Опционы — инструмент спекуляций и хеджирования

г — безрисковая процентная ставка (например, если 6%, то для расчета используется 0.06);

Т—  доля года, оставшаяся до истечения опциона (отношение количе ства дней до истечения опциона к 365);

а —  волатильность, измеряется и дается в процентах годовых. В наи более распространенном варианте представляет собой стандартное откло нение цены.

Один  из наиболее распространенных вариантов  расчета волатильнос- ти (логарифмический) выглядит следующим образом. Сначала рассчиты вается ряд логарифмов изменения цен:

rj ep_t — цена в момент времени ( f );

p_tl — цена в предыдущий момент времени (£-1).

Далее рассчитывается среднеарифметическое ряда значений х за неко торый ограниченный период времени:

где п — некоторый ограниченный период времени, за который рассчи тывается волатильность (например, 10,20,30,60,90,120,150 или 180 дней).

 

Затем приведем рассчитанную выше историческую волатильность за некоторый промежуток времени к годовому значению 

 

Далее рассчитывается историческая волатильность за этот ограничен ный промежуток времени

где 252 — количество рабочих дней в календарном  году.

Значения  всех параметров, кроме т, мы уже  рассмотрели раньше. Па раметр задается в зависимости от вида базисного актива:

т = г  — для опционов на акции, по которым  не выплачиваются диви денды;

m = r - q — для опционов на акции,по которым выплачиваются диви денды с заданной непрерывной ставкой q ;

т = г  -г, — для валютного опциона, где г — безрисковая ставка про цента в валюте торговли, а г. — в базисной валюте;

m = r - q — для опционов на фондовые индексы, где q — средняя ставка дивидендов, которые выплачиваются по включенным в индекс акциям в течение срока опционного контракта;

т = 0 —  для опционов на фьючерсные контракты, причем здесь S_t — текущая фьючерсная цена;

m = r - q — для облигационных опционов, где q — приведенная купон ная процентная ставка, a S_t — текущая цена базисной облигации.

Практический  пример расчета теоретической цены опциона

В качестве примера рассчитаем теоретическую  стоимость опциона колл на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S & P 500.

Начальные условия.

Тип контракта  — американский.

Дата  исполнения — 21 мая 1999 года.

Текущая дата — 15 апреля 1999 года.

Т —  доля года, оставшаяся до истечения  опциона (отношение количества дней до истечения опциона к 365). На текущую  дату срок до истече ния опциона составляет 36 дней. Таким образом, оставшаяся до истече ния опционного контракта доля года равна 0.09863.

е —  экспонента. Численная константа 2.71828182845905.

К —  страйк равен 1325.

S_Q — цена фьючерсного контракта на курс фондового индекса S & P 500 в момент покупки опциона равна 1323.

г — безрисковая процентная ставка равна 10%.

s — внутренняя волатильность равна 17.43.

m = г— q . Если q — сумма планируемых к выплате дивидендов держате лю акций с момента эмиссии опциона равна 0, то т = г, т.е. т = 10%.

Отсюда  рассчитаем

 

 

И, наконец, рассчитаем минимальную премию: 

Таким образом, теоретическая стоимость  опциона на фьючерсный контракт на курс фондового индекса S & P 500 с  указанной выше спецификацией составляла 34.58.

Реальная  стоимость этого опциона на рынке  составляла 34.60, что практически  точно совпало с полученной нами оценкой.

Премии  опционов можно рассчитывать при  помощи так называемых опционных  калькуляторов. Так, калькулятор для  американского рынка акций находится  на web -странице чикагской опционной биржи СВОЕ:

http://www . cboe. com/TradTool/OptionCakulator. asp.

Модель  Блэка—Шоулса исходит из целого ряда допущений, некоторые из которых являются критическими. Так, в модели не учитываются дивиденды, которые платит акционерная компания в течение срока действия опциона. Это допущение легко избежать, если вычесть ожидаемую величину дивидендов из премии, предварительно продисконтировав ее (скорректировав на безрисковую процентную ставку). Другим допущением модели Блэка—Шоулса является то, что она рассчитана только на опционы европейского типа. Третье предположение — что рынки являются эффективными, а динамика рыночных цен случайна. Это, пожалуй, самое спорное допущение, отражаемое в использовании трейдерами внутренней, а не исторической волатильности. Также следует отметить, что в мо дели Блэка—Шоулса совершенно не учитывается уровень комиссионных и других обязательных платежей, которые осуществляет трейдер опцио нами.

Модификацией  модели Блэка—Шоулса для опционов на фьючерсы является модель Блэка ( Black ). Фишер Блэк разработал эту модель в 1976 году специально для оценки опционов на фьючерсы. При этом он рассматрива ет фьючерс как акцию, которая не приносит дохода свыше безрисковой процентной ставки.

Модель  Кокса —Росса —Рубинштейна (Сох — Ross — Rubinstein ) учиты вает факторы, которые не рассматриваются в модели Блэка—Шоулса и являются усовершенствованным вариантом биномиальной модели. Вме сте с тем, модель Кокса—Росса—Рубинштейна дает результаты, близкие к модели Блэка—Шоулса. Отличие этих двух моделей заключается в учете возможности досрочного исполнения американского опциона, что очень важно пои высокой безоисковой поопентной ставке.

