Процентные вычисления и расчёты

Решение:

Вся прибыль  – 100%

1) 100/3=33,3% третья часть прибыли, получает первый предприниматель в процентах.

2) 20+20+33=73 (%) - от прибыли  получают все предприниматели

3) 100-73=27% - от прибыли  они будут вкладывать в развитие  предприятия 

Ответ: 27%  от прибыли они будут вкладывать в развитие предприятия

                                                 Проценты в магазине

5. В течение недели магазин получил 60 000 р. дохода. Из них 15 000 р. от продажи продовольственных товаров. Сколько процентов составил доход от продажи непродовольственных товаров?

Решение:

За 100% принят доход – 60 000 рублей.

1) 60000:100=600(руб.) – составляет 1%

2) 60000-15000=45000 (руб.)- доход  от непродовольственных товаров

В) 45000:600=75%

ОТВЕТ: 75% составил доход от продажи непродовольственных товаров?

 

 

Проценты  в окружающем нас мире:

 

   Распродажи

Задача  Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15% , а в декабре — еще на 10% . Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость  зонта  в ноябре  составляла 85% от 360 р., то есть 360 • 0,85 - 306 (р.). Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта; теперь следует искать 90% от 306 р., то есть 306-0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275р. 40 к.

Решение. Найдем отношение последней цены к исходной и выразим его в процентах. Получим 76,5%. Значит, зонт подешевел на 23,5% .

 

Тарифы

Задача  В газете сообщается, что с 10 июня согласно новым тарифам стоимость отправления почтовой открытки составит Зр. 15 к. вместо 2р. 75 к. Соответствует ли рост цен на услуги почтовой связи росту цен на товары в этом году, который составляет 14,5%>?

Решение. Разность тарифов составляет 0,4 р., а ее отношение к старому тарифу равно 0,14545. Выразив это отношение в процентах, получим примерно 14,5%.

Ответ: да, соответствует.

Дополнительный вопрос. Сколько будет стоить отправка заказного письма, если сейчас эта услуга оценивается в 5 р. 50 к.?

Ответ: 6 р. 30 к.

 Штрафы

Задача  Занятия ребенка в музыкальной школе родители оплачивают в Сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15-го числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4% от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придется заплатить родителям, если они просрочат оплату на неделю?

    Решение. Так как 4% от 250р. составляют Юр., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придется заплатить 250 + 10 = = 260 (р.), на неделю — 250 + 10 • 7 = 320 (р.).

Ответ: 320 р.

 

Банковские  операции

Задача.  За хранение денег Сбербанк начисляет вкладчику 8% годовых. Вкладчик положил на счет 5000 р. и решил в течение пяти лет не снимать деньги со счета и не брать процентные начисления. Сколько денег будет на счете вкладчика через год? через два года? через пять лет?

Решение. Способ I. Так как 8% от 5000 р. составляют 400р., то через один год на счете окажется 5000 + 400 = 5400 (р.). В конце второго года банк будет начислять проценты уже на новую сумму. Так как 8% от 5400 р. составляют 432 р., то через два года на счете окажется 5400 + 432 = 5832 (р.). Вычисляя последовательно, найдем, что через пять лет на счете вкладчика будет 7346 р. 64 к.

Способ II. Через год начальная сумма вклада увеличивается на 8%, значит, новая сумма составит от первоначальной 108%. Таким образом, через год

= 1,08    раза   и   составит 5000 • 1,08 (р.). Еще  через год образовавшаяся на  счете сумма снова увеличится в 1,08 раза. Таким образом, через два года на счете будет (5000 • 1,08) • 1,08 = 5000 -1,082 (р.).

Аналогично, через три  года 5000 • 1,083 (р.). и т.д. Теперь видно, что вклад растет в геометрической прогрессии, и через пять лет сумма на счете вкладчика составит 5000 • 1,085 (р.), то есть 7346,64 р.

 

Голосование

Задача. Из 550 учащихся школы в референдуме по вопросу о введении ученического совета участвовали 88% учащихся. На вопрос референдума 75% принявших участие в голосовании ответили «да». Какой процент от числа всех учащихся школы составили те, кто ответил положительно?

