Экономмико-математические методы и модели

 
 

Московский  киновидеоинститут

(филиал) С.-Петербургского Государственного

университета  кино и телевидения. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине «Экономико-математические

методы  и модели» 

Вариант №5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выполнила студентка

3-ого  курса факультета

Экономика и управление

Кислякова М.А.

Проверил: Мацнев  А. П. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Москва

2008 
 
 

 

Содержание

1.1. Основные понятия моделирования. Виды моделей……………………………….3

1.2.Основные методы моделирования…………………………………………………..6

1.3.Классификация видов моделирования………………………………………………6

2.1.Задача распределения  ресурсов……………………………………………………...8

2.2.Графическое решение задачи распределения ресурсов……………………………10

2.3.Симплексный метод………………………………………………………………….14

2.4.Основные способы решения транспортной задачи………………………………...18

2.5.Проверка оптимальности полученных планов перевозок методом потенциалов..20

3.1. Методы нлиннейного  программирования………………………………………….26

Список литературы……………………………………………………………………….29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

1.1.Основные понятия моделирования. Виды моделей.

      Нас окружает огромное множество природных  и искусственно созданных объектов,  которое воздействует на органы чувств и отображается сознанием человека. От того, насколько верно мы воспринимаем окружающую  действительность, очень часто зависит не только наше благополучие и здоровье, но и сама жизнь. Тривиальным примером здесь может служить восприятие и оценка  пешеходом дорожной обстановки при переходе улицы.

      Не  менее сложные задачи стоят перед  человеком в процессе его профессиональной деятельности. Хотя число объектов в данном случае, как правило, становится достаточно ограниченным, но одновременно повышаются требования к уровню достоверности и точности получаемых результатов, возрастает ответственность при принятии решений. Здесь уже трудно полагаться только на органы чувств и поэтому на практике применяется целый арсенал технических  средств измерения сигналов, обработки, хранения и представления информации.

      Каждый  человек в своей повседневной жизни выделяет из бесконечного  многообразия проявлений окружающего мира только небольшое их число и на этой основе формирует некоторые заменители реальных объектов, позволяющие ему выстраивать целенаправленное поведение. Эти заменители принято называть моделями.

      Таким образом, условимся под моделью  понимать заменитель реального объекта в тех свойствах и отношениях, которые требуются для решения практических задач. Соответственно моделирование будем рассматривать как метод опосредованного познания, в котором объект-модель находится в некотором неполном соответствии с объектом-оригиналом.

      Принято говорить, что модель адекватна оригиналу, если она верно отражает интересующие нас свойства оригинала. В данном случае важно уяснить принципиальную разницу понятий адекватности и идентичности (полного совпадения) объекта и модели. Последнее понятие, строго говоря, характеризует отношение объекта к самому себе.

      Второе  обстоятельство, которое в определенной мере облегчает наше существование  в бесконечно разнообразном мире, основывается на его материальном единстве, проявляющемся в подобии (аналогии) разноплановых явлений и процессов. При этом под аналогией принято понимать суждение о сходстве нескольких объектов в определенных отношениях на основании установленного сходства их в других отношениях.

      Понятно, что соотношение оригинала и модели также определяется свойством аналогии, т.е. сходством нетождественных объектов в некоторых качествах и отношениях. На основании аналогии строится теория подобия, позволяющая по установленным свойствам одного объекта судить о больших группах объектов, подобных первому объекту.

      Интересно также отметить взаимосвязь моделирования  с информацией, понимаемой как содержание воздействий, значения их параметров, изменения этих параметров в пространстве и во времени, взятые в отрыве от физического носителя информации и от его энергетических свойств.

      Овладение информацией, ее преобразование, хранение и отображение невозможны без  моделирования, т.е. без отображения  в некоторой материальной среде (в человеческом мозге, на запоминающих устройствах ЭВМ, на экране дисплея или на листе бумаги).

      Принято различать следующие виды моделей: 

      §          мыслительные;

      §          словесные (вербальные);

      §          геометрические;

      §          физические;

      §          математические.

      Мыслительные модели формируются и хранятся в сознании человека в виде некоторых образов. Словесные модели можно рассматривать как отражение мыслительных моделей, предназначенное для обмена информацией между людьми. Описание формулы изобретения, текст программы для ЭВМ, инструкция по эксплуатации некоторого технического устройства, литературное произведение – все это примеры словесных моделей.

      Геометрические модели дают внешнее представление об объекте-оригинале и характеризуются одинаковыми с ним пропорциями геометрических размеров. Эти модели подразделяются на двумерные и трехмерные. Эскизы, схемы, чертежи, графики, живописные работы представляют собой примеры двумерных геометрических моделей, а макеты зданий, автомобилей, самолетов и т.д. – это трехмерные геометрические модели.

      Физические модели характеризуются тем, что имеют ту же физическую природу, что и объект-оригинал. Например, система энергоснабжения города может быть смоделирована на специальной электрической схеме, аэродинамика летательного аппарата исследуется при продуве его модели в аэродинамической трубе и пр.

      Наконец, математические модели представляют собой совокупность математических объектов (чисел, символов, множеств и т.д.) и связей между ними, отражающих необходимые свойства объекта-оригинала. При этом математические модели принято подразделять на модели-аналоги, структурные модели и алгоритмические модели.

      Построение  моделей-аналогов основывается на свойстве  изоморфизма (одинаковости) математического описания процессов различной физической природы. Например, взаимосвязи приложенной силы, массы тела и его ускорения для механической системы, напряжения, индуктивности и скорости изменения тока во времени для электрической цепи, теплового потока, теплоемкости и скорости изменения температуры во времени для тепловой системы описываются одинаковыми математическими соотношениями. Используя свойство изоморфизма, можно с помощью одних объектов (чаще всего электрических цепей) исследовать процессы в объектах другой физической природы (тепловых, механических, гидравлических и др.).

      С помощью структурной математической модели воспроизводится структура уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта.

      Например, уравнение, позволяющее получить зависимость  скорости падения v тела массой m в среде с коэффициентом вязкости k

(1.1.)

может быть разрешено относительно производной  скорости

(1.1.2.)

и представлено в виде схемы, включающей интегрирующее, суммирующее и множительное устройства (рис1.1):

      

Рис. 1.1. Схема с интегрирующим, суммирующим 

и множительным устройством

      На  принципах структурного математического моделирования работают аналоговые вычислительные машины.

      Алгоритмические модели воспроизводят пошаговый процесс численного решения уравнений, представляющих математическую модель исследуемого объекта. Если алгоритмические модели реализуются на цифровых вычислительных машинах (компьютерах), то они могут рассматриваться как структурные модели, работающие с цифровой информацией. В данном случае все преобразования информации выполняются одним и тем же структурным элементом – процессором. Последовательность решения задается программой, а алгоритмические модели часто называют цифровыми. Следует отметить, что применение компьютеров делает алгоритмические модели наиболее универсальными: например, с их помощью могут быть воспроизведены и модели-аналоги, и структурные математические модели.  

      Кроме того, алгоритмический подход к математическому  моделированию и применение компьютеров  позволяют выполнять и геометрическое моделирование. Об успехах этого  вида моделирования имеет представление каждый любитель мультипликационных фильмов и телевизионных клипов: большинство из них сделано с применением средств компьютерного геометрического моделирования.

1.2.Основные методы моделирования.

     Развитие  методы моделирования получили с  развитием вычислительной техники. Исторически первыми были разработаны аналитические методы моделирования и сложился аналитический подход к исследованию систем.

     Аналитические методы моделирования. Аналитические методы позволяют получить характеристики системы как некоторые функции параметров ее функционирования. Таким образом, аналитическая модель представляет собой систему уравнений, при решении которой получают параметры, необходимые для оценки системы (время ответа, пропускную способность и т.д.). Использование аналитических методов дает достаточно точную оценку, которая, зачастую, хорошо соответствует действительности. Смена состояний реальной системы происходит под воздействием множества как внешних, так и внутренних факторов, подавляющее большинство из которых носят стохастический характер. Вследствие этого, а также большой сложности большинства реальных систем, основным недостатком аналитических методов является то, что при выводе формул, на которых они основываются и которые используются для расчета интересующих параметров, необходимо принять определенные допущения. Тем не менее, нередко оказывается, что эти допущения вполне оправданы.

     Численные методы моделирования  – преобразование модели к уравнениям, решение которых возможно методами вычислительной математики. Класс задач значительно шире. Однако численные методы не дают точных решений, но позволяют задать точность решения.      

     Имитационные  методы моделирования. С развитием вычислительной техники широкое применение получили имитационные методы моделирования для анализа систем, преобладающими в которых являются стохастические воздействия.

Суть ИМ заключается  в имитации процесса функционирования системы во времени, соблюдением  таких же соотношений длительности операций как в системе оригинале. При этом имитируются элементарные явления, составляющие процесс; сохраняется их логическая структура, последовательность протекания во времени. Результатом ИМ является получение оценок характеристик системы.

1.3.Классификация видов моделирования.

В основу классификации  моделирования можно положить различные признаки.

     В зависимости от характера изучаемых процессов в системе все виды моделирования м.б. разделены на