В зависимости от опыта эксплуатации и имеющейся информации существует несколько способов определения продолжительности работ.

     1. Для часто повторяющихся работ,  по которым имеются определенные нормативы времени, продолжительность работ проставляется в соответствии с этими нормативами с учетом конкретных условий. Эти нормативы могут быть оговорены в эксплуатационной документации (инструкции по эксплуатации, инструкции по ТО и др.).

     2. По статистическим данным, накопленным  в процессе эксплуатации

             (1)

где t_i,j – средняя продолжительность i,j-й работы;

     t_i,j,k – продолжительность i,j-й работы в k-м опыте или на k-й РТС;

     n – количество опытов (РТС).

     Этой  формулой следует пользоваться при  достаточно большом объеме статистических данных.

     3. При малом объеме статистических  данных или при их отсутствии можно воспользоваться вероятностным методом. Он позволяет получить количественную оценку по вероятности появления данного события.

     Опытные эксперты дают три возможные оценки времени:

• оптимистическая оценка – наименьшая из возможных продолжительность работ t_min соответствующая наиболее благоприятным условиям ее выполнения. Вероятность выполнения работы за это время в большинстве случаев равна 0,01;
• пессимистическая оценка – наибольшая из возможных продолжительность работ t_max, соответствующая времени выполнения работы в наиболее неблагоприятных условиях. Вероятность выполнения работы за такое время также составляет 0,01;
• наиболее вероятная оценка t₀, соответствующая набольшей вероятности выполнения работ за такое же время.

     В общем случае время выполнения работы характеризуется законом распределения. Длины путей являются случайными величинами. Они могут быть определены как композиция законов работ пути. По плотности вероятностей длин всех путей, соединяющих начальное и конечное события сети, можно для каждого пути вычислить вероятность выполнения планируемого комплекса работ в заданное время. При этом критическому пути будет соответствовать минимальное значение вероятности, к которой близкими будут значения вероятностей под критических путей. Таким образом, при случайных временах выполнения работ необходимо знание всех законов распределения времен выполнения работ, однако для практики достаточно знать только некоторые характеристики законов распределения (таких, как математическое ожидание, дисперсия).

     При анализе сетевых графиков необходимо для каждой работы определить среднее время её выполнения и дисперсию этого времени σ_i,j².

     Для β - распределения времени выполнения работы эти значения определяются по выражениям:

     

     

               (2)

     На  практике возникают трудности при  определении t_н.в. поэтому при определении t_i,j можно ограничиться только использованием двух оценок времени t_max и t_min.

     В этом случае:

     

     

           (3)

     Разница в результате расчёта t_i,j по формуле (3) по сравнению с расчётом по формуле (2) не превышает 1%.

5. Методы анализа сетевых моделей

5.1 Методы расчёта временных параметров детерминированных сетей

 

     При большом числе событий и работ  простой перебор всех путей затруднён, поэтому на практике используются специальные методы, ускоряющие и формирующие процесс нахождения критического пути. При этом в основные понятия, приведённые в разд. 2, вводятся дополнительные понятия:

     L_d – полный путь; %

     L_{n,i –} любой путь предшествующий i - му событию, т.е. путь от начала до i - го события;

L_сi, – любой путь следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-го события до конечного;

L_ij – путь от i-го события;

T(Ln) – продолжение критического пути;

Т(Ln) – продолжительность полного пути Ln;

ΔТ(Ln) – резерв времени относительно полного пути Ln, т.е.

     ΔТ(Ln) = Ткр – Т(Ln)

Тр(i) – наиболее ранний срок наступления i-го события, т.е.

     Тp(i) = max T(Lni);

Тn(i) – наиболее поздний срок наступления i-го события, т.е.;

     Тn(i) = T_p – maxT(Li,j)

ΔТi – резерв времени i-го события, т.е.

     ΔТ(i) = Тn(i) –Тр(i).

     Величина  ΔТ(i) показывает, на какое время можно задержать наступление i-го события, не вызывая общего срока выполнения комплекса работ;

T_РН(i,j) – cрок раннего начала работы (i,j), т.е.

     T_РН(i,j) = Тр(i)

Т_РO (i,j) –срок раннего окончания работы (i,j),т.е.

     Т_PO (i,j) = Тp(i) + (i,j);

Т_ПН (i,j) – срок позднего начала работы (i,j), т.е.

     Т_ПН (i,j) = Tn(j) – (i,j);

Т_ПО (i,j) – срок позднего окончания работы (i,j) т.е.

     Т_ПО (i,j) = T_n(j)

ΔТ_n(i,j) – полный резерв времени работы (i,j), т.е.

     ΔТ_n(i,j) = Tпн (i,j) – Т_ПН (i,j) или

     ΔТ_n(i,j) = Т_по (i,j) – Т_PO (i,j)

     ΔТ_n(i,j) = Т_по (i,j) – Т_ПН (i,j) – (i,j) 

     Полным  резервом времени работы ΔТ_n(i,j) называют величину, показывающую, на какое время может увеличиться её продолжительность. Для любой работы, лежащей на критическом пути, полный резерв времени равен нулю;

     ΔТ¹_ч – частный резерв времени первого вида для работы (i,j), т.е.