Решение. Выразим проценты дробями и найдем число учащихся, утвердительно ответивших на вопрос референдума: 550 • 0,88 • 0,75 = 363 (чел.). Теперь найдем ответ на вопрос задачи: -     =0,66 — это 66% .

1.Простые проценты.

• Рассмотрим задачи, связанные с банковскими вкладами.                                      

Увеличение вклада S₀ по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S_0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит  руб., и величина вклада станет равной S₁=S₀ . Величину р % называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный вклад S₀ и не производится на величину . То есть, через n лет сумма начисленных процентов составит                  П_n = руб., а величина вклада вместе с процентами составит S_n = S₀ .

Отношение   называют коэффициентом наращивания простых процентов.

Задача 1.Вкладчик    открыл  в  банке  счет  и положил на  него  S₀ = 150 000  рублей  сроком  на  4  года  под  простые  проценты  по  ставке  18%  в  год. Какой  будет  сумма  S₄, которую вкладчик  получит при закрытии  вклада? На  сколько рублей  вырастет  вклад  за  4  года? Чему  равен  коэффициент  наращивания?

Решение: В   нашем   случае   S₀  =  150 000,  p = 18,  n = 4.  По   формуле                  S_n = S₀ ^. ( 1 + n ^. p/ 1000)  рублей  имеем S₄ =150 000 ^. ( 1 + 18 ^. 4 / 100 ) =  = 258 000  рублей .      За  4  года  вклад  увеличился  на  108 000  рублей = 258 000  рублей  –  150 000   рублей.  Коэффициент   наращивания  по  формуле  S_n / S₀=1+n ^. p / 100  равен S₄/S₀= 1,72.  Он  показывает, что за  4  года  первоначальный  вклад S0  увеличился  в 1,72  раза.

  Задача 2. Какую  годовую  ставку  простых   процентов   выплачивает  банк,  если  вклад  12 000  рублей   через  3  года    достиг  величины  14 160  рублей? Определите  коэффициент  наращивания.

  Решение. По   условию,  S₀ = 12 000, S₃ = 14  160, n = 3. Из  соотношения S_n = S_o ^. ( 1 +n ^. p / 1 000 ) рублей  имеем p = (S₃ / S₀ – 1 ) ^. 1 000 /n.  Подставляем  в  полученное  выражение  заданные  значения, вычисляем  результат: p = 5,(9), т.е. p = 6% . Коэффициент  наращивания  равен  S₃ /S₀ = 1,18.

 

 

 

• Рассмотрим задачи, связанные с изменением цены.                               

 

Решение подавляющего большинства  задач этого вида опирается на применение следующих основных формул, в которых буквами S₀ и S обозначены первоначальная и новая (окончательная) цена некоторого товара соответственно.

Такой вид записи принято  называть стандартной формой. Она  имеет одно из преимуществ, что из неё сразу видно число процентов, на которое уменьшена или увеличена начальная сумма.

 

I. Если первоначальная  цена некоторого товара составляла S_о денежных единиц, то после ее повышения на  р%   она составит

                           S_о  + S_о ∙ р ∙ 0,01 = S_о (1 + р ∙ 0,01) (ден. ед.).

Аналогично, если первоначальная цена  S_о понизилась на р%, то она составит

S_о (1 - р ∙ 0,01) (ден. ед.).

Легко понять и запомнить эти формулы, если представить их в виде наглядных схем. Так, на рис. 1 повышение цены изображается стрелкой, идущей от S_о вверх, а понижение — стрелкой, направленной вниз от S_о .

 

          р%             S_о (1 + р ∙ 0,01)

 

S_о                    р%      S_о (1 - р∙ 0,01)

 

Рис.1

 

II. В результате повышения  первоначальной цены S_о на р% и последующего понижения на q% окончательная цена равна

                S_о (1 + p ∙ 0,01)(1 - q ∙0,01) (ден. ед.).

Аналогично, если первоначальная цена S_о сначала понизилась на p%, а потом повысилась на q%, то окончательная цена равна

                S_о (1 - p ∙ 0,01)(1 + q ∙ 0,01) (ден. ед.).

Изображают такую схему  в виде (рис. 2)

 

                S_о (1 + p ∙ 0,01)

      р%                                        q%                                         

                                                         S_о (1 + p ∙ 0,01)(1 - q ∙0,01)        

S_о                                                                                                        Рис.2

                                                         S_о (1 - p ∙ 0,01)(1 + q ∙0,01)

     р%                                           q%

               S_о (1 - p ∙ 0,01)

 

 

 

 

 

 

 

Задача 3:  Цена на молоко сначала снизилась на 5%, а затем повысилась на 5%. Изменилась ли первоначальная цена, и если да, то на сколько процентов?

Решение: Пусть исходная цена S_о, а окончательную примем за S, причем сначала составим схему преобразований исходной цены S_о  (рис. 3) и, только потом перейдем к вычислениям.

S_о

                                                                S_о∙(1-5∙0,01) ∙(1+5∙0,01)

      5%

                                                       5%                                                   Рис.3

                       S_о∙(1-5∙0,01)

 

То есть: S= S_о∙(1-5∙0,01) ∙(1+5∙0,01) = S_о∙(1-25∙0,0001)= S_о∙(1-0,25∙0,01)

Полученная стандартная  форма записи показывает, что первоначальная цена понизилась на 0,25%.

Ответ: первоначальная цена понизилась на 0,25%.

 

Получив ответ на вопрос задачи, можно рассмотреть и такой вариант, изменится ли результат, если в задаче цена сначала повысится на 5%, а затем понизится на 5%. Вывод такой, что  результат изменения первоначальной цены не зависит от порядка произведенных преобразований и в этом случае первоначальная цена понизится на 0,25%.

 

 

Задача 4. (из данных сберегательного банка России) Вкладчик положил некоторую сумму на вклад «Молодежный» в сбербанк России. Через два года вклад достиг 2809 рублей. Каков был первоначальный вклад при 6% годовых?

Решение: Пусть х рублей первоначальный вклад.

 

                                                                S_о∙(1+6∙0,01) ∙(1+6∙0,01)

                                                6%                                                                    

 

                               S_о∙(1+6∙0,01)

             6%

 

S_о

х∙(1+0,06)²=2809

1,06²х=2809

1,1236х=2809

х=2500

Ответ: первоначальный вклад составлял 2500 рублей.

 

 

 

                                                                            

                                                                                                              

 

Задача 5. (из рекламы) Сотовый телефон в «Евросети» стоил 3150 руб. После двух последовательных снижений цены он стал стоить 1512руб. Сколько стоил сотовый телефон  после первого снижения, если второе снижение было на 20 процентных единиц больше, чем первое?

Решение: Пусть х процент первого снижения, тогда процент второго снижения - (х+20). Составим схему операций с первоначальной ценой товара.

 

 

 

 

 

По условию окончательная цена телефона составляет 1512 руб., что служит основанием для составления уравнения:

3150 · (1 -х · 0,01) · (1 - (х + 20) · 0,01) = 1512.

Разделив обе части  уравнения на  3150, получим (1 - 0,01х)(0,8 - 0,01х) = 0,48.

Вынесем из каждой скобки число  0,01:

0,01(100 - х) · 0,01(80 -х) = 0,48.

поделим обе части  уравнения на 0,0001:

(100 -х)(80 -х) = 4800.

Итак, пришли к квадратному  уравнению с целыми коэффициентами                                 х²-180x+3200 = 0, корни которого вычисляются

то есть .

Итак,  х₁, = 20,  х₂ = 160.

Второй корень не подходит по смыслу задачи (иначе продавец раздавал бы товар, приплачивая еще 60% его стоимости).

Найдем значение выражения 3150∙(1-20∙0,01)= 2520 (рублей).

Ответ: цена сотового телефона после первого снижения станет равной 2520рублей.

 

Задачи  для решения,  содержащие прагматическую ориентацию

 

Их формулировки имеют практическое применение, представляют конкретные интересы.

 

 

1. В классе присутствует 60% всех учащихся. Сколько процентов учащихся отсутствует?

 

2. Выразите в процентах 1/4 всех жителей города.

 

3. Найдите 16% от 20000 рублей.

 

4. Сколько будет, если 20000 руб. увеличить на 16%?

 

5. Сколько процентов составляют 400 руб. от 200 руб.?

 

6. 20% некоторой суммы составляют 100 рублей. Какая это сумма?

 

7. Квартирная плата повысилась на 20%. За прошлый месяц заплачено 120рублей. Сколько надо заплатить за текущий месяц?