Предмет экономико-математического моделирования

Предмет экономико-математического  моделирования

 

Моделирование – основной специфический метод науки, используемый для анализа и синтеза систем управления. Это особенный метод  познания, когда субъект исследования вместо непосредственного исследуемого объекта познания выбирает или создает подобный ему вспомогательный объект – образ или модель, исследует его, а затем полученные новые знания переносит на объект-оригинал.

Процесс моделирования  объекта можно разбить на четыре части:

I. Построение модели. Причем модель должна возможно больше отражать    существенные свойства объекта и быть достаточно простой.

II.  Исследование модели. Модель выступает как самостоятельный объект.

III. Перенос результатов, полученных на предыдущем этапе, на свойства объекта.

IV.Проверка полученных знаний и их использование для построения            обобщающей теории объекта исследования.

Процесс моделирования  носит циклический характер. Благодаря  активной роли субъекта сам процесс  моделирования имеет творческий, активный характер.

Математическая модель, как правило, учитывает лишь те свойства (атрибуты) объекта-оригинала, которые  отражают, определяют и представляют интерес с точки зрения целей  и задач конкретного исследования. Следовательно, в зависимости от целей моделирования, при рассмотрении одного и того же объекта-оригинала с различных точек зрения и в различных аспектах, последний может иметь различные математические описания и, как следствие, быть представлен различными математическими моделями.

Математическая  модель – это формальная система, представляющая собой конечное собрание символов и совершенно строгих правил оперирования этими символами в совокупности с интерпретацией свойств определенного объекта некоторыми отношениями, символами или константами.

Как следует из приведенного определения, конечное собрание символов (алфавит) и совершенно строгих правил оперирования этими символами («грамматика» и «синтаксис» математических выражений) приводят к формированию абстрактных объектов. Такая интерпретация делает этот абстрактный объект математической моделью.

Математические модели в экономике разрабатываются  для двух целей: лучшего понимания  объективной реальности и выработки  рационального варианта действий и  выбора оптимальных решений в  практической деятельности.

Под экономико-математической моделью экономического явления или процесса понимают совокупность соотношений – уравнений, неравенств, логических условий, операторов и т.п., определяющих характеристики состояний объекта моделирования, а через них и выходные значения параметров реакции, в зависимости от значений параметров объекта-оригинала, входных воздействий, начальных и граничных условий, а также времени.

В экономико-математическом моделировании различают такие  этапы:

1. Постановка задачи  и начальный ее анализ.

2. Постановка математической модели.

3. Анализ математической  модели.

4. Подготовка исходной  информации.

5. Поиск решения задачи  аналитическими или численными  методами.

6. Анализ полученных  результатов и их использование  в практических целях.

Итак, предметом экономико-математического моделирования являются математические модели реальных экономических объектов или явлений. Объектом изучения экономико-математического моделирования как учебной дисциплины есть экономика и ее подразделения.

В соответствии с общей классификацией экономико-математические модели подразделяются на функциональные и структурные, а также промежуточные формы (структурно-функциональные). В исследованиях на уровне народного хозяйства чаще используются структурные модели, поскольку для планирования и управления большое значение имеют внутренние зависимости между элементами систем. Типовыми структурными моделями являются модели межотраслевых связей. Функциональные модели широко используются в экономическом регулировании, когда на поведение объекта («выход») влияют путем изменения «входа». Примером может служить модель поведения потребителей в условиях товарно-рыночных отношений. Один и тот же объект может описываться одновременно и структурной, и функциональной моделями. Например, для планирования отдельной отраслевой системы используется структурная модель, а на уровне народного хозяйства каждая модель может быть представлена функциональной моделью.

Модели подразделяют на дескриптивные и нормативные. Дескриптивные модели отвечают на вопрос: как это происходит или как это вероятнее может развиваться дальше? Другими словами, они лишь поясняют факты, которые наблюдаются, или дают прогноз. Нормативные модели отвечают на вопрос: как это может быть? То есть предусматривают целенаправленную деятельность. Типовым примером нормативных моделей являются модели оптимального (рационального) планирования, которые формализируют в тот или иной способ цель экономического развития, возможность и средства ее достижения.

Следует заметить, что  оптимальное планирование заключается в поиске наилучшего варианта плана из множества возможных. Наилучшее распределение ресурсов осуществляется при сопоставлении вариантов плана по выбранному критерию оптимальности, который определяет степень достижения поставленной цели. Такими критериями могут быть рентабельность, доход, издержки обращения, товарооборот и др. В связи с этим оптимальным считается такой план, который обеспечивает, например, максимальный доход (решение задачи на максимум) или минимум издержек обращения (решение задачи на минимум).

В целом поиск оптимальных  решений можно свести к двум основным постановкам задач: получение заданного  эффекта при минимуме затрат или  получение максимального эффекта  при заданных ограниченных запасах  ресурсов.

В настоящее время  при исследовании экономико-математических моделей широко используются методы линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений, линейного, целочисленного и динамического программирования, теории игр, теории графов и сетевого моделирования, теории массового обслуживания, теории вероятностей и математической статистики, корреляционного и регрессионного анализа.