     ΔТ¹_ч  = Тn(j) – Tn(i) –

(i,j);

где ΔТ¹_ч (i,j) – часть полного резерва времен, которая может быть использована для увеличения продолжительности данной и последующих работ без затрат времени предшествующих;

     ΔТ²_ч(i,j) –частный резерв времени второго вида для работы (i,j), т.е.

     ΔТ²_ч(i,j) = Тр(j) – Tp(i) –

(i,j);

где ΔТ²_ч(i,j) – часть полного резерва времени работы, которая может быть использована для увеличения продолжительности данной и предшествующих работ без нарушения резерва времени последующих работ без нарушения резерва времени последующих работ;

ΔТ_c(i,j) – свободный резерв времени работы (i,j) сетевого графика, т.е.

     ΔТ_c(i,j) = Tp (i,j) – T_П (i,j) –

(i,j);

где ΔТ_c(i,j) – резерв времени, который может быть использован для увеличения продолжительности только работы (i,j).

5.2. Методы расчета временных параметров стохастических сетей

 

     При вероятностной оценке продолжительности  работ предполагается, что продолжительность работ и моменты наступления событий являются случайными величинами, подчиняющимися определенным законам распределения.

     Для определения параметров сетей в  этом случае используются аналитические методы, статистическое моделирование и метод усреднения.

     При использовании аналитических методов время выполнения работы, является случайной величиной, которая характеризуется законом распределения ω_i,j(t). Длины путей, которые соединяют события сетевого графика, равны сумме длин, составляющих эти пути работ, также являются случайными величинами. Поскольку время выполнения каждой работы можно считать величиной независимой от времени выполнения остальных работ, то закон распределения продолжительности любого пути может быть найден как композиция законов распределения времени выполнения работ, составляющих этот путь.

     Зная  плотности вероятностей распределения  продолжительности всех путей сети ω(t) можно по всем путям вычислить вероятность выполнения планируемого комплекса работ за заданное время t. Например, для s-го пути:

     

     Естественно, что критическому пути будет соответствовать  минимальное значение этой вероятности.

     Такая методика анализов сетевых графиков требует знания законов распределения времени выполнения всех работ, составляющий данный график. Выбор этого распределения является сложной задачей. Аналитические методы расчета сетей с использованием законов распределения времени достаточно сложны и на практике распространения не получили.

     СТАТИСТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ является наиболее универсальным методом и достаточно точным средством получения характеристик стохастических сетей. Суть его состоит в следующем:

     в получении значений продолжительности  отдельных работ с помощью генерирования случайных (псевдослучайных) чисел; распределение определяется типом каждой работы,

     в определении временных параметров сети на основании данных, полученных при одной реализации статистических испытаний;

     в статистической обработке результатов  многих реализаций, полученных при испытаниях.

     Применение  этого метода ограничивается тем, что  он связан с большим объемом вычислений и требует обязательного применения вычислительной техники.

     МЕТОД УСРЕДНЕНИЯ находит наиболее широкое  применение в анализе стохастических сетей. Суть этого метода состоит  в использовании для вычисления вероятностных характеристик сети оценки математического ожидания и дисперсии работ

     Исходными данными для метода усреднения вероятностные  оценки продолжительности каждой работы (см.3).

     Методика  вычисления временных параметров сетевых  графиков при использовании метода усреднения в основном аналогична методике анализа детерминированных сетей с нормированным временем проведения работ и заключается в следующем:

     1. Для каждой работы по приведенным  выше формулам оцениваются величины  t_ож(i,j) и σ²(i,j). Эти величины являются основными и обычно наносятся на сетевой график.

     2. Используя значения t_ож(i,j) рассчитываются наиболее ранние и поздние сроки наступления событий, находится критический путь и определяются резервы времени.

     Оценивается неопределенность времени наступления  событий, для чего рассчитывается дисперсия  наиболее раннего срока наступления событий.

     Оценка  дисперсии σ²(i,j) раннего срока наступления события j принимается равной сумме оценок дисперсий работ наибольшего по продолжительности пути, предшествующего событию j, определенного по ожидаемым значениям продолжительностей работ:

     

     Если  таких путей несколько, то оценка дисперсии принимается равной максимальному значению оценки дисперсии этих путей.

     4. Определяется вероятность наступления конечного события сети к заданному сроку. Время наступления конечного события принимается распределенным по нормальному закону. Это приближение вытекает из центральной предельной теоремы теории вероятностей. Согласно этой теореме, закон распределения независимых случайных величин с увеличением их числа при условии, что каждое из слагаемых мало по сравнению с суммой, приближается к нормальному, не зависимо от того, какие распределения имели слагаемые.

     Согласно  принятому допущению, среднее значение наступления конечного события Т_oж и его дисперсия σ²_Tож определяются по формулам:

     

     

где S, г – события, лежащие на критическом пути.

     Вероятность наступления конечного события  за директивное время Т_д определяется в соответствии с формулой: