Предмет экономико-математического моделирования

                                              .

Пример. Коммерческому отделу поручили проанализировать совместную деятельность подразделений фабрики по изготовлению и продаже двух видов краски для внутренних (В) и наружных (Н) работ, которая поступает в продажу по цене 3 тыс. руб. и 2 тыс. руб. за 1 т. Для производства красок используют два вида сырья  А и В, максимально возможные суточные запасы которых составляют 3т и 4 т. Расходы сырья на производство 1 т красок приведены в табл.

Сырье	Расход сырья на 1 т краски, т			Запасы
	наружных работ, Н		внутренних работ, В
А	0,5	1,0		3
В	1,0	0,5		4
Цена 1 т, тыс. руб.	2	3

Изучение конъюнктуры  спроса на рынке сбыта показало, что суточный спрос на краску для  внутренних работ никогда не превышал спроса на краску для наружных работ более чем на 1,5 т, а спрос на краску для внутренних работ никогда не превышал 2 т в сутки.

Кроме того, известно, что  план фабрики предусматривает обязательный выпуск красок указанных видов, производство которых за всю историю не опускалось ниже, чем 0,25 т для наружных и 0,5 т для внутренних работ соответственно.

Какое количество краски каждого вида необходимо производить  ежесуточно фабрике, чтобы выручка  от ее реализации была максимальной?

Построение экономико-математической модели.

Поскольку необходимо определить объемы производства для продажи краски, то суточные объемы производства красок для наружных и внутренних работ обозначим и тонн соответственно.

Критерием, по которому определяется степень достижения поставленной цели, является выручка от продажи краски, которая должна быть максимально возможной. На этом основании целевую функцию можно записать таким образом:  .

Решение любой задачи осуществляется в рамках ограниченных ресурсов. В данном случае необходимо учесть ограничения на расход сырья, запасы которого на фабрике не бесконечны, ограничения на спрос краски, а также предусмотреть, чтобы производство краски было не меньше указанного в условии задачи. Математически эти ограничения можно записать следующим образом:

                                 (запасы сырья А),

                                 (запасы сырья В),

                                (соотношение спроса на краски),

                                (максимальная величина спроса на краску В),

                                (минимальная величина спроса на краску А),

                               (минимальная величина спроса на краску В).

Объемы производства краски не могут  принимать отрицательных значений. В связи с этим необходимо записать условие неотрицательности переменных:

                              .

Т.о., экономико-математическую модель задачи можно представить в виде.

Определить суточные объемы производства красок – план , который при заданных условиях-ограничениях

обеспечивает максимальную выручку от продажи краски в соответствии с целевой функцией   .

Полученная модель является задачей  линейного программирования, так  как все входящие в нее функции  линейны.

 

1.2.2. Формирование  рациональных смесей

В хозяйственной деятельности отделов снабжения предприятий возникают задачи, связанные с осуществлением рациональных закупок продуктов, обеспечивающих необходимый рацион питания для поддержания нормальной жизнедеятельности человека, или формирования диетического питания в больницах, или задачи составления кормовых смесей на животноводческих фермах.

Задачи о рациональном питании решаются в условиях ограниченного  ассортимента, товарных запасов, стоимости, суточных норм потребления питательных  веществ и их содержания в продуктах. Причем из всех возможных вариантов необходимо выбрать самый дешевый.

Построение экономико-математической модели.

Допустим имеется набор  продуктов: мясо, рыба, молоко, сахар, яйца, картофель, овощи, фрукты, хлеб, мука по ценам соответственно , причем запасы этих продуктов ограничены: .

Содержание питательных  веществ – белков, жиров, углеводов, витаминов и минеральных солей  – в 1 кг каждого продукта известны и составляют соответственно . Известны также нормы суточной потребности человека в каждом питательном веществе: .

Необходимо определить количество закупаемых продуктов  , которое удовлетворит потребность в питательных веществах каждого вида, и будет иметь минимальную стоимость. Поскольку содержание питательных веществ в рационе должно быть не менее , то получим систему линейных ограничений:

                    

Кроме того, количество каждого  продукта в рационе не должно быть величиной отрицательной, а размер закупок ограничен:

         

Общая стоимость запишется  в виде линейной целевой функции

                        

Пример. Для поддержания нормальной жизнедеятельности человеку ежедневно необходимо потреблять 118 г белков, 56 г жиров, 500 г углеводов, 8 г минеральных солей. Количество питательных веществ, содержащихся в 1 кг имеющихся в магазине продуктов питания, их стоимость приведены в таблице.