В 1 разделе конспекта  рассматриваются модели линейного  программирования. Они относятся  к моделям выбора решений в  условиях определенности. При поиске наилучшего плана и принятии оптимального решения используются методы линейной алгебры и теории множеств. Во 2 разделе конспекта рассматриваются экономические модели, в которых применяются методы интегрального и дифференциального исчисления, теории дифференциальных уравнений, в 3 разделе – модели принятия решений в условиях неопределенности.

 

 

Раздел 1. Методы и модели

линейного программирования

 

В настоящее время множество  задач планирования и управления в отраслях народного хозяйства, а также большой объем частных прикладных задач решаются методами математического программирования. Наиболее развитыми в области решения оптимизационных задач являются методы линейного программирования. Эти методы позволяют описать с достаточной точностью широкий круг задач производственной деятельности, таких, как рациональное использование ресурсов, формирование рациональных смесей, перевозка грузов, распределение по должностям, формирование торговой сети, выбор портфеля ценных бумаг, построение кольцевых маршрутов, планирование капиталовложений, замена торгового оборудования и др.

В задачах линейного программирования критерий эффективности и функции в системе ограничений линейны.

Если содержательный смысл требует  получения решения в целых  числах, то такая задача является задачей целочисленного программирования.

Если в задаче математического  программирования имеется переменная времени, а критерий эффективности  выражается через уравнения, описывающие  течение операций во времени, то такая  задача является задачей динамического программирования.

Во многих экономических моделях  зависимости между постоянными  и переменными факторами можно  считать линейными.

Использование методов математического  программирования в производственной деятельности связано со сбором необходимой  информации, построением математической модели и выбором соответствующего метода (или созданием нового) для решения полученной модели с целью использования результатов решения в практической деятельности.

 

1. Общая задача линейного программирования

 

Постановка задачи производственной деятельности может быть представлена в виде математической модели линейного программирования, если целевая функция представлена в виде линейной формы, а связь с ограниченными ресурсами можно описать посредством линейных уравнений или неравенств. Кроме того, вводится дополнительное ограничение – значения переменных должны быть неотрицательны, поскольку они представляют такие величины, как товарооборот, время работы, количество единиц изготовленной продукции, затраты и другие экономические показатели.

В целом экономико-математическая формулировка и модель общей задачи линейного программирования имеет  следующий вид:

найти максимальное (минимальное) значение линейной целевой функции

                                                                              (1.1.1)

при условиях-ограничениях:

                                

где заданные постоянные величины.

Стандартной задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции (1.1.1) при выполнении условий (1.1.2) и (1.1.4).

Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача, которая состоит в определении максимального (минимального) значения целевой функции (1.1.1) при выполнении условий (1.1.3) и (1.1.4).

Совокупность чисел  , удовлетворяющих ограничениям задачи, называется допустимым решением (или планом).

План  , при котором целевая функция задачи принимает максимальное (минимальное) значение, называется оптимальным.

В случае, когда требуется найти  минимум функции 

                                ,

можно перейти к нахождению максимума  функции 

                            ,     т.к. .

Ограничение-неравенство исходной задачи линейного программирования, имеющее вид  , преобразуется в ограничение-равенство с добавлением к левой части дополнительной неотрицательной переменной, а ограничение-неравенство вида – преобразуется в ограничение-равенство вычитанием из левой части дополнительной неотрицательной переменной.

Если ограничения задачи отражают наличие и расход производственных ресурсов, тогда значение дополнительной переменной в плане задачи, записанной в форме основной равно объему неиспользованного соответствующего ресурса.

Запишем в основной задаче линейного  программирования ограничение (1.1.3) в  векторной форме

                                 ,                                          (1.1.5)

где и т-мерные вектор-столбцы, составленные из коэффициентов при неизвестных и свободных членах системы уравнений задачи.

План  называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если система векторов , входящих в разложение (1.1.5) с положительными коэффициентами линейно независима.

Так как векторы  являются т-мерными, то из определения опорного плана следует, что число его положительных компонент не может превышать т.

Опорный план называется невырожденным, если он содержит ровно т положительных компонент. Если в опорном плане число положительных компонент меньше т, то план является вырожденным.

 

2. Постановка задач производственной деятельности

 

Рассмотрим примеры  преобразования задач производственной деятельности к общей задаче линейного  программирования и построения экономико-математических моделей.

1.2.1. Рациональное  использование ресурсов

Предприятие изготавливает несколько  видов продукции, расходуя на это  изготовление различные виды сырья. Запасы сырья ограничены. Доход, получаемый от реализации каждого вида продукции, различен. Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором доход предприятия был бы максимальным.

Экономическая постановка. Для изготовления п видов продукции используется т видов сырья . Запасы сырья составляют . Нормативы затрат сырья на изготовление единицы продукции, составляют . Доход, получаемый от реализации единицы продукции, составляет .

Необходимо составить такой план выпуска продукции, при котором доход от ее реализации будет максимальным.

Построение экономико-математической модели. Обозначим через количество единиц продукции го вида , запланированных к производству. Тогда целевая функция будет иметь вид:   .

Для изготовления всей продукции потребуется  единиц сырья го вида. Поскольку его количество ограничено величиной , получаем неравенство        .

Учитывая нормативы затрат и  ограничения на ресурсы, запишем  систему неравенств: