Экономмико-математические методы и модели

     - детерминированные и стохастические  

      Детерминированное моделирование применяется для  исследования систем, поведение которых можно абсолютно точно предвидеть. Например, путь, пройденный автомобилем, при равноускоренном движении в идеальных условиях; устройство, возводящее в квадрат число на входе. Соответственно детерминированный процесс, детерминированная модель.

      Стохастическое (теоретико-вероятностное) моделирование  применяется для исследования систем, состояние которых зависит не только от контролируемых, но и от неконтролируемых воздействий или в ней самой  есть источник случайности. Например, человек и все системы, которые включают человека. Приведем пример стохастических систем, это - заводы, аэропорты, сети и системы ЭВМ, магазины, предприятия бытового обслуживания и т.п.

     - статическое и  динамическое 

     Статистическое  моделирование служит для описания систем в какой-либо момент времени.

     Динамические  моделирование отражает изменение  системы во времени (выходные характеристики системы в данный момент времени  определяются характером входных воздействий  в прошлом и настоящем). Устройство, возводящее x(t) в квадрат. Примером динамических систем является биологические, экономические, социальные системы; такие искусственные системы как завод, предприятия, поточная линия и т.п.

     - дискретное и непрерывное 

     Дискретное  моделирование применяют для  исследования систем, в которых входных и выходные характеристики измеряется или изменяется во времени дискретно, через dt (например, часы), в противном случае применяют непрерывное моделирование. Например: ЭВМ, электронные часы, электросчетчик - дискретные системы; песочные часы, солнечные часы, нагревательные приборы и т.д. - непрерывные системы.

     В зависимости от формы представления  объекта (системы) можно выделить мысленное  и реальное моделирование.

     При реальном (натурном) моделировании  исследование характеристик системы  проводится на реальном объекте, либо на его части. РМ является наиболее адекватным, но его возможности с учетом особенностей реальных объектов ограничены. Например, проведение реального моделирования с АСУ предприятия требует во-первых, создания АСУ; во-вторых, проведения экспериментов с предприятиями, что невозможно.

     К реальному моделированию относят  производственный эксперимент и  комплексные испытания, которые  обладают высокой степенью достоверности.

     Другой  вид реального моделирования  – физическое. При физическом моделировании исследование проводится на установках, которые сохраняют природу явления и обладают физическим подобием.

     Мысленное моделирование применяется для  моделирования систем, которые практически  не реализуемы на заданном интервале  времени. В основе мысленного моделирования - создание идеальной модели основанной на идеальной, мыслительной аналогии. Различают два вида моделирования: образное (наглядное) и знаковое.

     При образном моделировании на базе представлений  человека о реальных объектах создаются различные наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте (например, модели частиц газов в кинетической теории газов в виде упругих шаров, воздействующих друг на друга во время столкновения).

     При знаковом моделировании описывают  моделируемую систему с помощью условных знаков, символов, в частности, в виде математических, физических и химических формул.

     Наиболее  мощный и развитый класс знаковых моделей представляют математические модели.

     Математическая  модель – это искусственно созданный объект в виде математических, знаковых формул, который отображает и воспроизводит структуру, свойства, взаимосвязи и отношения между элементами исследуемого объекта. Именно этот класс моделей мы и будем рассматривать и далее говорить только о математическом моделировании.

     Математическое  моделирование (Губарев В.В.) – метод исследования, основанный на замене исследуемого объекта-оригинала его математической моделью и на работе с ней (вместо объекта).

     Математическое  моделирование можно разделить  на аналитическое, имитационное, комбинированное.

     При АМ создается аналитическая модель объекта в виде алгебраических, дифференциальных, конечно-разностных уравнений. Аналитическая  модель исследуется либо аналитическими методами, либо численными методами.

     При имитационном моделировании создается Имитационная модель, используется метод статистического моделирования для реализации Имитационной модели на ЭВМ.

     Комбинированное моделирование – декомпозиция процесса функционирования системы на подпроцессы. Для тех из них, где это возможно, используют аналитические методы, в противном случае – имитационные.   

2.1.Задача  распределения ресурсов.

