Анализ объекта управления «Школа»

3. Расчет  и анализ структурно-топологических характеристик ГСУ

     Структурно-топологические характеристики – это специальные характеристики СУ, предназначенные в основном для отображения структурных свойств ГСУ.

     К структурно-топологическим характеристикам ГСУ относятся:

• C(G) – связность структуры;
• C_b - вершинная база;

     – dM – структурная избыточность;

• dR – структурная компактность;
• r - неравномерность связей в структуре;
• d – степень централизации структуры;
• ранги элементов структуры;
• сильные компоненты структуры.

1. Определение связности структуры  ГСУ

     Связность структуры – это наименьшее число вершин, которое нужно удалить, чтобы получить несвязный или тривиальный граф.

     В исследуемой СУ «Школа» наибольшее значение имеет вершина под номером 1, так как через эту вершину проходит большинство путей управления, связывающих все элементы графа. Поэтому удаление этой вершины может привести к распаду исходного графа СУ на две составляющие (компоненты связности): связный граф, сохранивший большую часть элементов исходного графа, и тривиальный граф, состоящий лишь из одной вершины (приложение Г).

     Итак, C(G) = 1, т.е. минимальное количество вершин, удаление которых приводит к образованию несвязного графа, равно 1.

2. Определение вершинной базы

     Вершинная база представляет собой минимальное по мощности подмножество элементов ГСУ, из которого достижимы все элементы орграфа.

     Для СУ «Школа» значение вершинной базы равно: C_b = 3, т.к. из трех элементов в совокупности (8, 9 и 12) являются достижимыми все элементы графа структуры системы.

     С целью определения качества управления системой вычисляется удельная мощность вершинной базы b по следующей формуле:

      .

     Для СУ «Школа» значение удельной мощности вершинной базы равно:

      .

     Подобное  значение – приближенное к 1 – говорит  о довольно хорошей управляемости  исследуемой системы управления.

3. Определение структурной избыточности ГСУ

     Структурная избыточность – это свойство ГСУ, характеризующее превышение общего числа связей над минимально необходимым, обеспечивающим связность ГСУ.

     Структурная избыточность определяется по формуле:

      ; .

     Структурная избыточность может принимать значения от 0 до 1, причем, чем значение ближе  к 0, тем лучше для СУ, поскольку  такая организаций характеризует  близость к иерархической структуре  СУ.

     Для ГСУ «Школа» структурная избыточность равна:

      ;

     dM » 0,09(7) » 0,098.

4. Определение структурной компактности ГСУ

     Структурная компактность – это характеристика ГУ, отражающая близость элементов структуры между собой.

     Структурная компактность определяется на основе матрицы расстояний по формуле:

      .

     Для получения определенного результата элементы матрицы, имеющие бесконечное  значение, заменяются предельным значением, равным количеству элементов в ГСУ (приложение Д).

     Структурная компактность может принимать значения от 0 до 1, причем, чем значение ближе к 1, тем структура ГСУ ближе к структуре полного графа.

     Для ГСУ «Школа» структурная компактность равна:

      ;

      ;

     dR » 0,627(2) » 0,627.

5. Определение неравномерности  связей в структуре

     Неравномерность связей в структуре характеризует однородность (регулярность) структуры управления. Степень однородности структуры влияет на количество затрат по организации управления и эксплуатацию СУ

     Неравномерность связей характеризуется нормированным значением:

      ,

     где - средняя степень вершин ГСУ,

      - среднее квадратическое отклонение степени.

     Стоит отметить, что чем больше нормированное значение приближено к нулю, тем ближе структура ГСУ к однородной.

     Для СУ «Школа» нормированное значение определили следующим образом.

     Сначала определили среднюю степень вершин ГСУ:

      ;

     r = 4,625.

     Далее перешли к определению среднего квадратического отклонения.

      ;

      ;

     

     s » 4,064.

     После определили нормированное значение для исследуемой системы:

     h » ±0,879.

