Страхование ренты бывает пожизненным или временным, немедленным или отсроченным, в зависимости оттого, выплачивается регулярный доход сразу после уплаты взносов или по истечении обусловленного периода.

      Для вывода соответствующих формул применим следующий ход рассуждений. Допустим, что страховая организация обязалась выплачивать застрахованному лицу в возрасту х лет в течении всей его жизни ежегодно  определенную денежную сумму и что эта выплата будет производиться с первого же года страхования в начале каждого года. Ее размер составляет 100000 руб. Предположим далее, что договоры заключили все лица в возрасте х лет. Тогда первая выплата будет произведена всем лицам lх немедленно после заключения договора страхования и составит l_х руб.

      Во  втором году будет выплачено l_х+1 руб. С момента заключения договора современная стоимость выплаты равна l_x+1V руб.

      Современная стоимость выплаты третьего года равна l_x+2V² руб, четвертого - l_x+3V³, пятого и так далее. Последняя выплата будет спустя w-х лет, где w - предельный возраст таблицы смертности. Современная стоимость последней выплаты l_wV^w-x руб.

      Современная стоимость финансовых обязательств страховщика, относящихся ко всем lx лицам, выразится суммой:

      l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_wV^w-x.

      Чтобы получить современную стоимость  взаимных обязательств страховщика и страхователя по отношению к одному лицу, то есть найти единовременную нетто-ставку по страхованию пожизненной ренты - пренумерандо, то есть выплачиваемой застрахованному лицу в начале каждого страхового года, надо эту сумму поделить на число лиц, вступивших в страхование:

      _wa_x=(l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_wV^w-x)/l_x

      где _wa_x - единовременная нетто-ставка по страхованию пожизненной ренты (пенсии) - пренумерандо.

      Если  рента выплачивается  не пожизненно, а в течении определенного  числа лет в начале каждого страхового года (пренумерандо) формула приобретет вид:

      _na_x=(l_х+ l_х+1V+ l_х+2V²+...+ l_x+n-1V^n-1)/l_x

      если  же в конце страхового года (постнумерандо):

      _na_x=( l_х+1V+...+ l_x+nVⁿ)/l_x

3.4. Понятие коммутационных  чисел. Методика  расчета нетто-ставок  через коммутационные числа

      Показатели, необходимые для вышеуказанных  расчетов, изменяются в таблицах смертности и дисконтирующих множителей. Однако, поскольку на практике приходится исчислять  тарифные ставки для многих возрастов  и на несколько  различных сроков, пришлось бы складывать, перемножать и делить очень длинные ряды крупных чисел, что очень трудоемко. С целью упрощения расчета тарифов применяются специальные технические показатели - коммутационные числа:

      D_x=l_xV^x 

      N_x=D_x+D_x+1+...+D_w 

      C_x=d_xV^x+1

      M_x=C_x+...+C_w

      R_x=M_x+...M_w

      Рассмотрим  принцип перевода в коммутационные числа формул, применяемых для  расчета тарифов, на примере единовременной нетто-ставки по дожитию.

      Известно, что, если числитель и знаменатель  дроби умножить на одинаковое число, абсолютная величина ее не изменится.

      Умножим правую часть формулы на Vx/Vx. Поскольку Vx/Vx=1, абсолютная величина останется той же. Таким образом,

      

                 (1)

      В результате аналогичных преобразований остальные формулы примут следующий вид:

      для исчисления единовременной нетто-ставки на случай смерти на определенный срок

                (2)

      для пожизненного страхования на случай смерти

      

      пожизненной ренты пренумерандо

      

      временной ренты пренумерандо

      

      Размер  временной ренты постнумерандо. То есть выплачивается не в начале, а в конце года, исчисляется  по формуле

      

      Приведем  в сокращенном виде таблицу коммутационных чисел. (Табл. 4)

      Таблица 4. 

