Лекции по "Экологическому моделированию"

    Первые  модели Винберга–Анисимова и Меншуткина–Умнова  рассматривали экосистему в ее стационарном состоянии при постоянстве температуры  среды и без учета сезонной динамики. Переменный характер внешней среды был учтен А.А. Умновым в модели озерной пелагической системы, а впоследствии – для небольшой экосистемы участка Днепра. В последней модели, записанной в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений, автор самым подробным образом отразил процессы питания, отмирания, метаболизма роста и т.д. Например, уравнение для биомассы фитопланктона db_f в каждый час времени dt имело вид:

    db_f / dt = P – R₁ – R₂ – R₃ – R₄ – R₅ ,

    где:

• P – процесс фотосинтеза; P = x × m × b_хл× b ; m – степень удовлетворения потребности фитопланктона в биогенных элементах; m = v_p / v_h = j / c ; v_p – реальная скорость потребления биогенов единицей биомассы фитопланктона; v_h = b а – необходимая для нормального развития скорость потребления биогенов; b_хл – концентрация хлорофилла; b – удельная скорость роста фитопланктона при концентрации биогенов, обеспечивающих нормальное развитие; I – интенсивность освещения; T^o(t) – температура воды в течение суток; v_m' = a b_n – максимально возможная скорость извлечения биогенов единицей биомассы фитопланктона; b_n – концентрация биогенов; c = v_h / v_m – степень потребности фитопланктона в биогенах;
• R₁ – выедание фильтраторами; ; c _m = c / c_m; c – рацион фильтраторов; c_m – максимальный рацион;
• R₂ – дыхание; ; b_x – концентрация кислорода, растворенного в воде;
• R₃ – отмирание из-за недостатка биогенов; R₃ = s₁ b_f (1 - m ) ;
• R₄ – отмирание из-за недостатка кислорода; ;
• R₅ – отмирание из-за неблагоприятных температурных условий; ;

    – относительное отклонение температуры  от центра "оптимального" диапазона температур [T^*,T_*]. Остальные параметры уравнения – постоянные коэффициенты.

    В дальнейшем модели этой школы развивались  в направлении более глубокого  описания жизненных процессов, а  именно, их зависимости от условий  среды и учету пространственных распределений в экосистеме, отражающих как их вертикальную, так и горизонтальную неоднородность.

    Значительный  опыт создания имитационной модели водоема  большой сложности был накоплен в процессе создания портретной модели экосистемы Азовского моря.

Лекция  6. Эмпирико-статистические модели

    Эмпирико-статистические модели объединяют в себе практически все биометрические методы первичной обработки экспериментальной информации. Основная цель построения этих моделей состоит в следующем:

• упорядочение или агрегирование экологической информации;
• поиск, количественная оценка и содержательная интерпретация причинно-следственных отношений между переменными экосистемы;
• оценка достоверности и продуктивности различных гипотез о взаимном влиянии наблюдаемых явлений и воздействующих факторов;
• идентификация параметров расчетных уравнений различного назначения.

    Часто эмпирико-статистические модели являются "сырьем" и обоснованием подходов к построению моделей других типов (в первую очередь, имитационных).

    Важным  методологическим вопросом является определение характера зависимости между факторами и результативными показателями: функциональная она или стохастическая, прямая или обратная, прямолинейная или криволинейная и т.д. Здесь используются теоретико-статистические критерии, практический опыт, а также способы сравнения параллельных и динамичных рядов, аналитических группировок исходной информации, графические методы и др.

    Детерминированный анализ представляет собой методику исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит явно выраженный функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представляется в виде произведения, частного или алгебраической суммы исходных факторов. Многочисленными примерами детерминированного подхода являются методики расчета различных гидрохимических и гидробиологических индексов. В этих случаях исследователь сам берет на себя ответственность в том, что:

• причинно-следственная связь между изучаемыми явлениями действительно существует;
• эта связь носит именно постулируемый функциональный характер (аддитивный, мультипликативный, кратный или смешанный с заранее подобранными коэффициентами, отражающими субъективный опыт разработчика).

    Стохастический  анализ представляет собой обширный класс методов, опирающихся на теоретико-вероятностные представления, теоремы, критерии и методы параметрической и непараметрической статистики.

    Исходный  объект в любой системе обработки  данных – это эмпирический ряд  наблюдений или выборка. Выборки, описывающие  явления и процессы в экосистеме, находятся во взаимосвязи, взаимозависимости и обусловленности. При этом каждое явление можно рассматривать и как причину, и как следствие. Одни выборки могут быть непосредственно связаны между собой, образуя подмножества сопряженных данных, другие могут соотноситься друг с другом косвенно.

    Согласно  классификации статистических методов, прикладная статистика делится на следующие четыре области:

• статистика (числовых) случайных величин;
• многомерный статистический анализ;
• статистика временных рядов и случайных процессов;
• статистика объектов нечисловой природы.

    В вероятностной теории статистики выборка – это совокупность независимых одинаково распределенных случайных элементов. Природа этих элементов может быть различной. В классической математической статистике элементы выборки – это числа. Многомерный статистический анализ оперирует с векторами и матрицами данных. В нечисловой статистике элементы выборки – это объекты нечисловой природы, которые нельзя складывать и умножать на числа (другими словами, объекты нечисловой природы лежат в пространствах, не имеющих формальной векторной структуры).

    Следует оговориться, что не существует какой-либо однозначной классификации эмпирико-статистических методов. Например, широкий пласт  методов кластерного анализа, распознавания образов, анализа экспертных оценок и др.,  занимают промежуточное положение: используя некоторые теоремы классической теории вероятностей, они имеют принципиально детерминированные механизмы поиска и основаны на эвристических алгоритмах.

Задачи  о выборках: анализ распределений, сравнение, поиск зависимостей

    Анализ  каждой произвольной выборки, представляющей собой совокупность независимых, одинаково  распределенных случайных измерений, начинается с расчета описательных статистик эмпирического ряда: средних, дисперсии, основных моментов высшего порядка, медианы, моды, стандартного отклонения, ошибки среднего и др.

    Особое  место в анализе выборок занимает проверка соответствия характера эмпирического  распределения какому-нибудь заданному закону распределения. Это связано с тем, что вид функции распределения часто постулируется как одно из важнейших предположений применения большинства статистических методов.

    Разработанную в первой трети ХХ в. теорию называют параметрической статистикой, поскольку ее основной объект изучения – это выборки из распределений, описываемых одним или небольшим числом параметров. Наиболее общим является семейство кривых Пирсона, задаваемых четырьмя параметрами. Как правило, нельзя указать каких-либо веских причин, по которым конкретное распределение результатов экологических наблюдений должно входить в то или иное параметрическое семейство. В подавляющем большинстве реальных ситуаций таких предположений сделать нельзя, но, тем не менее, приближение реального распределения с помощью кривых из семейства Пирсона или его подсемейств часто не является чисто формальной операцией. Закономерности расчета описательных статистик в зависимости от распределения эмпирического ряда хорошо известны: если вероятностная модель основана на нормальном распределении, то расчет математического ожидания предусматривает суммирование независимых случайных величин; если же модель приближается к логарифмически нормальному распределению, то итог естественно описывать как произведение таких величин и т.д.

    В первой же трети ХХ в., одновременно с параметрической статистикой, в работах Ч.Спирмена и М. Кендалла появились первые непараметрические методы, основанные на коэффициентах ранговой корреляции. Но непараметрика, не делающая нереалистических предположений о том, что функции распределения результатов наблюдений принадлежат тем или иным параметрическим семействам распределений, стала заметной частью статистики лишь со второй трети ХХ в. В 30-е годы появились работы А.Н. Колмогорова и Н.В. Смирнова, предложивших и изучивших статистические критерии, носящие в настоящее время их имена и основанные на использовании так называемого эмпирического процесса – разности между эмпирической и теоретической функциями распределения.

    Во  второй половине XX в. развитие непараметрической статистики пошло быстрыми темпами, в чем большую роль сыграли работы Ф. Вилкоксона и его школы. К настоящему времени с помощью непараметрических методов можно решать практически тот же круг статистических задач, что и с помощью параметрических. Все бóльшую роль играют непараметрические оценки плотности вероятности, непараметрические методы регрессии и распознавания образов (дискриминантного анализа).

    Тем не менее, параметрические методы всё  еще популярнее непараметрических, так как распределения реально наблюдаемых случайных величин (в частности, биологических данных) в подавляющем большинстве случаев отличны от нормальных (гауссовских). Теоретики продолжают строить и изучать статистические модели, основанные на гауссовости, а практики – применять подобные методы и модели (“ищут под фонарем, а не там, где потеряли”). Однако полностью игнорировать классические методы не менее вредно, чем переоценивать их. Поэтому целесообразно использовать одновременно оба подхода – и параметрические методы, и непараметрическую статистику. Такая рекомендация находится в согласии с концепцией математической устойчивости, рекомендующей использовать различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах.

    Любая выборка экологических данных является принципиально неоднородной, поскольку  измерения могут осуществляться в различные временные периоды, разных пространственных точках водоема, с использованием различных инструментальных методов и т.д. В связи с этим, важным этапом математической обработки является дисперсионный анализ, с помощью которого оценивается, имеют ли место статистические различия между отдельными подмножествами данных и можно ли считать их принадлежащими одной генеральной совокупности. Если каждому измерению поставлен в соответствие один признак (фактор), определяющий условия его реализации, то говорят об однофакторном дисперсионном анализе. Если таких группообразующих факторов больше одного, то выполняется многофакторный дисперсионный анализ.

    Если  выборка состоит из двух рядов  сопряженных наблюдений, измеренных в идентичных условиях, то решается задача регрессионного анализа, т.е. один эмпирический ряд объявляется результативным показателем или “откликом” Y, а другой – независимой варьируемой переменной X или “фактором”.

    Регрессионный анализ