     Линейное  программирование - представляет собой математический аппарат, разработанный для решения оптимальных задач с линейными выражениями для критерия оптимальности и линейными ограничениями на область изменения переменных. Можно сказать, что линейное программирование применимо для построения математических моделей тех процессов, в основу которых может быть положена гипотеза линейного представления реального мира: экономических задач, задач управления и планирования, оптимального размещения оборудования и прочего.

     Задачами  линейного программирования называются задачи, в которых линейны как  целевая функция, так и ограничения  в виде равенств и неравенств. Кратко задачу линейного программирования можно сформулировать следующим образом: найти вектор значений переменных, доставляющих экстремум линейной целевой функции при m ограничениях в виде линейных равенств или неравенств.

     Линейное  программирование представляет собой наиболее часто используемый метод оптимизации. К числу задач линейного программирования можно отнести задачи: рационального использования сырья и материалов; задачи оптимизации раскроя; 
оптимизации производственной программы предприятий; оптимального размещения и концентрации производства; составления оптимального плана перевозок, работы транспорта; управления производственными запасами; и многие другие, принадлежащие сфере оптимального планирования.

       Для решения большого круга задач линейного программирования имеется практически универсальный алгоритм - симплексный метод, позволяющий за конечное число итераций находить оптимальное решение подавляющего большинства задач. Тип используемых ограничений (равенства или неравенства) не сказывается на возможности применения указанного алгоритма. Дополнительной проверки на оптимальность для получаемых решений не требуется. Как правило, практические задачи линейного программирования отличаются весьма значительным числом независимых переменных. Поэтому для их решения обычно используют вычислительные машины, необходимая мощность которых определяется размерностью решаемой задачи.

     Любая задача линейного программирования приводится к стандартной 
(канонической) форме основной задачи линейного программирования, которая формулируется следующим образом: найти неотрицательные значения переменных

     X₁ , X₂ , Xn , удовлетворяющих ограничениям в виде равенств:

     A₁X1 + A₁X₂ + … + A₁X_n = B₁;

     A₂X1 + A₂X₂ + … + A₂X_n = B₂;

     A_mX1 + A_mX₂ + … + A_mX_n = B_m;

     X_j 0, j=1,…,n и обращающих в максимум линейную функцию этих переменных: 
F = C₁X₁ + C₂X₂ + … + C_nX_n (max)

     При этом также требуется, чтобы правые части равенств были неотрицательны, т.е. должны соблюдаться условия:

     B_j 0, j=1,…,n

     Приведение к стандартной форме необходимо, так как большинство методов решения задач линейного программирования разработано именно для стандартной формы. Для приведения к стандартной форме задачи линейного программирования может потребоваться выполнить следующие действия:

     - перейти от минимизации целевой  функции к ее максимизации;

     - изменить знаки правых частей  ограничений;

     - перейти от ограничений-неравенств  к равенствам;

     - избавиться от переменных, не  имеющих ограничений на знак.

     

       Далее рассмотрим на конкретных  примерах различные методы решения задач линейного программирования.

2.2.Графическое решение задачи распределения ресурсов

     Пусть для двух продуктов П₁ и  П₂ требуются трудовые, материальные и финансовые ресурсы. Наличие ресурсов каждого вида и их нора расхода, необходимые     

                 Таблица 1.

     для выпуска единицы продукции, приведены  в таблице 1.

     По  условию данной задачи нам надо найти  значение переменных, при которых:                а) суммарный выпуск будет максимальным; б) Максимальная прибыль. 

                                                                                                                                        

     Для начала составим математическую модель задачи:                                                                                                                                        

         х₁ + 3х₂ 14

          3х₁ + 4х₂  25

          7х₁ + 2х₂ 43

     х₁ 0, х₂ 0 

     Математическая  модель представляет собой систему  линейных неравенств. Значит, область допустимых значений нашей задачи выпуклый многоугольник. Для удобства построения неравенства можно записать в форме, аналогичной уравнениям в отрезках:

      х₁/14 + х₂ /14/3 1 

     х₁/25/3 + х₂ /25/4 1

     х₁/43/ 7 + х₂/43/2 1

     х₁ 0, х₂ 0