Сетевое планирование

Результатом применения метода Монте-Карло является:

• гистограмма, которая показывает вероятность времени реализации проекта (рисунок 8);

 

Рисунок 8. Гистограмма метода Монте-Карло

• индекс критичности.

2.4 Метод оценки и пересмотра  планов (ПЕРТ, PERT)

 

Метод оценки и  пересмотра планов PERT представляет собой  разновидность анализа по методу критического пути с более критичной  оценкой продолжительности каждого  этапа проекта. Этот метод используется, когда для операции сложно задать и определить точную длительность.

Метод PERT отличается от CPM тем, что здесь длительность процессов характеризуется тремя оценками [8].

• Оптимистичная оценка времени a , когда предполагается, что выполнение процесса будет происходить максимально быстро.
• Наиболее вероятная оценка времени m , когда предполагается, что выполнение процесса будет происходить нормально.
• Пессимистическая оценка времени b, когда предполагается, что выполнение процесса будет происходить очень медленно.

В большинстве случаев в системе PERT принимается бета-распределение продолжительности работ, показанное на рисунке 9, где μ обозначает среднюю продолжительность. Значение μ зависит от того, насколько близко находятся значения a и b к m.

Ожидаемая продолжительность  работы приближенно определяется как 

 

                                     (2.12)

 

Поскольку фактическая  продолжительность может отличаться от среднего значения, необходимо знать дисперсию продолжительности работы. У большинства унимодальных распределений (т.е распределений с одним максимумом) крайние значения отстоят на три среднеквадратических отклонения от среднего значения. Таким образом, размах распределения равен шести среднеквадратическим отклонениям (σ)

Рисунок 9. Бета-распределение продолжительности работ.

 

Итак, 6σ=b-a , или

 

                                                        (2.13)

 

Дисперсия продолжительности работ равна

 

                                                                                            (2.14)

 

В системе PERT с помощью трех оценок продолжительности всех работ по этим формулам для μ и σ² вычисляется средняя продолжительность и ее дисперсия для каждой работы. Рассматривая среднее значения как фактическая продолжительность работы, можно  найти критический путь. Продолжительность проекта Т определяется как сумма продолжительностей всех работ, находящихся на критическом пути. Однако продолжительности работ являются случайными величинами. Следовательно, продолжительность проекта Т также является случайной величиной, и можно говорить о средней продолжительности проекта и ее дисперсии.

Ожидаемая продолжительность проекта равна сумме всех средних продолжительностей работ, находящихся на критическом пути. Аналогично дисперсия продолжительности проекта равна сумме всех дисперсия продолжительности работ, находящихся на критическом пути, при допущении, что продолжительности всех работ независимы.

Пример 2. Рассмотрим проект, состоящий из девяти работ (A, B, D, F, H и I), с отношениями предшествования и оценками продолжительности, показанными в таблице 2. Вначале вычислим среднюю продолжительность и дисперсию для каждой работы. Полученные данные приведены в таблице 3.

 

 

Таблица 2

Отношения предшествования  и оценки продолжительности 

 

Работа	Предшествующие работы	Оценка продолжительности
		Оптимистическая a	Наиболее вероятная m	Пессимистическая b
A	-	2	5	8
B	A	6	9	12
C	A	6	7	8
D	B,C	1	4	7
E	A	8	8	8
F	D,E	5	14	17
G	C	3	12	21
H	F,G	3	6	9
I	H	5	8	11

 

Таблица 3

Средняя продолжительность работ и среднеквадратическое отклонения

 

Работа	Средняя продолжительность	Среднеквадратическое  отклонение	Дисперсия
A	5	1	1
B	9	1	1
C	7	1	1
D	4	1	1
E	8	0	0
F	13	2	4
G	12	3	9
H	6	1	1
I	8	1	1

 

На рисунке 10 показана сетевая модель проекта с обозначением работ в виде дуг, где числа над дугами показывают среднюю продолжительность работ. С помощью средних продолжительности работ вычисляются наиболее ранний возможный и наиболее ранний возможный и наиболее поздний допустимый сроки  наступления каждого события. Критический путь определяется как

 

Соответственно  критическими работами являются A, B, D, F, H и I

Обозначим через Т продолжительность проекта. Тогда ожидаемая продолжительность проекта равна сумме ожидаемых продолжительностей работ A, B, D, F, H и I: E(T) = 5+9+4+13+6+8 =45 суток Дисперсия продолжительности проекта равна сумме дисперсий         продолжительности работ A, B, D, F, H и I: V(T) = 1+1+1+4+1+1 =9 Среднеквадратическое отклонение продолжительности проекта равно

 

           

Рисунок 10. Пример сетевой модели проекта

 

Вероятности завершения проекта

Продолжительность проекта Т равна сумме продолжительностей всех работ, находящихся на критическом пути. В системе PERT предполагается, что продолжительность всех   работ независимы и распределены по одному закону. Следовательно, в силу центральной предельной теоремы, случайная величина T имеет нормальное распределение с математическим ожиданием E(T) и дисперсией V(T) На рисунке 11 показано нормальное распределение с математическим ожиданием μ и дисперсией σ².