Питательные вещества	Содержание питательных  веществ в 1 кг продукции,							Нормы суточной потребности, г
	мясо	рыба	молоко	масло	сыр	крупа	картофель
Белки, г	180	190	30	70	260	130	21	118
Жиры, г	20	3	40	865	310	30	2	56
Углеводы, г	0	0	50	6	20	650	200	500
Минеральные соли, г	9	10	7	12	60	20	70	8
Стоимость 1 кг продукта, руб.	19	10	2,8	34	29	5,6	1
Количество продукта в рационе, г	-?	-?	-?	-?	-?	-?	-?

Необходимо составить  суточный рацион, содержащий не менее  суточной потребности человека в  необходимых питательных веществах, и обеспечивающий минимальную общую  стоимость продуктов.

Экономико-математическую модель задачи можно сформулировать так.

Найти оптимальное количество закупаемых продуктов питания  , связанных с суточной нормой потребления системой линейных неравенств:

                

обеспечивающих минимум затрат на покупку продуктов питания

                  .

 

1.2.3. Перевозка  грузов

 

В современных условиях большие транспортные расходы связаны  с простоями в ожидании обслуживания на погрузочно-разгрузочных работах, встречными и нерациональными перевозками, затратами на горючее, техническое обслуживание и заработную плату водителей. В связи с этим необходимо решать задачи оптимального планирования перевозок грузов в производственной деятельности из пунктов отправления (баз, станций, фабрик, элеваторов, заводов) в пункты назначения (магазины, склады) методами, позволяющими оптимизировать план по какому-либо экономическому показателю, например, финансовых затрат или времени на перевозку грузов.

Для решения подобного  рода задач в линейном программировании существуют специально разработанные методы, а задачи такого рода называют транспортными задачами.

 

Построение экономико-математической модели.

Имеется т пунктов отправления (поставщиков) грузов:

                             ,

на которых сосредоточены  запасы некоторого однородного и  делимого груза в объемах соответственно:

                              

Величины  определяют максимально возможные размеры вывоза груза с пунктов отправления. Суммарный запас груза поставщиков составляет . Кроме того, имеется п пунктов назначения:

                            

которые подали заявки на поставку груза в объемах соответственно:

                              

Суммарная величина заявок составляет .

Стоимость перевозки  единицы груза от поставщика к потребителю известна. Она составляет (транспортный тариф), то есть известна матрица тарифов перевозок .

В качестве критерия оптимальности  выбираем суммарные издержки по перевозке  груза.

Экономико-математическая модель задачи зависит от соотношения  суммарной величины заявок и суммарного запаса груза .

Если суммарные запасы груза в пунктах отправления  равны сумме заявок пунктов назначения, т.е.

                                             ,                                                        (1.1.6)

то модель транспортной задачи называется закрытой.

В противном случае модель транспортной задачи называется открытой, причем возможны два варианта:

суммарный спрос больше    

                                                                                                      (1.1.7)

и меньше

                                                                                                      (1.1.8)

суммарного предложения.

В каждом из трех перечисленных  случаев экономические постановки и математические модели транспортной задачи различны.

Рассмотрим экономическую  постановку и математическую модель закрытой транспортной задачи, т.е. случай, когда суммарный спрос равен суммарному предложению (1.1.6). Тогда транспортная задача формулируется следующим образом: необходимо составить оптимальный план перевозок, т.е. найти такие значения объема перевозок груза от  поставщиков к потребителям , чтобы вывезти все грузы от поставщиков, удовлетворить заявки каждого потребителя и обеспечить минимальные транспортные расходы на перевозку груза.

Все исходные данные транспортной задачи можно записать в виде, так называемой транспортной таблицы:

				…		…
				…		…
				…		…
				…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
				…		…
…	…	…	…	…	…	…	…
				…		…