Контрольная работа по дисциплине «Теория игр»

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

Высшего профессионального образования

«Тихоокеанский государственный  университет

 

 

Специальность  080100.62  БЭКН  "ЭкОНОМИКА"

 

 

Кафедра прикладной математики

 

 

 

 

 

 

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА  
по дисциплине «Теория игр»

 

 

 

 

 

 

 

Выполнил: студент ЗФ

 

Группа: БУ(б)з-12

 

Шифр:  110430759

 

ФИО: Саметгалиева А.В. 

 

 

 

 

 

 

 

Проверил:____________________________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Хабаровск – 2013 г.

 

Содержание

 

 

 

Задача 1

Петя и Маша независимо друг от друга выбирают натуральные  числа х и y, соответственно, которые заключены между 5 и 9 включительно. Если х+y>14, то выигрывает Петя и Маша платит ему y рублей. Если х+y<14, то выигрывает Маша, и Петя платит ей х рублей. Если х+y=14, то противники ничего не выплачивают друг другу. Построить платежную матрицу игры, когда Петя является первым игроком, а Маша – вторым игроком.

 

Решение

Для составления платежной  матрицы следует проанализировать поведение каждого из игроков. Игрок  П (Петя) может выбрать натуральное  число 5 -обозначим эту стратегию П₁, может выбрать натуральное число 6 - обозначим эту стратегию П₂ и т.д.

Стратегии Пети в данной игре следующие

П₁ – Петя выбирает число 5

П₂ – Петя выбирает число 6

П₃ – Петя выбирает число 7

П₄ – Петя выбирает число 8

П₅ – Петя выбирает число 9

Игрок М (Маша) может выбрать натуральное число 5 - обозначим эту стратегию М₁, может выбрать натуральное число 6 - обозначим эту стратегию М₂ и т.д.

 Стратегии Маши в данной игре следующие

М₁ – Маша выбирает число 5

М₂ – Маша выбирает число 6

М₃ – Маша выбирает число 7

М₄ – Маша выбирает число 8

М₅ – Маша выбирает число 9

 

 

Платежная матрица будет 5-го порядка, так как у каждого из игроков по 5 стратегий.

Если игрок П выбирает число х=5 и игрок М выбирает число у=5, то осуществляется упорядоченная пара стратегий (П₁,М₁). В такой ситуации 5+5=10<14, следовательно по правилам игры выиграла Маша, и Петя платит ей х=5 рублей. В платежной матрице, когда Петя является первым игроком, Маша - вторым, элемент а₁₁=-5, этот элемент является выигрышем первого игрока П в ситуации (П₁,М₁). Знак «минус» появился от того, что Петя выплачивает деньги Маше, поскольку данная платежная матрица - это матрица выигрышей первого игрока, то есть Пети.

Аналогично, в ситуации (П₁,М₂) имеем, что 5+6=11<14, следовательно а₁₂=-5- это выигрыш первого игрока в ситуации (П₁,М₂).

В ситуации (П₁,М₃) имеем, что 5+7=12<14, следовательно а₁₃=-5- это выигрыш первого игрока в ситуации (П₁,М₃).

В ситуации (П₁,М₄) имеем, что 5+8=13<14, следовательно а₁₄=-5- это выигрыш первого игрока в ситуации (П₁,М₄).

В ситуации (П₁,М₅) имеем, что 5+9=14, следовательно, противники ничего не платят друг другу, т.е. а₁₅=0

В ситуации (П₂,М₁) имеем, что 6+5=11<14, следовательно а₂₁=-6- это выигрыш первого игрока в ситуации (П₂,М₁).

В ситуации (П₂,М₂) имеем, что 6+6=12<14, следовательно а₂₂=-6

В ситуации (П₂,М₃) имеем, что 6+7=13<14, следовательно а₂₃=-6

В ситуации (П₂,М₄) имеем, что 6+8=14, следовательно а₂₄=0

В ситуации (П₂,М₅) имеем, что 6+9=15>14, следовательно а₂₅=9, т.к. Маша платит Пете y=9 рублей и т.д.

