Автор работы: Пользователь скрыл имя, 09 Декабря 2010 в 20:19, реферат
Логарифмы были придуманы для ускорения и упрощения вычислений. Идея логарифма, т. е. идея выражать числа в виде степени одного и того же основания, принадлежит Михаилу Штифелю. Но во времена Штифеля математика была не столь развита и идея логарифма не нашла своего развития. Логарифмы были изобретены позже одновременно и независимо друг от друга шотландским учёным Джоном Непером(1550-1617) и швейцарцем Иобстом Бюрги(1552-1632) Первым опубликовал работу Непер в 1614г. под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов», теория логарифмов Непера была дана в достаточно полном объёме, способ вычисления логарифмов дан наиболее простой, поэтому заслуги Непера в изобретении логарифмов больше, чем у Бюрги. Бюрги работал над таблицами одновременно с Непером, но долгое время держал их в секрете и опубликовал лишь в 1620г. Идеей логарифма Непер овладел около1594г. хотя таблицы опубликовал через 20 лет.
x2 + 6x-7 = 0,
откуда x1 = -7 и x2 = 1. После проверки остается x = 1.
3.
Использование свойств
логарифма
Пример
3. Решить уравнения
a) log3x + log3(x + 3) = log3(x + 24), |
b) log4(x2 - 4x + 1) - log4(x2 - 6x + 5) = -1/2 |
c) log2x + log3x = 1 |
Решение.
a) ОДЗ уравнения есть множество x
Î (0;+¥) которое определяется из системы
неравенств (условия существования логарифмов
уравнения)
x > 0, | |
x+3 > 0, | |
x+24 > 0. |
Используя
свойство P2 и утверждение 1, получим
|
|
Û | |||||||||||||||
|
|
|
Û x = 4. |
b)
Используя свойство P3,
получим следствие исходного уравнения
откуда,
используя определение
или
x2
- 4x + 1 = 1/2(x2 - 6x
+ 5),
откуда
получаем уравнение
x2
- 2x - 3 = 0
с решениями x1 = -1 и x = 3. После проверки остается лишь x = -1.
c)
ОДЗ уравнения: x Î (0;+¥). Используя
свойство P5, получим уравнение
log2x(1
+ log32) = 1,
откуда
или
или log2x = log63. Следовательно,
Логарифмические
неравенства
Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или в его основании называется логарифмическим неравенством. В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.
Утверждение 1. Если
a > 1, то неравенство loga
f(x) > loga g(x) равносильно
системе неравенств
f(x) > g(x), | |
g(x) > 0. |
Утверждение 2. Если
0 < a < 1, то неравенство loga
f(x) > loga g(x) равносильно
системе неравенств
f(x) < g(x), | |
f(x) > 0. |
Утверждение 3. Неравенство
logh(x) f(x) > logh(x)
g(x) равносильно совокупности систем
неравенств
h(x) > 1, | ||
f(x) > g(x) > 0, | ||
0 < h(x) < 1, | ||
0 < f(x) < g(x). |
Подчеркнем, что в неравенстве loga f(x) > loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ≥ , < , ≤ . В этом случае утверждения 1-3 соответственно преобразуются.
Пример
1. Решить неравенства
a) log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8); | |
b) | |
c) |
Решение.
a) Используя утверждение
1 , получим
log3(x2 - x) ≥ log3(x + 8) | x2 - x ≥ x + 8, | x2 - 2x - 8 ≥ 0, | ||
x+8 > 0, | x > -8, |
x ≤ -2, | |||
x ≥ 4, | x (-8;-2] [4;+∞). | ||
x > -8, |
b)
Основание логарифма число
c)
Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим
Запишем
и, используя утверждение
2, получим
Показательными называются неравенства, в которых неизвестное содержится в показателе степени.
При решении показательных неравенств используются следующие утверждения:
A.1. Если a > 1, неравенство
a
f(x) > a
g(x)
равносильно
неравенству
f(x) > g(x).
Аналогично,
a f(x) < a
g(x) ; f(x) < g(x).
A.2. Если 0 < a <
1, неравенство
a
f(x) > a
g(x)
равносильно
неравенству
f(x) < g(x).
Аналогично, a f(x) < a g(x) ; f(x) > g(x).
A.3.
Неравенство
[h(x)] f(x) > [h(x)] g(x) | (1) |
равносильно
совокупности систем неравенств
h(x) > 1, | ||
f(x) > g(x), | ||
0 < h(x) < 1, | ||
f(x) < g(x). |
Замечание..
Если знак неравенства (1) нестрогий, дополнительно
рассматривается и случай
h(x) = 1, | |
x Î D(f); D(g), |
где D(f) (D(g)) означает область определения функции f (g).
A.4. Если b ≥ 0, неравенство
af(x)
< b
не имеет решений (следует из свойств показательной функции).
A.5. Если b ≤ 0, множеством решений неравенства af(x) > b является x D(f).
A.6. Если a > 1, b
> 0, неравенство
af(x) > b
равносильно
неравенству
f(x) > logab.
Аналогично,
a f(x) < b ; f(x)
< logab.
A.7.
Если 0 < a < 1, b > 0, неравенство
a
f(x) > b