 
 
 

      Пользуясь табл. 4 , рассчитаем единовременные нетто-ставки по дожитию и на случай смерти, например, при условии х=40, п=5 по формулам (1) и (2):

      ₅Е₄₀=D₄₅/D₄₀*100=23825/28283*100=84 руб 25 коп

      ₅А₄₀=M₄₀-M₄₅/D₄₀*100=11103-10502/28283*100=2 руб 13 коп

3.5. Методика перехода  от единовременной  к годичной нетто-ставке. Годичная нетто-ставка. Совокупная ставка  на случай смерти  и дожития, ее  анализ

      Ранее при расчетах нетто-ставки мы предполагали, что сумма подлежащих уплате взносов погашается единовременно в момент заключения договора страхования. Однако случаи единовременной оплаты страховых взносов практически встречаются редко. Большинству страхователей удобнее вносить платежи в течении всего срока страхования. Для этого исчисляются годичные нетто-ставки.

      Уплачивая страховой взнос единовременно, страхователь расходует меньше денег, чем при уплате взносов в течении  нескольких лет. Во-первых, при единовременной уплате большая денежная сумма поступает  сразу в хозяйственный оборот и на нее нарастают проценты. При годичных же взносах часть дохода, получаемого за счет процентов, теряется и, следовательно, годичные ставки не могут быть заранее уменьшены на такую же величину, как единовременные. Во-вторых, при единовременном взносе все страхователи уплачивают свои взносы, при годичной же уплате по ряду договоров взносы не будут уплачены полностью, поскольку часть застрахованных умирает в течении срока страхования.

      Следовательно, исчисляя размер годичной нетто-ставки, нельзя механически поделить единовременную ставку на число лет страхования. Нужно осуществить особый расчет с тем чтобы годичные ставки учитывали как потерю дохода на процентах, так и уменьшение числа застрахованных вследствии смертности.

      Переход от единовременной нетто-ставки к годичной осуществляется посредством применения коэффициентов рассрочки.

      Обычно  условия страхования, предоставляют  страхователю право помесячной уплаты взносов, ориентируются на возможность  погашения полной суммы годичного  взноса к концу страхового года. В ходе дальнейших рассуждений этот факт надо будет иметь ввиду.

      Каким должен быть размер ежемесячного взноса? Представим, что все 40-летние лица (см. Таблицу смертности) обязались в  конце каждого года страхования  в течении 5 лет вносить страховой организации 10 000 руб. Тогда в конце первого года будет внесено 922 460 000 руб (l41*10 000 руб). Современная стоимость этой суммы равна l_х+1V, то есть 922 460 000 руб * 0,97087, современная стоимость взносов второго года - l_x+2V², третьего - l_x+3V³, п-го года - l_x+nVⁿ. Для каждого из вступивших в страхование сумма современных стоимостей годичных взносов составит:

      (l_x+1V+...+l_x+nVⁿ)/l_x

      Выше  мы получили формулу для исчисления временной ренты - постнумерандо, которая  послужит коэффициентом рассрочки:

      _na_x=

      Коэффициент рассрочки (рента - постнумерандо или  пренумерандо) представляет собой стоимость  взносов в размере 10 000 руб, производимых в течении определенного срока  в конце или начале каждого  страхового года.

      В таблице 5 приведены коэффициенты рассрочки.

      Таблица 5.

 

      Теперь  рассчитаем годичные ставки.

      Единовременная  нетто-ставка, как было показано ранее, равна современной стоимости финансовых обязательств страховщика и страхователя. При единовременной оплате страхователь все свои финансовые обязательства выполняет в момент заключения договора. При годичных взносах он рассчитывается со страхователем постепенно. Очевидно, что общая сумма годичных взносов должна быть эквивалентна единовременному взносу. Однако она не равна ему в связи с двумя обстоятельствами. Во-первых, в течении срока страхования будет нарастать доход в виде процентов (i), во-вторых, часть страхователей не сможет полностью расплатиться вследствии смертности. Иначе говоря, единовременная нетто-ставка является современной стоимостью суммы годичных взносов, поскольку это рассроченные финансовые обязательства страхователя.