Таким образом, в игре, когда Петя является первым игроком, а Маша - вторым, мы получим платежную матрицу вида

Если стратегии Маши остаются прежними, а стратегии  Пети будут следующими:

П₁ – Петя выбирает число 9

П₂ – Петя выбирает число 8

П₃ – Петя выбирает число 7

П₄ – Петя выбирает число 6

П₅ – Петя выбирает число 6

В ситуации (П₁,М₁) имеем, что 9+5=14, следовательно а₁₁=0

В ситуации (П₁,М₂) имеем, что 9+6=15>14, следовательно а₁₂=6

В ситуации (П₁,М₃) имеем, что 9+7=16>14, следовательно а₁₃=7

В ситуации (П₁,М₄) имеем, что 9+8=17>14, следовательно а₁₄=8

В ситуации (П₁,М₅) имеем, что 9+9=18>14, следовательно а₁₅=9

и т. д.

Тогда платежная матрица  имеет следующий вид:

 

Платежные матрица игры

 и  , при условии, что Петя является первым игроком, а Маша - вторым

 

 

 

 

 

 

Задача 2

Платежная матрица игры есть:

найти нижнюю цену игры, верхнюю цену игры, чистую цену игры, все максиминные стратегии, все минимаксные стратегии, все седловые точки.

 

Решение

Значение  - называется нижней ценой игры или максимином

Значение - называется верхней ценой игры или минимаксом

 

	В1	В2	В3	В4	В5
А1	-5	-6	-7	-8	0	-8
А2	-5	-6	-7	0	9	-7
А3	-5	-6	0	8	9	-6
А4	-5	0	7	8	9	-5
А5	0	6	7	8	9	0	0
	0	6	7	8	9
	0

 

- нижняя цена игры

- верхняя цена игры

Если значения верхней  и нижней цены игры совпадают, т. е. a=b, то значение a=b=n называется чистой ценой игры.

В задаче a=0=b=0, следовательно, n=0 – чистая цена игры

Стратегия первого игрока А, соответствующая максимину называется максиминной стратегией

 

Число 0 находится в  пятой строке, соответствующей стратегии А₅, следовательно, номер 5 определяет максиминную стратегию

 

Стратегия второго  игрока  В, соответствующая минимаксу называется минимаксной стратегией

Число 0 находится в  первом столбце, соответствующем стратегии  В₁, следовательно, номер 1 определяет минимаксную стратегию.

 

Пара чистых стратегий  А_i  и B_j дает оптимальное решение игры тогда и только тогда, когда соответствующий ей элемент a_ij является одновременно наибольшим в своем столбце и наименьшим в своей строке. Такая ситуация, если она существует называется седловой точкой.

a=b=0, следовательно, А₅ и В₁  - чистыми стратегии, а₅₁=0 – седловая точка матрицы А₂.

 

 

 

 

 

Задача 3

Платежная матрица игры есть

Найти все доминируемые (заведомо невыгодные) стратегии первого игрока, все доминируемые стратегии второго игрока.

 

Решение

Строка платежной матрицы называется доминируемой строкой, если все ее элементы не превосходят соответствующих  элементов какой-либо другой строки

Т. к. все элементы второй  строки не больше (в данном случае меньше) всех элементов четвертой строки, то вторая строка является доминируемой.

Все элементы третьей  строки так же не больше (в данном случае меньше) всех элементов четвертой строки, то третья строка является доминируемой.

Все элементы пятой  строки так  же не больше (в данном случае меньше) всех элементов четвертой строки, то пятая строка является доминируемой.

Для первой строки условие доминируемости не выполняется, так как 7>6, хотя 0<6, 6<7 и 0<7

Доминируемыми стратегиями первого игрока являются стратегии 2, 3 и 5

 

Столбец платежной матрицы называется доминируемым столбцом, если все его элементы больше или равны соответствующих элементов какого-либо другого столбца.

Т. к. все элементы первого столбца  больше или равны соответствующих элементов второго столбца, то первый столбец является доминируемым.

Все элементы третьего столбца  больше соответствующих элементов второго столбца, то третий столбец является доминируемым.

Для четвертого столбца условие доминируемости не выполняется, потому что, хотя 0=0, 3>2, 7>6, 3=3, но 2<3.

Доминируемыми стратегиями второго  игрока являются стратегии 1 и 3.

 

Задача 4

Платежная матрица игры

1) Какие из данных  векторов  

            

являются смешанными стратегиями первого игрока?

2) Если смешанная стратегия  первого игрока  , а второго игрока , то чему равен выигрыш второго игрока в данной ситуации (х, y)?

3). Найти оптимальную  смешанную стратегию первого  игрока

4). Указать цену игры.

 

Решение

1) Действие игрока, состоящее  в выборе одной из своих чистых стратегий с определенной вероятностью, называется смешанной стратегией.

Для данной задачи каждая смешанная стратегия А полностью  определяется вероятностями р₁, р₂, р₃, с которыми игрок А выбирает соответствующие чистые стратегии А₁, А₂, А₃. Поэтому смешанную стратегию Р игрока А можно отождествлять с трехмерным вектором Р=(р₁, р₂, р₃), где р_i³0 и р₁+р₂+ р₃ =1

Вектор    не может являться смешанной стратегией первого игрока, т.к. он содержит четыре компоненты, а чистых стратегий и первого игрока только 3.

Вектор  так же не может являться смешанной стратегией первого игрока, т.к. он содержит четыре компоненты, а чистых стратегий и первого игрока только 3.

Вектор     является смешанной стратегией первого игрока, т.к. это трехмерный вектор с неотрицательными компонентами, сумма которых равна 1

Вектор  не является смешанной стратегий первого игрока, т.к. сумма его трех компонентов не равна 1: ¹1

Вектор     является смешанной стратегией первого игрока, т.к. это трехмерный вектор с неотрицательными компонентами, сумма которых равна 1

Следовательно, смешанной  стратегий первого игрока является только вектор

 

 

2) Выигрыш второго игрока в ситуации (х, y) определяется по формуле:

Выигрыш второго игрока в ситуации (х, y)

Если смешанная стратегия  первого игрока , а второго игрока , то чему равен выигрыш второго игрока в данной ситуации (х, y)?

 

 

3). Найдем оптимальную смешанную стратегию первого игрока

Матрица  не имеет седловой точки, т.к.

a=1¹b=2

Далее проверим существуют ли доминируемые стратегии. Элементы первой строки не превосходят элементов второй строки, следовательно, первая строка является доминируемой. Вероятность выбора первым игроком этой стратегии равна 0, и можно вычеркнуть из матрицы первую строку. Получим матрицу

Элементы второго столбца  больше всех элементов 1-ого, 3-го и 4-ого  столбцов. Элементы 3-ого столбца  больше элементов 4-ого столбца. Следовательно, 2-ой и 3-ий столбцы являются доминируемыми. Вероятность выбора 2-ой и 3-ей стратегии  вторым игроком равна 0, поэтому столбцы 2 и 3 можно вычеркнуть.

Получим матрицу 

Если игра задана платежной  матрицей  , то оптимальная смешанная стратегия первого игрока (р₁, р₂) определяется соотношениями:

а цена игры

 

Следовательно, оптимальная  смешанная стратегия первого  игрока:

4) Определим цену игры

Если игра задана платежной  матрицей  , то цена игры определяется соотношением:

 

Цена игры равна 

 

Задача 5

Фермер Петров задумал выращивать капусту. На урожайность капусты в основном оказывают влияние погодные условия и количество внесенных удобрений. Лето может быть нормальное В₁, сухое В₂ и влажное В₃. Петров удобряет свое поле либо по норме А₁, либо ниже нормы А₂, либо сверх нормы А₃. Прибыль, которую можно получить в зависимости от погодных условий и внесенных удобрений, задана таблицей:

	В1	В2	В3
А1	40	40	30
А2	70	20	70
А3	80	30	40

 

Указать все номера оптимальных  стратегий фермера Иванова по критерию Гурвица с параметром l=0,6

 

Решение

В соответствии с критерием  Гурвица оптимальная стратегия  выбирается из условия:

Состояния природы		В1	В2	В3	ai=	bi=	l*ai+(1-l)*bi
Стратегии фермера Петрова	А1	40	40	30	30	40	0.6*30+(1-0.6)*40=34
	А2	70	20	70	20	70	0.6*20+(1-0.6)*70=40
	А3	80	30	40	30	80	0.6*30+(1-0.6)*80=50

 

Следовательно, максимальное значение Н достигается при выборе третьей стратегии. Таким образом, номер оптимальной стратегии  фермера Иванова по критерию Гурвица с параметром l=0,6 равен 3

 

Задача 6

Платежная матрица первого  игрока есть:

Платежная матрица второго  игрока есть:

Найти все ситуации равновесия по Нэшу.

Решение

В каждом столбце матрицы  А первого игрока найдем максимальный элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице А:

Их положение соответствует  приемлемым ситуациям первого игрока, когда второй игрок выбрал  j-ую стратегию соответственно.