Автор работы: Пользователь скрыл имя, 22 Ноября 2011 в 05:26, биография
Андре́й Никола́евич Колмого́ров (урождённый Катаев, 12 (25) апреля 1903, Тамбов — 20 октября 1987, Москва) — советский математик, один из крупнейших математиков ХХ века.
Колмогоров — один из основоположников современной теории вероятностей, им получены фундаментальные результаты в топологии, геометрии, математической логике, классической механике, теории турбулентности, теории сложности алгоритмов, теории информации, теории функций, теории тригонометрических рядов, теории меры, теории приближения функций, теории множеств, теории дифференциальных уравнений, теории динамических систем, функциональном анализе и в ряде других областей математики и её приложений. Колмогоров также автор новаторских работ по философии, истории, методологии и преподаванию математики.
В 1994 году Российская академия наук установила премию имени самого А. Н. Колмогорова, вручаемую «за выдающиеся результаты в области математики».
Ученики А. Н. Колмогорова
Многие из учеников Колмогорова, обретая самостоятельность, начинали играть ведущую роль в избранном направлении исследований, сами создавали собственные научные школы в различных направлениях математики. Академик с гордостью подчёркивал, что наиболее дороги ему ученики, превзошедшие учителя в научных поисках.
| Мне
повезло на талантливых
учеников. Многие из
них, начав работу
вместе со мной в
какой-нибудь области,
потом переходили
на новую тематику
и уже совершенно
независимо от меня
получали замечательные
результаты. Скажу
в виде шутки, что
в настоящее время
один из моих учеников
управляет земной
атмосферой (А.
М. Обухов),
а другой — океанами (А.
С. Монин).
А. Н. Колмогоров |
Можно только примерно составить список многочисленных учеников А. Н. Колмогорова. Среди указанных ниже математиков основная часть — это те, которые сами признавали себя учениками Колмогорова или испытывали его влияние, у большинства он являлся непосредственным руководителем кандидатской диссертации, или руководителем дипломных работ
Академики и члены-корреспонденты
|
|
Доктора и кандидаты физико-математических наук
|
|
|
«Косвенные» ученики
|
|
|
Ближайшие сотрудники и помощники
|
|
|
Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей
Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятий и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.
Пусть — множество элементов , которые называются элементарными событиями, а — множество подмножеств , называемых случайными событиями (или просто — событиями), а — пространством элементарных событий.
.
Совокупность объектов , удовлетворяющая аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).
Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: состоит из единственного элемента , — из и множества невозможных событий (пустого множества) , при этом положено . Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.
Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом
Обычно можно предполагать, что система рассматриваемых событий которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число n раз и если при этом через m обозначено число наступления события x, то отношение m / n будет мало отличаться от . Далее ясно, что , так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события всегда m = n, благодаря чему естественно положить (аксиома III). Если, наконец, x и y несовместны между собой (то есть события x и y не пересекаются как подмножества ), то m = m1 + m2, где m,m1,m2 обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события x + y,x,y. Отсюда следует:
Следовательно, является уместным положить
(аксиома IV).
Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства
В отличие от
элементарной теории вероятностей, теоремы,
которые выводятся в общей
математической теории вероятностей,
естественно применяются также
и к вопросам, связанным с бесконечным
числом случайных событии, однако при
изучении этих последних применяются
существенно новые принципы. В
большей части современной
событий из такой, что
имеет место равенство
Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство , которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий конечна, аксиома V следует из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.
Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.