рассматриваемых строки и столбца. При этом определяются значения клеток тех столбцов и строк, пересечения которых образуют занятые места. Заполним: