,

     где q_-i – объемы производства всех фирм кроме i.

     В результате получаем систему из N уравнений, представленных функциями наилучшей реакции фирм, и N неизвестных, отметим, что в случае если все фирмы одинаковы, как в данном случае, то равновесие будет симметрично, то есть равновесные объемы производства у каждой фирмы будут совпадать: 

      , где индекс ^с указывает на равновесность данного показателя по Курно.

     В таком случае равновесие Курно будет  характеризоваться следующими показателями: 

 
 

     Анализ  полученных равновесных характеристик  позволяет сделать следующие  основные выводы: 

1. В  равновесии Курно достигаются  более высокие цены и меньшие  объемы производства по сравнению  с совершенной конкуренцией, что  ведет к появлению чистых потерь  в общественном благосостоянии.

2. Увеличение  числа производителей в равновесии  Курно ведет к снижению рыночной  цены, увеличению общего объема  производства при сокращении  объемов производства действующих  фирм, а соответственно ведет  к падению их рыночной доли  и прибыли. Таким образом, увеличение  числа фирм в данной модели  благоприятно сказывается на  общественном благосостоянии, но  может получить противодействие  со стороны фирм, уже действующих  на рынке. Примером такого противодействия  может выступать введение различных  сертификаций и обязательного  лицензирования, деятельность профессиональных  или отраслевых ассоциаций, а  также различные меры экономического  противодействия входу новых  фирм на рынок.

3. При  росте числа фирм, равновесие  в модели Курно стремится к  совершенно конкурентному и совпадает с ним при бесконечном числе фирм. 
 

      Остановимся несколько подробнее на том, как  увеличение числа фирм воздействует на благосостояние общества. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Оценим  потребительский излишек (CS) при данной цене P:

      .

     В качестве цены подставим полученное выше P^c:

      .

     Следовательно, с ростом числа фирм благосостояние потребителей растёт. Рассмотрим теперь общее благосостояние (SS):

      .

      Опять воспользовавшись выражением для цены, получим:

     Таким образом, действительно общественное благосостояние растет с увеличением  числа фирм в отрасли, но при этом происходит снижение прибыли производителей. 

     Рассмотрим  теперь, как изменятся равновесные  характеристики в модели Курно, если общие издержки фирм на производство продукции разные:

     TC_i(q_i) = FC_i + c_i ∙ q_i, где

                  q_i – объем производства фирмы i;

     FC_i – объем постоянных издержек фирмы i;

     с – величина предельных издержек фирмы i.

      В таком случае, полагая функцию  рыночного спроса неизменной, получим:

            

  Также как и ранее решая задачу максимизации прибыли, получим функции наилучшей реакции фирм на действия конкурентов:

      ,

     где q_-i – объемы производства всех фирм кроме i.

     В результате получаем систему из N уравнений, представленных функциями наилучшей реакции фирм, и N неизвестных, отметим, что в этом случае равновесные объемы производства фирм будут зависеть от соотношения предельных затрат в отрасли. Чтобы не решать эту систему для определения равновесных объемов производства каждой фирмы, сагрегируем полученную функцию наилучшей реакции фирмы i и получим общий равновесный объем производства и равновесную цену:

     

     Таким образом, в случае если фирмы, действующие  на рынке, имеют разные издержки на производство продукции, равновесные  объем производства и цена в модели Курно зависят только от суммарных  предельных издержек фирм, а не от соотношения  затрат между фирмами, соотношение  затрат определяет рыночную долю фирм.

 
Картельное  соглашение

 

     Один  из примеров кооперированной олигополии - сговор между фирмами-конкурентами. Картель - это объединение олигополистов, вступающих в сговор с целью совместного принятия решения относительно уровня рыночной цены и объемов выпускаемой продукции. Образующие картель фирмы ведут себя на рынке как единый монополист, максимизируя совокупную прибыль отрасли.

     Рассмотрим  картель, максимизирующий прибыль  при вышеперечисленных предпосылках (Задача максимизации прибыли для двух фирм заключается в выборе таких уровней выпуска продукции q₁ и q₂, которые бы максимизировали совокупную прибыль отрасли П, где

     

     (48) 

     Необходимое условие экстремума имеет вид:

     

     (49) 
 

     Оно определяет систему двух одинаковых уравнений с двумя неизвестными (q₁ и q₂), которая имеет бесконечно много решений. Любая комбинация объемов выпуска фирм (q₁,q₂), которая обеспечивает рыночный спрос в размере

     

     (50) 

     Удовлетворяет системе уравнений (49).

     Таким образом, необходимое условие экстремума задает лишь совокупный объем производства картеля. Достаточное условие экстремума с учетом вида функции (48) и знака вторых частных производных

     

     (51) 
 

     указывает на то, что будет обеспечен максимально  возможный уровень совокупной прибыли  отрасли в размере

     

     (52) 

     при монопольной цене

     

     (53) 

     Распределение рыночных долей с точки зрения максимизации совокупной прибыли отрасли значения не имеет. Однако существует проблема согласования решений между членами картеля. Поскольку в нашей модели фирмы идентичны по издержкам производства, логично предположить, что их рыночные доли будут одинаковыми, т.е.

     

     (54) 

     При этом члены картеля получают одинаковую прибыль в размере

     

     (55) 

     В принципе переговоры относительно распределения  рыночных долей могут быть проведены  на множестве комбинаций объемов  выпуска фирм. В случае максимизации совокупной прибыли отрасли предельная прибыль от производства дополнительной единицы продукции будет одинаковая (вне зависимости от того, кто  из членов картеля произведет эту  дополнительную единицу).

     Основная  проблема любого картельного соглашения - соблазн обмануть конкурента, т.е. нарушить соглашение и увеличить  собственную прибыль.

     Пусть в нашей модели вторая фирма честно соблюдает соглашение, в то время  как первая фирма решила его нарушить. Для аналитической версии модели это означает, что первая фирма  будет максимизировать свою прибыль (7) при нулевой предполагаемой вариации и фактически будет выбирать уровень своего выпуска в соответствии с линией реакции Курно (12).

     Ориентируясь  на уровень выпуска конкурента (54), соответствующий заключенному картельному соглашению, первая фирма выберет на линии реакции точку N, увеличив уровень своего выпуска до

     

     (56) 

     Действительно, даже при понижении рыночной цены до уровня

     

     (57) 

     увеличение  объема выпуска первой фирмы обеспечивает ей прибыль в размере

     

     (58) 

     что превышает равновесный уровень  прибыли картелированной фирмы  (55). В то же время, вторая фирма, честно соблюдавшая соглашение, окажется в проигрыше, уменьшив размер своей прибыли до уровня

     

     (59) 

     Таким образом, в нашей модели после  нарушения картельного соглашения фирма-нарушитель получит прибыль  в полтора раза большую, чем ее конкурент, и можно с уверенностью сказать, что картель неустойчив.

 

     Сговор  и картели 

     Анализ  моделей картеля становится многограннее, если отказаться от предпосылки о  равенстве издержек производства у  картелированных фирм. Основные проблемы, возникающие при этом в процессе образования и фукционирования картеля, можно по-прежнему выявить, рассматривая только двух олигополистов, поскольку результаты исследования легко обобщаются для случая п фирм в отрасли.

     Пусть две фирмы предлагают однородный продукт, зная линейную функцию рыночного  спроса (1). Пусть они решили вступить в картельное соглашение с условием максимизации совокупной прибыли отрасли: 

      (3.28) 

     где , - функции издержек в зависимости от объема выпуска каждой фирмы, причем .

     Необходимое условие экстремума примет вид:

     (3.29)

       

     При решении системы уравнений (3.29) видно, что для любой комбинации равновесных значений объемов выпуска фирм их предельные издержки будут равны между собой: . С одной стороны, по виду функций (3.29) ясно, что равенство предельных издержек выполняется в условиях равновесия при любом количестве фирм в отрасли. С другой стороны, оно будет выполняться вне зависимости от вида функции спроса на продукцию отрасли.

     Для функции p=p(Q), где , частные производные по объемам выпуска конкурентов будут равны между собой , поскольку при нулевых предполагаемых вариациях при очевидно, что . 

     Таким образом, в условиях равновесия для  любого i

     

     (3.30) 

     При организации картеля фирмы заинтересованы в максимизации совокупной прибыли  отрасли, а не только своей прибыли. Поэтому они учитывают влияние  снижения цены, как на уровень своего собственного выпуска, так и на объем  выпуска конкурентов. В результате предельный доход от производства дополнительной единицы товара (в правой части  равенства (3.30)) будет одинаковым для любой фирмы картеля, а предельные издержки фирм будут равны между собой.

     В точке равновесия картеля из п фирм условие (3.31) примет вид:

(3.31)

     

     Оценим  направление изменения прибыли, например, первого олигополиста. Частная производная прибыли первого олигополиста по переменной, характеризующей его объемы выпуска, положительна:

     

     (3.32) 

     поскольку функция рыночного проса убывает  . Это означает, что он может увеличить объем получаемой прибыли, расширив масштабы производства. В аналогичной ситуации находятся другие олигополисты.