Системы линейных уравнений

Методы Крамера сразу же получили дальнейшее развитие в трудах Безу, Вандермонда и Кэли, которые и завершили создание основлинейной алгебры. Теория определителей быстро нашла множество приложений в астрономии и механике (вековое уравнение), при решении алгебраических систем, исследовании форм и т.д.

Крамер провёл классификацию алгебраических кривых до пятого порядка включительно. Любопытно, что во всём своём содержательном исследовании кривых Крамер нигде не использует математический анализ, хотя он бесспорно владел этими методами.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Если определитель системы  двух или трех линейных уравнений  с двумя или тремя неизвестными отличен от нуля, то система имеет  единственное решение, причем каждое неизвестное  равно дроби, знаменателем которой  служит определитель системы, а числителем определитель, получаемый из знаменателя  заменой столбца коэффициентов  при определяемом неизвестном столбцом сводных членов.

Для системы n линейных уравнений с n неизвестными (над произвольным полем)

с определителем  матрицы системы Δ, отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). 
В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство:

В этой форме  формула Крамера справедлива без предположения, что Δ отлично от нуля, не нужно даже, чтобы коэффициенты системы были бы элементами целостного кольца(определитель системы может быть даже делителем нуля в кольце коэффициентов). Можно также считать, что либо наборы b₁,b₂,...,b_n и x₁,x₂,...,x_n, либо набор c₁,c₂,...,c_n состоят не из элементов кольца коэффициентов системы, а какого-нибудь модуля над этим кольцом. В этом виде формула Крамера используется, например, при доказательстве формулы для определителя Грама и Леммы Накаямы.

  

 

4.2 Метод Гаусса

Иоганн Карл Фридрих Гаусс  — великий немецкий математик, астроном и физик, считается одним из величайших математиков всех времён.

Гаусс дал первые строгие, даже по современным критериям, доказательства основной теоремы алгебры.

Он открыл кольцо целых комплексных гауссовых чисел, создал для них теорию делимости и с их помощью решил немало алгебраических проблем. Указал знакомую теперь всем геометрическую модель комплексных чисел и действий с ними.

Гаусс дал классическую теорию сравнений, открыл конечное поле вычетов по простому модулю, глубоко проник в свойства вычетов.

Метод Гаусса — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которого последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

Пусть исходная система выглядит следующим  образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных  .

Тогда переменные   называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если  хотя бы одно число  , где i > r, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть, что   для любых i > r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений  системы на свой коэффициент при  самом левом   ( , где   — номер строки):

, 
где 

Если  свободным переменным системы (2) придавать  все возможные значения и решать новую систему относительно главных  неизвестных снизу вверх(то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Алгоритм  решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

• На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получавшуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.
• На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава V. Результаты проведенного исследования.

В ходе работы выяснилось, что существует множество методов решения систем уравнений. Подход зависит от типа системы. Кроме известных методов решения  найдены новые: метод Крамера, Гаусса. Рассмотрим решение систем уравнений данными способами на конкретных примерах.  

Задание 1.

На примере решения  системы уравнений , предложенной абитуриентам МЭСИ, рассмотрим все методы решения систем линейных уравнений и определим наиболее рациональный.

1. Метод подстановки:

;        ;

 

 

 

 

 

 

Ответ: (60;15)

2. Метод алгебраического сложения:

 

           +

 

 

 

Ответ: (60;15)

3. Метод сравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: (60;15)

4. Определители (метод Крамера)

 

 

 

 

 

=

 

 

 

Ответ: (60;15)

 

Задание 2.

 

Найдите наибольшее целое  значение параметра с, при котором  система уравнений , не имеет решений (А.К.Дьячков «Математика 1 часть: Справочные материалы, контрольно-тренировочные упражнения, задания с развернутым ответом», с 130 № 14).

 

I способ.

;           

Уравнение системы определяет прямую на плоскости. Система уравнений не имеет решений, если прямые параллельны, т.е. если , то

Для данной системы справедливо  равенство

 

Составим систему, объединяющую эти условия:

 

, .

 

 

 

По теореме Виета

 

Ответ: наибольшее целое  значение параметра, при котором система уравнений не имеет решений .

 

II способ.

;           

Если хотя бы один из коэффициентов  при неизвестных в системе  отличен от нуля, то эта система  не имеет решений, когда ее определитель , а хотя бы один из определителей не равен нулю.

 

 

По теореме Виета

 

Проверка

 

 

 

Ответ: наибольшее целое  значение параметра, при котором  система уравнений не имеет решений .

 

Задание 3.

 

Найти все значения a, при которых не имеет решений система уравнений:

 

 

Решение.

Если хотя бы один из коэффициентов  при неизвестных в системе  отличен от нуля, то эта система  не имеет решений, когда ее определитель , а хотя бы один из определителей не равен нулю.

 

 

 

По теореме Виета

 

Проверка

 

 

 

 

 

 

Ответ: при .

 

Задание 4.

 

Решить методом Гаусса систему уравнений:

 

Решение.

Умножим первое уравнение  системы на -3 и прибавим полученное уравнение ко второму уравнению. Затем умножим первое уравнение  на -2 и прибавим полученное уравнение  к третьему уравнению. Тогда придем к системе

Выразим у из второго и третьего уравнений системы.