 

Рисунок 11. Нормальное распределение с математическим ожиданием μ и среднеквадратическим отклонением σ.

 

В нашем примере  продолжительность Т имеет нормальное распределение с математическим ожиданием равным 45, и среднеквадратическим отклонением, равным 3. В случае нормального распределения вероятность того, что значение случайной величины отличается от математического ожидания не более чем на одно среднеквадратическое отклонение,  равна 0,68. Следовательно, с вероятностью 068 продолжительность проекта составит от 42 до 48 суток. Аналогично с вероятностью 0,997 продолжительность проекта Т будет отличаться от среднего значения не более чем на три среднеквадратических отклонения (от 36 до 54).

Можно также  вычислить вероятность завершения проекта к определенному сроку. Например, руководителям нужно знать вероятность осуществления проекта за 50 дней. Иными словами, требуется вычислить

, где Т – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожиданием, равным 45, и дисперсий равной 9. Это вероятность можно найти с помощью таблицы для нормированного нормального распределения с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением, равным 1.

Согласно теории вероятностей, случайная величина имеет нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и среднеквадратическим отклонением, равным 1.

 

                                                (2.15)

 

 

Следовательно,

 Таким образом, вероятность того, что проект будет закончен за 50 суток, составляет 0,95.

Допустим, что  необходимо знать вероятность завершения проекта на 4 дня раньше, чем ожидается. Это означает, что требуется вычислить 

Следовательно, вероятность того что проект будет закончен через 41 суток, составляет всего 0,09.

 

2.5 Метод графической оценки и  анализа (GERT)

 

Метод графической  оценки и анализа (метод GERT) применяется  в тех случаях организации  работ, когда последующие задачи могут начинаться после завершения только некоторого числа из предшествующих задач, причем не все задачи, представленные на сетевой модели, должны быть выполнены для завершения проекта.

Основу применения метода GERT составляет использование  альтернативных сетей, называемых в терминах данного метода GERT-cетями.

GERT-сеть имеет  следующие свойства:

• сеть состоит из узлов, реализующих логические функции, и направленных ветвей. Узлам соответствуют события или цели проекта. Ветвям соответствуют работы (операции) проекта и (или) процессы передачи определенной информации. Логические функции предназначены для моделирования взаимосвязей выполнения работ и реализации событий;
• выделяют узел источник, как правило, предназначенный для описания момента начала выполнения работ по проекту и один или несколько узлов стоков, предназначенных для описания моментов завершения проекта (этапа проекта);
• под реализацией стохастической сети понимается реализация определенной совокупности ветвей и узлов, достаточной для достижения цели проекта (реализации задаваемого определенного набора узлов стоков) [15].

По существу GERT-сети позволяют более адекватно  задавать сложные процессы строительного  производства в тех случаях, когда  затруднительно или невозможно (по объективным причинам) однозначно определить какие именно работы и в какой последовательности должны быть выполнены для достижения намеченного результата (т.е. существует многовариантность реализации проекта).

Следует отметить, что "ручной" расчет GERT-сетей, моделирующих реальные процессы, чрезвычайно сложен, однако программное обеспечение для вычисления сетевых моделей такого типа в настоящее время, к сожалению, не распространено [15].

 

2.6 Дополнительные методы расчета  сетевого графика

 

Расчет  сетевого графика методом диагональной таблицы (иногда этот метод называют матричным) ведется с ориентацией на события, а не на работы. В начале вычерчивается квадратная сетка, в которой число строк и число граф равно числу событий графика (рисунок 12).

 

	0	1	2	3	4	5
0
1
2
3
4
5

Рисунок 12. Табличная форма для метода диагональной таблицы

 

Затем слева, сверху вниз, проставляются все номера начальных  событий (индекс i), а вверху слева направо – номера конечных событий (индекс j). В ячейках на пересечении начального и конечного событий проставляются значения продолжительности работ (t_i-j).Рассмотрим сетевой график , изображенный на рисунке 13, заполним его данными диагональную таблицу (таблица 3)

 

Рисунок 13. Сетевой график для расчета методом диагональной таблицы

 

Из таблицы 4 видно, сколько и какие работы из событий выходят и сколько и какие работы из событий выходят и сколько и какие работы в события входят. Так, из события 2 выходят две работы –2–3 и 2–4, продолжительность которых 8 и 7 дней соответственно 10 и  6 дней соответственно. При правильном заполнении таблицы значения продолжительности работ должны образовать диагонали.