Использование приема конструирования для развития творческих способностей младших школьников в процессе изучения элементов геометрии

1. Выделяются основные  понятия геометрии, которые принимаются  без определений.

2. Формулируются аксиомы,  в которых раскрываются свойства  основных понятий, нужные для  построения геометрии, т.е. аксиомы  по существу являются неявными  определениями основных понятий (в остальном природа основных понятий безлична). Система аксиом должна удовлетворять ряду условий.

3. Дальнейшее построение  геометрии ведется в соответствии со следующими требованиями:

а) всякое геометрическое понятие (термин), если оно не основное, определяется через основные или ранее определенные понятия;

б) всякое геометрическое предложение (теорема, признак, следствие) доказывается на основе аксиом или ранее доказанных теорем.

Чертежи при таком  построении геометрии играют вспомогательную роль.

 

1.3. Система  геометрических понятий, определяющих  методику формирования геометрических  представлений у младших школьников

Основными геометрическими  понятиями планиметрии являются: отрезок, луч; угол (прямой, острый, тупой), смежные углы, вертикальные углы; параллельные прямые, перпендикулярные прямые; треугольник (прямоугольный, остроугольный, тупоугольный, равнобедренный, равносторонний); четырехугольник (выпуклый, невыпуклый), параллелограмм, трапеция, прямоугольник, ромб, квадрат; многоугольник (выпуклый, невыпуклый), многоугольная фигура; окружность, касательная к окружности, круг. Эти понятия лежат в основе методики формирования геометрических представлений у младших школьников в процессе изучения математики [51].

Угол - это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало - его вершиной.

Угол обозначают по-разному: указывают  либо его вершину, либо его стороны, либо три точки: вершину и две  точки на сторонах угла: ∟А, ∟(k, l), ∟ABC.

Угол называется развернутым, если его стороны лежат на одной прямой.

Угол, составляющий половину развернутого угла, называется прямым. Угол, меньший прямого, называется острым. Угол, больший прямого, но меньший развернутого, называется тупым.

Кроме понятия угла, данного выше, в геометрии рассматривают понятие  плоского угла. Плоский угол - это часть плоскости, ограниченная двумя различными лучами, исходящими из одной точки.

Существуют два плоских угла, образованных двумя лучами с общим началом. Они называются дополнительными. На рисунке изображены два плоских угла со сторонами ОА и ОВ один из них заштрихован. Углы, которые рассматривают в планиметрии, не превосходят развернутого.

                                                                                                        С

                                                                 А                О

                                                                                                        Д

                                                               В

Рис. 1

Треугольник - одна из простейших геометрических фигур. Но его изучение породило целую науку - тригонометрию, которая возникла из практических потребностей при измерении земельных участков, составлении карт местности, конструировании различных механизмов [25].

Первые упоминания о  треугольнике и его свойствах  содержатся в египетских папирусах. Например, в них предлагается находить площадь равнобедренного треугольника как произведение половины основания на боковую сторону, хотя для любого равнобедренного треугольника с малым углом при вершине, противоположной основанию, такой способ дает приближенное значение площади. Многие свойства треугольников были открыты и доказаны математиками Древней Греции. Среди них - знаменитая теорема Пифагора.

Треугольником называется геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

Любой треугольник разделяет  плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из треугольника и его внутренней области, также называют треугольником (или плоским треугольником). В любом треугольнике выделяют следующие элементы: стороны, углы, высоты, биссектрисы, медианы, средние линии.

Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на противоположной стороне.

Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны.

Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона называется основанием треугольника.

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков, причем никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки называются вершинами четырехугольника, а соединяющие их отрезки - его сторонами.

Любой четырехугольник  разделяет плоскость на две части: внутреннюю и внешнюю. Фигуру, состоящую из четырехугольника и его внутренней области, также называют четырехугольником (или плоским четырехугольником).

Вершины четырехугольника называют соседними, если они являются концами одной  из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими. Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями.

Стороны четырехугольника, исходящие  из одной вершины, называются соседними. Стороны, не имеющие общего конца, называются противолежащими [2].

          

Рис. 2

 У четырехугольника  АВСD  вершины А и В - соседние, а вершины А и С – противолежащие; стороны АВ и ВС – соседние, ВС и АD – противолежащие; отрезки АС и ВD – диагонали данного четырехугольника.

Четырехугольники бывают выпуклые и невыпуклые. Так, четырехугольник АВСD - выпуклый, а четырехугольник КРМТ невыпуклый. Среди выпуклых четырехугольников выделяют параллелограммы и трапеции.

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны параллельны.

                                                    М

                                    В                                      С

 

                       А           Е                     Д                  Рис. 3

Пусть АВСD – параллелограмм. Из вершины В на прямую АВ опустим перпендикуляр ВЕ. Тогда отрезок ВЕ называется высотой параллелограмма, соответствующей сторонам ВС и АD. Отрезок СМ – высота параллелограмма АВСD, соответствующая сторонам СD и АВ.

Чтобы упростить распознавание  параллелограммов, рассматривают следующий признак: если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то данный четырехугольник – параллелограмм.

Трапецией называется четырехугольник, у которого только две противолежащие стороны параллельны.

Эти параллельные стороны называются основаниями трапеции. Две другие стороны называются боковыми. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапецией. Средняя линия трапеции обладает следующим свойством: она параллельна основаниям и равна их полусумме. Из множества параллелограммов выделяют прямоугольники и ромбы.

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Пользуясь этим определением, можно доказать, что диагонали ромба пересекаются под прямым углом и являются биссектрисами его углов. Из множества прямоугольников выделяют квадраты. Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Обобщением понятия треугольника и четырехугольника является понятие  многоугольника. Определяется оно через  понятие ломаной.

Ломаной А А А … А называется фигура, которая состоит из точек А , А , А , … , А и соединяющих их отрезков А А ,  А А , … , А А . Точки А ,  А , А , … , А называются вершинами ломаной, а отрезки А А , А А ,…, А А   - ее звеньями. Если ломаная не имеет самопересечений, то она называется простой. Если ее концы совпадают, то она называется замкнутой.

        

Рис. 4

Многоугольником называется простая замкнутая ломаная, если ее соседние звенья не лежат на одной прямой.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а ее звенья - его сторонами. Отрезки, соединяющие  не соседние вершины, называются диагоналями.

Любой многоугольник  разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая - внешней областью многоугольника (или плоским многоугольником).

Различают выпуклые и  невыпуклые многоугольники. Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны и все углы равны. Правильным является равносторонний треугольник, правильным четырехугольником - квадрат.

Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой центром.

Любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром, называется радиусом окружности. Радиусом называется также расстояние от любой точки окружности до ее центра.

Отрезок, соединяющий  две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

                       

                                                           а)                      б)

                           Рис. 5                                                Рис. 6

Кругом называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, находящихся на расстоянии, не большем данного, от данной точки. Эта точка называется центром круга, а данное расстояние - радиусом круга.

Границей круга является окружность с теми же центром и  радиусом.

 

 

 

ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1

 

В первой главе выпускной квалификационной работы раскрыты теоретические основы формирования геометрических представлений у младших школьников в процессе изучения математики.

Здесь рассмотрены факты из истории возникновения  и развития геометрии, аксиоматическое построение геометрии и система геометрических понятий, изучаемых в школе.

Геометрия зародилась в  Древнем Египте пять- шесть тысяч  лет назад и первоначально  была набором правил, которые помогали измерять длины, площади, объемы и решать другие практические задачи. В Древней Греции геометрия стала теоретической наукой. В 3 в. до н.э. Евклид построил ее на аксиоматической основе. Эта форма оказалась настолько совершенной, что две тысячи лет работа Евклида «Начала» была основным руководством по геометрии, которую стали называть евклидовой.

В первой главе исследования дана формулировка аксиом геометрии, на основе аксиом и основных геометрических понятий формулируются остальные геометрические понятия; даны понятия плоских (отрезок, луч, треугольник, четырехугольник, окружность, круг) и пространственных (многогранник, призма, параллелепипед, куб, шар, цилиндр) геометрических фигур, изучены их основные свойства. Кроме того, было выяснено, что при изображении их на плоскости используются свойства  параллельного проектирования.

Знание этого материала  и умение применять к решению  несложных геометрических задач является той основой, на которой можно строить методику формирования геометрических представлений у младших школьников в процессе изучения математики.

 

 

 

ГЛАВА 2. Методические аспекты использования приема конструирования для развития творческих способностей младших школьников в процессе изучения элементарной геометрии

 

2.1. Понятие конструктивной деятельности, виды конструирования

Опыт показывает, в  раскрытии и реализации творческого потенциала младших школьников занимает заметное место такая предметно-практическая деятельность, как конструирование, которое позволяет органически соединить умственную и практическую деятельность. В процессе работы над практическими заданиями у младших школьников проявляется способность задуматься над различными фактами, что предопределяет возможность для самостоятельного мышления. Целенаправленность творческих задач, определенная последовательность разных видов конструирования в учебном процессе (от конструирования по образцу к проектированию, познавательная ценность, самостоятельное осмысление деятельности и т. д. в системе конструирования) способствуют формированию интеллектуально-практической культуры детей, которая может стать в дальнейшем надежной базой для освоения самых разных видов деятельности.

Процесс изготовления любого изделия начинается с выполнения эскизов, зарисовок лучших образцов, составления вариантов композиций. Выполнение макетирования предваряется подбором материалов по их технологическим свойствам, цвету и фактуре поверхности, выбором художественной отделки изделия. Во всех видах конструирования отражена активная, преобразующая, творческая сущность и вся мыслительная деятельность направлена на разработку и создание гармоничной окружающей среды [44]/