6. Определение степени централизации  структуры ГСУ

     Степень централизации структуры - свойство, характеризующее близость топологии структуры ГСУ к стандартной централизованной структуре.

     Степень центральности определяется с помощью  определения индекса центральности по формуле:

      .

     Индекс  центральности вычисляется только для связных неориентированных  графов.

     Степень централизации структуры может изменяться от 0 до 1, причем, чем значение ближе к 1, тем структура ГСУ более централизована, значения, приближенные к 0 говорят об однородности структуры ГСУ.

     Для ГСУ «Школа» степень централизации  определили следующим образом.

     Поскольку ГСУ «Школа» является орграфом, первым шагом преобразовали его в неориентированный граф (приложение Е).

     Далее построили матрицу расстояний R для неориентированного графа (приложение Ж).

     На  основе матрицы расстояний для неориентированного ГСУ «Школа» вычислили индекс центральности системы:

      ;

      ;

     d » 0,862 » 86,2%.

7. Определение рангов элементов ГСУ

     Ранги элементов позволяют расположить  элементы СУ по уровням иерархии. 
Ранжирование элементов СУ выполняется с помощью алгоритма ранжирования – «алгоритма определения порядковой функции» или «алгоритма упорядочения вершин».

     Ранжирование  элементов СУ выполняется только в безконтурном орграфе.

     Для ГСУ «Школа» степень централизации  определили следующим образом.

     Поскольку ГСУ «Школа» является контурным орграфом, первым шагом преобразовали его в безконтурный орграф путем удаления дуг обратной связи (приложение И). Далее определили полустепени захода элементов СУ (таблица 2):

Таблица 3 - Полустепени захода элементов безконтурного ГСУ "Школа"

     Вершинам, имеющим нулевую степень захода, присвоили самый высокий ранг, равный 0. В СУ «Школа» это вершины под номерами: 8, 9, 11, 12, 13, 14, 15, 16.

     Далее определили вершины, смежные только от вершин нулевого ранга и не от каких больше; им присвоили ранг, равный 1. В СУ «Школа» это вершины под номерами: 1, 10.

     Выполнение  алгоритма ранжирования продолжали до тех пор, пока всем элементам СУ не были присвоены соответствующие ранги.

     Результат ранжирования вершин СУ «Школа» представлен  в приложении К.

4. Определение сильных компонент  и топологическая декомпозиция структуры ГСУ

     Наличие сильных компонент в структуре  ГСУ определяет СУ как обладающую лучшими структурными свойствами по управлению, причем чем больше в структуре СУ сильных компонент, тем лучше. В идеале в структуре ГСУ должна выделяться одна сильная компонента – максимально связный орграф, обладающий наилучшими управленческими свойствами.

     Сильные компоненты в ГСУ выделяются с  помощью алгоритма топологической декомпозиции структуры на основе матрицы достижимостей.

     Для ГСУ «Школа» сильные компоненты структуры выделили следующим образом.

     На  основе построенной ранее матрицы  достижимостей D (таблица В.4) вывели транспонированную матрицу достижимостей D_T (таблица Л.1).

     Путем перемножения вышеуказанных матриц получили так называемую матрицу  Адамара D_А (таблица Л.2).

     В результате анализа матрицы Адамара выявлено 4 максимального скопления единиц, значит, в структуре исследуемой СУ можно выделить 4 сильные компоненты. Это приближает ГСУ «Школа» к сильно связному орграфу и характеризует СУ с положительной стороны; степень свойств управления в исследуемой СУ довольно велика.

 

3. Анализ  характеристик ГСУ  и рекомендации по совершенствованию структуры СУ

     Итак, стоит дать обобщенный анализ исследуемой  СУ «Школа».

     Ниже  приведена сравнительная таблица  значений основных числовых (в частности, структурно-топологических) характеристик различных по типу СУ, содержащая также соответствующие значения параметров СУ «Школа», вычисленные в ходе структурного анализа исследуемой системы.