Приравняем правые части  уравнений

Откуда z = -1

Выразим х из первого уравнения системы

Ответ:  1

 

 

Проанализировав все варианты, пришли к выводу, что системы линейных уравнений, у которых коэффициенты некратны или представляют собой  обыкновенные дроби, удобнее решать с помощью определителей.

Что касается систем линейных уравнений с параметрами –  здесь методы Крамера и Гаусса, основанные на использовании понятия определителей, также оказываются наиболее рациональными.

 

 

 

Заключение.

В ходе данной работы

• обобщила имеющиеся сведения о системах уравнений с двумя и тремя неизвестными, о методах из решения;
• изучила новые методы решения систем линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными – метод Крамера и метод Гаусса;
• выяснила, что данные методы наиболее рациональны при решении систем уравнений, у которых коэффициенты некратны или представляют собой обыкновенные дроби, а также систем с параметрами;
• составила банк задач для самостоятельного решения, который можно использовать для подготовки к выпускным и вступительным экзаменам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список литературы.

1. Абрамович М.И., Стародубцев М.Т. Математика (алгебра и элементарные функции) / Учебное пособие. – М.: Высшая школа, 1976. – 271 с.
2. Алгебра и элементарные функции / Справочник. – Киев: Наукова думка, 1976. – 686 с.
3. Брыжина Э.Ф. Математика / Сборник экзаменационных заданий для поступающих в Санкт-Петербургский государственный инженерно-экономический университет. – СПб.: СПбГИЭУ, 2001. – 135 с.
4. Гарбарук В.В. Квадратное уравнение. Теорема Виета. Квадратный трехчлен / Пособие для учащихся факультета довузовской подготовки. – СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2001. – 23 с.
5. Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. 3-е изд., дополненное и переработанное. – М.: Илекса, 1999. – 336 с.
6. Дьячков А.К. Математика 1 часть / Справочные материалы, контрольно-тренировочные упражнения, задания с развернутым ответом. 3-е изд. – Челябинск: Взгляд, 2008. – 191 с.
7. Кузнецова Л.В. Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе. 3-е изд. – М.: Просвещение, 2008. – 191 с.
8. Математика / Контрольно-измерительные материалы. - М.: Просвещение, 2008. – 23 с.
9. Математика / Практикум по подготовке к ЕГЭ. - М.: Вентана-Граф, 2008. – 22 с.
10. Универсальный справочник школьника. 5-11 класс. – СПб.: Весь, 2004. – 704 с.
11. Шабунин М.И. Пособие по математике для поступающих в ВУЗы. – М.: Лаборатория базовых знаний, 2002. – 640 с.
12. Шестаков С.А. Сборник задач для подготовки и проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. – М.: Астрель, 2007. – 255 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приложение.

Банк задач для самостоятельного решения.

№1

Найдите наименьшее целое  значение параметра  t, при котором решение системы уравнений

x – 2y = 1

3x + 2y = 2t – 1;     удовлетворяет неравенству x + y > 0.

     Ответ: Наименьшее  целое значение t = 1.

№2

Найдите значение параметра  а, при котором система уравнений

2x + ay = a + 2

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4;       имеет бесконечно много решений.

  Ответ: а = 3

№3

При каких значениях параметра  a уравнение      имеет единственное решение.

     Ответ: а  ≠ -1, а ≠ 3, а ≠ -5.

№4

При каких значениях  k уравнение 3х² +  kx +1 =0   не имеет корней? Приведите пример отрицательного значения k, при котором выполняется это условие.

     Ответ: При  -2 < k < 2 . Это условие выполняется при k = -1

№5

Найдите все целые значения m, при которых уравнение mx² – 5x +  m = 0 имеет 2 корня.

    Ответ: m = ±1; m = ± 2; m = ± 3; m = ±4.

 

№6

При каком значении k уравнение 4х³ + 4х² + kx = 0 имеет 2 корня? Найдите эти корни.

   Ответ: При k = 0, х₁ = 0, х₂ = -0,5.

№7

При каких значениях с  уравнение  -х² + 12х – 21 = с имеет корни?

     Ответ: При  с ≤ 15

    Ответ:  а = 8

№8

При каких значениях р неравенство х² – (2р + 2)х + 3р + 7 ≤ 0  не выполнятся ни при каких значениях х?

    Ответ: -2 < р < 3.

№9

Парабола  y = x² + px +q  пересекает ось абсцисс в точке(-1; 0), а ось ординат в точке(0;-5). Определите координаты второй точки пересечения параболы с осью абсцисс.

    Ответ: (5;0)

№10

Постройте график функции  y = -x² + 2|x|. Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая  y = m?

    Ответ: Если  m =1 и m < 0, то имеет 2 общие точки

                Если m = 0, то 3 общие точки

                Если 0 < m < 1, то 4 общие точки.

№11

Определите, при каких значениях  а системы уравнений имеют бесчисленное множество решений:

  а)      3х +аy = 3                                  б)      (a – 2) x + 27y = 4,5

           ax +3y = 3                                             2x + (a +1)y = -1