Модель  Гармана —Кольхагена ( Garman — Kohlhagen ) создана специаль но для оценки опционов на валюты. В этой модели валюта рассматрива ется как актив, который приносит доход на уровне безрисковой процент ной ставки.

Модель  Мертона ( Merton ), модель The Barone - Adesi - Whaley Quadratic model , разработана в 1973 году. Эта модель исходит из случайного характе ра изменений безрисковой процентной ставки, что является лучшим от ражением действительности, нежели допущения предыдущих моделей. Обычно модель Мертона используется для европейских опционов на акции. Также она дает неплохую оценку стоимости опционов на фьючерсы и более точные оценки для опционов вне денег.

Модель  Дмитрия Буртова учитывает основной недостаток, присущий перечисленным выше моделям — предположение о неизменности волатиль- ности для опционов с различными ценами исполнения. Для расчета теоре тической цены опциона в модели Буртова используется кривая доходности { Yield Curve ), построенная на основании вчерашних цен закрытия { Yesterday Settlment ). Расчет цены опциона включает в себя следующие шаги:

а)   оценку вчерашней кривой доходности и сегодняшней доходности 
конкретного опциона. Оценка проводится по модели Блэка;

б)   определение сдвига вчерашней кривой доходности относительно се 
годняшнего ее значения;

в)   расчет средневзвешенной кривой доходности на базе вчерашней и се 
годняшней кривой с учетом тиковых объемов { Tick Volume ) в качестве весов 
для различных страйков (вчерашний тиковый объем полагается равным

г) полученная доходность подставляется в формулу  Блэка для расчета цены и коэффициентов греческой таблицы опциона.

При использовании  всех перечисленных выше моделей  предполагает ся, что цены изменяются по логнормальному распределению. Однако в реальных условиях это условие не всегда выполняется. Согласно теории хаоса рынок не является случайным, а значит, и нормально распределен ным. Это замечание относится как к развитым, так и к развивающимся рынкам. Эффект отклонения изменения цен от нормального распределения наиболее заметен для опционов с малой стоимостью. Это объясняется тем, что участники рынка всегда помнят о возможном экстремальном движении цен базового актива, которое приведет к сильному увеличению стоимости данных опционов, а значит, их реальная рыночная стоимость обычно оказывается более высокой, чем это следует из формулы Блэка— Шоулса. Данный эффект носит название улыбка волатильности ( volatility smile ).

Модель  Монте-Карло эксплуатирует классический метод Монте-Кар ло, который оценивает среднее значение некоторой случайной величины. Применительно к расчету премии опционов модель Монте-Карло сводится к оценке математического ожидания премии (здесь дана оценка премии европейского опциона колл):

Здесь формула в скобках е ^rT ( S_T - K )⁺ является дисконтированным выигрышем держателя опциона, а в качестве премии выступает средний дис контированный выигрыш. Также в данной формуле вместо стандартного выигрыша ( S_T - K )⁺ может использоваться любой нестандартный выигрыш, который больше нуля: FfS ^ К) ^ 0.

Премии  американских опционов колл и пут  по методу Монте-Карло могут быть вычислены как:

Для расчета  премии американских опционов необходимо построить на интервале моделирования  от 0 до Г равномерную сетку и  оценить дис контированный средний выигрыш во всех узлах, ключевых точках сетки по формуле 

В качестве премии принимается максимальное значение сеточной фун кции { P_t }.

Премия  европейского опциона совпадает  с Р_р поэтому она не может превышать премию соответствующего опциона американского стиля. Здесь же следует отметить, что величина Р₀ совпадает с внутренней сто имостью опциона.

В заключение отмечу, что торговать опционами  также лучше всего от сильных  уровней сопротивления и поддержки. Так, покупать коллы хорошо от сильного уровня поддержки. Покупать путы —  от сильного уровня сопротивления. Продавать  коллы — от сильного уровня сопротивления. Продавать путы — от сильного уровня поддержки. Покупать стрэддлы (одновременная покупка колла и пута с одной ценой исполнения) — от сильных уровней сопротивления или под держки. Продавать стрэддлы — на уровнях жизни.

Два главных преимущества опционов:

1. Достаточно низкий курс единичного контракта.
2. Возможности использования финансового рычага.

Два главных недостатка опционов:

• Отсутствие текущего дохода.
• Срок действия ограничен, и по окончании срока стоимость опциона равна нулю.

Когда стоимость опциона  положительна, его называют опционом с реальной ценностью, а когда  отрицательна - опционом без реальной ценности.

Используются три  стратегии торговли опционами.

1. Покупка в спекулятивных  целях - наиболее простое и  элементарное применение опционов:

а) вместо покупки акции, курс которой, как ожидается, вырастет, можно приобрести опцион «колл»:

1. издержки при этом ниже;
2. если в соответствии с ожиданиями курс возрос, доходность по опциону «колл» может оказаться во много раз выше, чем от приобретения самой акции;

б) вместо продажи  акции, курс которой, как ожидается, упадет без обеспечения, можно приобрести опцион «пут»:

1. издержки при этом ниже;
2. если в соответствии с ожиданиями курс упал, доходность по опциону «пут» может оказаться во много раз выше, чем от акций, продаваемых «без покрытия».